河南省驻马店市学年高一上学期期末考试数学文试题解析版.docx
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河南省驻马店市学年高一上学期期末考试数学文试题解析版
河南省驻马店市 2018-2019 学年高一上学期期末考试数学
（文）试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
12 4=
1.已知集合 A={0， ，3}，集合 B={1， ， ，5}，则集合 A∩B （）
A.4，B.2，3，4，
C.3，4，D.
2.直线 l：
=1 的倾斜角为（）
A.
B.
C.
D.
3.下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（）
A.
B.
C.
D.
4.已知梯形 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且 AD=2，BC=4，AB=2．按照斜
二测画法作出它的直观图 A'B'C'D'，则直观图 A'B'C'D'的面积为（）
A.B.C.D.
5.圆：
x2+y2-4x+6y=0 和圆：
x2+y2-6x=0 交于 A，B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程是
（）
A.B.C.D.
6.若 f（x）=x3+x2-2x+a 在区间[1，1.5]内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表
f
（1）=-2
f（1.25）=-0.984
f（1.438）=0.165
f（1.5）=0.625
f（1.375）=-0.260
f（1.4065）=-0.052
那么方程 x3+x2-2x+a=0 的一个近似根为（精度为 0.1）（）
A.B.C.D.
7.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥平面 ABC，若
AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点 M，N 分别 A1C1，CC1 的中点，则
异面直线 MN 与 B1C1 所成的角为（）
A.
B.
C.
D.
8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2010 年全年投入研发
资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全
年投入的研发资金开始超过 400 万元的年份是（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，
1g2≈0.30）（）
A. 2018 年B. 2019 年C. 2020 年D. 2021 年
9.已知 α，β 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出下列命题：
①若 m⊥α，α⊥β，m∥n，则 n∥β．
②若 m⊥α，m∥n，α∥β，则 n⊥β．
③若 α⊥β，α∩β=m，且 n⊊β，n⊥m，则 n⊥α．
④若 α∩β=m，n∥m，且 n⊈α，n⊈β，则 n∥α 且 n∥β．其中正确命题的个数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
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f
10. 已知函数 （x）=ax-2+7（a＞0 且 a≠1）的图象恒过定点 P，若定点 P 在幂函数 g（x）
的图象上，则幂函数 g（x）的图象是（）
A.B.C.D.
y
11. 已知直线 l1：
kx+y-k-2=0 恒过点 M，直线 l2：
=x-1 上有一动点 P，点 N 的坐标为（4，
6）当|PM|+|PN|取得最小值时，点 P 的坐标为（）
A.B.C.D.
12. 已知函数 f（x）=，若方程 f（x）=loga（x+2）（0＜a＜1）有且仅
有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为（）
A.
B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
11、 cos
2π
3
= ；
14、已知 2a = 5b = 10 ，则 1
+ = 。
12、若向量 a = （1,0）, b = （1,1） ， a + λ b 与 b 垂直，则 λ =；
13、已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 BC 上的点，BE=2EC，则 AE ⋅ BD =
_______；
1
ab
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
13. 已知全集 U=R，集合 A={x|（x-2）（x-9）＜0}，B={x|-2-x≤0≤5-x}．
（1）求 A∩B，B∪（∁UA）．
（2）已知集合 C={x|a≤x≤2-a}，若 C∪（∁UB）=R，求实数 a 的取值范围．
14.
ABC 三个顶点坐标为 A（0，2），B（0，-2），C（-2，2）．
（1
ABC 中，求与 BC 边平行的中位线所在直线方程；
（2
ABC 外接圆的方程．
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15. 已知函数 f（x）=ax2+bx+1（a＞0）对任意 x∈R，都有 f（x-4）=f（-x）．
（1）若函数 f（x）的顶点坐标为（x0，-3），求 f（x）的解析式；
（2）函数 f（x）的最小值记为 h（a），求函数 H（a）=a•h（a）在 a∈（0，4]上
的值域．
16. 已知四棱锥 A-BCDE，其中 AB=BC=AC=BE=1，CD=2，
CD⊥平面 ABC，BE∥CD，F 为 AD 的中点．
（1）求证：
EF∥平面 ABC；
（2）求证：
平面 CEF⊥平面 ACD；
17. 已知函数 f（x）=ax-ta-x（a＞0 且 a≠1）为定义在 R 上的奇函数．
（1）求实数 t 的值；
（2）若 f
（1）＜0，使不等式 f（kx-x2）+f（x-1）≥0 对一切 x∈R 恒成立的实数 k 的
取值范围．
+2N
18. 已知圆 M 的标准方程为 x2 （y-2）=1， 为圆 M 上的动点，直线 l 的方程为 x-2y=0，
动点 P 在直线 l 上．
（1）求|PN|的最小值，并求此时点 P 的坐标；
（2）若 P 点的坐标为（ ，m），过 P 作直线与圆 M 交于 C，D 两点，当 CD=时，
求直线 CD 的方程．
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C ．f（-x）= （-x）2+|-x|=x+|x|，为偶函数
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：
∵A={0 ，1，3}，B={1 ，2，4，5}；
∴A∩B={1} ．
故选：
D ．
进行交集的运算即可．
考查列举法的定义，以及交集的运算．
2.【答案】A
【解析】
解：
直线方程是：
x-y=2019，
即 y=x-2019，
，
故倾斜角是 45°
故选：
A ．
求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．
本题考查了求直线的斜率，倾斜角问题，是一道基础题．
3.【答案】A
【解析】
解：
A ．f
（1）=1-3=-2，f（-1）=-1- =- ，
则
则 f（-1）≠-f
（1）且f（-1）≠f1）， 函数为非奇非偶函数，满足条件．
为
B ．f（-x）=2 -x-2x=-（2x-2-x）=-f（x）， 奇函数
2
D ．由＞0 得 x＞1 或 x＜-1，则 f（-x）=ln=ln=ln（
-1
） =-ln
为
=-f（x），即函数 奇函数
故选：
A ．
根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性判断，结合奇偶性的定义分别进行判断是解决本题
的关键．
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4.【答案】D
【解析】
解：
因为 S=S，
直原
又因为梯形 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且 AD=2，BC=4，AB=2，
所以梯形的面积为 6，所以直观图 A'B'C'D'的面积为
．
故选：
D．
由题意知 S=S，故求出直角梯形面积带入即可．
直原
本题考查原图和直观图的关系，属于简单题．
5.【答案】C
【解析】
解：
由题意圆：
x2+y2-4x+6y=0 和圆：
x2+y2-6x=0 交于 A、B 两点，则 AB 的垂直
平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，
圆：
x2+y2-4x+6y=0 的圆心（2，-3）和圆：
x2+y2-6x=0 的圆心（3，0），
所以所求直线方程为：
，即 3x-y-9=0．
故选：
C．
要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两
个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．
本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算
能力，转化思想的应用．
6.【答案】C
【解析】
解：
由上表知，方程 x3+x2-2x-2=0 的一个根在（1.4065，1.438）之间，
那么方程 x3+x2-2x+a=0 的一个近似根为（精度为 0.1）1.4；
则其近似根为 1.4．
故选：
C．
由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解．
本题考查了二分法求近似解的方法，属于基础题．
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7.【答案】B
【解析】
解：
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥平面 ABC，
AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点 M，N 分别 A1C1，CC1 的中点，
∴MN∥A1C，B1C1∥BC，
∴∠A1CB 是异面直线 MN 与 B1C1 所成的角（或所成角的补角），
连结 A1B，则 A1B=A1C=BC=
，
∴∠A1CB=60°，
∴异面直线 MN 与 B1C1 所成的角为 60°．
故选：
B．
推导出 MN∥A1C，B1C1∥BC，从而∠A1CB 是异面直线 MN 与 B1C1 所成的角
（或所成角的补角），由此能求出异面直线 MN 与 B1C1 所成的角．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】C
【解析】
解：
根据题意，设第 n 年开始超过 400 万元，
则 130×（1+12%）n-2010＞400，
化为：
（n-2010）lg1.12＞2lg2-lg1.3，
解可得：
n-2010＞
≈9.8；
则 n≥2020，
故选：
C．
根据题意，设第 n 年开始超过 200 万元，可得 130×（1+12%）n-2010＞400，变形
分析可得 n 的取值范围，分析即可得答案．
本题考查函数的应用，涉及等比数列的前 n 项和公式以及对数的计算，属于
基础题．
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9.【答案】C
【解析】
解：
①，若 m⊥α，m∥n，可得 n⊥α，由 α⊥β，可得 n∥β 或 n⊂β，故①错误；
②，若 m⊥α，m∥n，可得 n⊥α，由 α∥β，则 n⊥β，故②正确；
③，若 α⊥β，α∩β=m，且 n⊊β，n⊥m，由面面垂直的性质定理可得 n⊥α，故③正
确；
④，若 α∩β=m，n∥m，且 n⊈α，n⊈β，由线面平行的判定定理可得 n∥α 且 n∥β，
故④正确．
综上可得，其中正确的个数为 3，
故选：
C．
由线面及面面垂直的性质定理可判断①；由面面平行和线面垂直的性质定理
可判断②；
由面面垂直的性质定理可判断③；由线面平行的判定定理可判断④．
本题考查空间线线 、线面和面面的位置关系，考 查平行和垂直的判断和性 质，
考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】
解：
由 x-2=0 得 x=2，此时 y=f
（2）=a0+7=1+7=8，
即 f（x）过定点 P（2，8），
设 g（x）=xα，∵g（x）过点 P（2，8），
∴2α=8，得 α=3，
即 g（x）=x3，为增函数，对应图象为 D，
故选：
D．
根据指数函数过定点的性质求出 P，利用待定系数法求出 g（x），结合幂函数
的图象进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用指数函数，幂函数的性质是解决
本题的关键．
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11.【答案】C
【解析】
解：
直线 l1：
kx+y-k-2=0，即 k（x-1）+y-2=0，令 x-1=0，
求得 x=1，y=2，可得该直线恒过点 M（1，2）．
直线 l2：
y=x-1 上有一动点 P，点 N 的坐标为（4，6），
故 M、N 都在直线 l2：
y=x-1 的上方．
点 M（1，2）关于直线 l2：
y=x-1 的对称点为 M′（3，0），
则 M′N 直线方程为=，即 y=6x-18．
把 M′N 直线方程和直线 l2：
y=x-1 联立方程组，求得，
可得当|PM|+|PN|取得最小值时，点 P 的坐标为（
）．
故选：
C．
先求得 M 的坐标．可得 M、N 都在直线 l2：
y=x-1 的上方，求出点 M（1，2）关于
直线 l2：
y=x-1 的对称点为 M′，可得 M′N 直线方程，再把把 M′N 直线方程和直
线 l2：
y=x-1 联立方程组，求得点 P 的坐标．
本题主要考查求一个点关于直线的对称点的方法，用两点式求直线的方程，
求直线的交点坐标，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】
解：
∵当 x＞0 时，f（x）=f（x-1），
∴f（x）在（0，+∞）上是周期为 1 的函数，
做出 y=f（x）与 y=loga（x+2）的函数图象，则两函数图象有 2 个交点，
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∴
＜
，解得 ≤a ．
故选：
B．
作出 f（x）与 y=loga（x+2）的函数图象，根据交点个数判断函数值的大小关系，
列出不等式组解出．
本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期性的应用，属于中档题．
13.【答案】x-2y+7=0
【解析】
解：
直线 l 上任意一点到直线 x-2y+3=0 的距离都相等，∴直线 l 与直线
x-2y+3=0 平行．
设直线 l 的方程为 x-2y+m=0．
把点 A（-1，3）代入可得：
-1-6+m=0，解得 m=7．
故直线 l 的方程为：
x-2y+7=0．
故答案为：
x-2y+7=0．
直线 l 上任意一点到直线 x-2y+3=0 的距离都相等，可得直线 l 与直线 x-2y+3=0
平行．设直线 l 的方程为 x-2y+m=0．把点 A（-1，3）代入，解得 m 即可得出．
本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
14.【答案】1
【解析】
解：
由图表可得：
f
（2）=3，g（3）=1，
故 g[f
（2）]=1，
故答案为：
1．
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先由函数的表示形式，阅读表格，再求特殊变量所对应的函数值，得解．
本题考查了函数的表示形式及特殊变量所对应的函数值，属简单题．
15.【答案】[2，6]
【解析】
解：
根据题意，f（x）是定义在[-1，+∞）上的单调递增函数，
则 f（ex-2）≥f（2-
）⇒ex-2≥2- ≥-1，
解可得：
2≤x≤6，
即不等式的解集为[2，6]；
故答案为：
[2，6]．
根据题意，结合函数的定义域与单调性分析可得 ex-2≥2-
≥-1，解可得 x 的取
值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性的性质以及应用，关键是掌握函数单调性的定义，属
于基础题．
16.【答案】
【解析】
解：
由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线
的一半，
即为，
∴该球形容器体积的最小值为：
故答案为：
．
由题意，该球形容器的半径的最小值为
．
= ，即可求出该球形
容器的体积的最小值．
本题考查正棱柱的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
17.【答案】解：
（1）A={x|2＜x＜9}，B={x|-2≤x≤5}；
∴A∩B={x|2＜x≤5}，∁UA={x|x≤2，或 x≥9}，B∪（∁UA）={x|x≤5，或 x≥9}；
（2）∁UB={x|x＜-2，或 x＞5}，C={x|a≤x≤2-a}，且 C∪（∁UB）=R；
∴；
解得 a≤-3；
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∴实数 a 的取值范围是：
（-∞，-3]．
【解析】
（1）可解出 A={x|2＜x＜9}，B={x|-2≤x≤5}，然后进行交集、补集和并集的运算
即可；
（2）可得出∁UB={x|x＜-2，或 x＞5}，这样根据 C∪（∁UB）=R 即可得出
，解出 a 的范围即可．
考查描述法的定义，以及交集、并集和补集的运算，并集的定义．
18.【答案】解：
（1
ABC 中，三个顶点坐标为 A（0，2），B（0，-2），C（-2，
2），
∴AB 的中点为（0，0），AC 的中点为（-1，2）
求与 BC 边平行的中位线所在直线方程为=，即 2x+y=0．
⊥••
（2）∵=（-2，0）•（0，-4）=0，∴，
∴△ABC 为直角三角形，故它的外接圆的圆心为 BC 的中点（-1，0），半径为
|BC|==，
ABC 的外接圆方程为（x+1）2+y2=5．
【解析】
（1）先求出 AB、AC 的中点，用两点式求出与 BC 边平行的中位线所在直线方
程．
（2）根据 AB⊥AC，可得△ABC 的外接圆的圆心为 BC 的中点（-1，0），半径为
|BC|，从而得到它的接圆的方程．
本题主要考查用两点式求直线的方程，求圆的标准方程的方法，属于中档
题．
19.【答案】解：
（1）因为函数 f（x）=ax2+bx+1（a＞0）对任意 x∈R，都有 f（x-4）=f
（-x），
所以 f（x）的对称轴方程为 x=-2，即- =-2，
所以 b=4a，
又函数 f（x）的顶点坐标为（x0，-3），
所以 f（-2）=4a-8a+1=-3，
解得：
a=1，
即 f（x）的解析式为：
f（x）=x2+4x+1，
故答案为：
f（x）=x2+4x+1；
（2）由
（1）知，f（x）的对称轴方程为 x=-2，（a＞0）
所以 h（a）=f（x）min=f（-2）=-4a+1，
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所以 H（x）=a•h（a）=-4a2+a=-4（a- ）2+ ，
又 a∈（0，4]，
所以-60≤H（x），
故 H（a）在 a∈（0，4]上的值域为：
[-60， ]，
故答案为：
[-60， ]．
【解析】
（1）由二次函数的对称轴、最值得：
f（x）的对称轴方程为 x=-2，即-
=-2，又 f
（-2）=4a-8a+1=-3，解得：
a=1
（2）由二次函数在闭区间上的值域问题得：
H（x）=a•h（a）=-4a2+a=-4（a-）2+
，又 a∈（0，4]，所以-60≤H（x）
，故 H（a）在 a∈（0，4]上的值域为：
[-60，
]．得解．
本题考查了二次函数的对称轴、最值及二次函数在闭区间上的值域问题，属
中档题．
∴
20.【答案】证明：
（1）取 AC 的中点 G，连结 FG，BG，
∵F，G 分别是 AD，AC 的中点， FG∥CD，且 FG==1，
∵BE∥CD，BE=1，∴FG∥BE，且 FG=BE，
∴四边形 EFGB 是平行四边形，∴EF∥BG，
∵BG⊂平面 ABC，EF⊄平面 ABC，
∴EF∥平面 ABC．
（2）∵AB=BC=AC，且 G 是 AC 的中点，∴BG⊥AC，
又 CD⊥平面 ABC，BG⊂平面 ABC，
∴CD⊥BG，且 AC∩CD=C，
∴BG⊥平面 ACD，
由
（1）知 EF∥BG，∴EF⊥平面 ACD，
∵EF⊂平面 CEF，∴平面 CEF⊥平面 ACD．
【解析】
（1）取 AC 的中点 G，连结 FG，BG，推导四边形 EFGB 是平行四边形，从而
EF∥BG，由此能证明 EF∥平面 ABC．
（2）推导出 BG⊥AC，CD⊥BG，从而 BG⊥平面 ACD，进而 EF⊥平面 ACD，由此
能证明平面 CEF⊥平面 ACD．
第 13 页，共 15 页
本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
21.【答案】解：
（1）依题意可得，f（0）=1-t=0，即 t=1，此时 f（x）=ax-a-x．
又 f（-x）=a-x-ax=-f（x）符合题意，
∴实数 t 的值为 1；
（2）由 f
（1）＜0，得＜0，解得 0＜a＜1．
此时 f（x）=ax-a-x 为减函数，
不等式 f（kx-x2）+f（x-1）≥0 可化为 f（kx-x2）≥f（1-x）．
即 kx-x2≤1-x 对一切 x∈R 恒成立．
故 x2-（k+1）x+1≥0 对任意 x∈R 恒成立．
∴
（k+1）2-4≤0，解得-3≤k≤1．
综上可知，实数 k 的取值范围为[-3，1]．
【解析】
（1）由 f（x）为定义在 R 上的奇函数，可得 f（0）=0，求得 t 值，验证后得答案；
（2）由 f
（1）＜0 求得 a 的范围，得到 f（x）的单调性，把不等式式 f（kx-x2）+f（x-1）
≥0 对一切 x∈R 恒成立转化为 x2-（k+1）x+1≥0 对任意 x∈R 恒成立，再由判别式
法求解．
|
本题考查函数的性质及其应用，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．
22.【答案】解：
（1）依题意知：
PN|的最小值为圆心 M 到直线 l 的距离 d 减去圆 M 的
半径，且点 M（2，0），
故 d==，∴|PN|的最小值为-1．
又过圆心 M 且与直线 l 垂直的直线方程为：
y=-2x+2，
联立解得 x= ，y= ，
综上可知，|PN|的最小值为-1，此时点 P（ ， ）；
（2）把点 P（ ，m）代入直线 l 的方程可得 m= ，即 P（ ， ），
由|CD|=，半径 r=1 得圆心 M 到直线 CD 的距离 d1== ，
1°当直线 CD 斜率不存在时，直线 CD 的方程为：
x=
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