“糖水的模式直观”为这一特定不等式的证明提供了可操作的“思想实验”.这种模式直观,也许还不能算是证明,
但是它至少为理解数学提供了极佳的直观支撑.总之,尽管公理化的数学思想是一种重要的理性思维模式,但是,不能把它理解为绝对的数学思维模式,更不能在“公理化”、“形式化”的数学体系中排斥“直觉”所发挥的作用.数学思维需要直观的支持,对于教育形态的数学来说,如此.
11.高中数学新课程设置的原则是什么?
面向21世纪的我国数学教育,应当具有时代的特征。
因此,制定新的高中数学课程,必须体现课程的时代性、基础性、选择性,对高中数学课程以明确的定位,并前瞻性地发展图景。
在《标准》中,列举了10项基本的理念,作为数学课程设计的基本指导思想。
一、构建共同基础,提供发展平台
二、提供多样课程,适应个性选择
三、倡导积极主动、勇于探索的学习方式
四、注重提高学生的数学思维能力
五、发展学生的数学应用意识
六、与时俱进地认识“双基”
七、强调本质,注意适度形式化
八、体现数学的文化价值
九、注重信息技术与数学课程的整合
十、建立合理、科学的评价体系
12.为什么必修5个模块按照1、4、5、2、3顺序更合理?
(一)数学1、数学4、数学5主要是函数主线基础,数学2是高中几何主线基础,数学3是高中概率与统计主线基础和算法主线基础。
按照《四川省普通高中数学学科教学指导意见》要求的1-4-5-2-3的开设顺序更接近现行教材的逻辑体系,从操作层面降低了新课程实施的难度。
(二)新课程数学必修5个模块按照1-4-5-2-3的开设顺序更符合学生的认知水平和规律,更有利于学生主动构建知识体系,降低学生的学习成本。
(3)虽然新课程数学必修5个模块按照1-2-4-5-3等顺序开设也有合理性,但多年教学一线的经验表明,对优生而言可能无所谓,但对大面积中等生而言,数学1的函数知识学习后接着学习数学2的几何,再学数学4和数学5的函数相关知识时,又要费很大的力气去复习数学1的函数基础。
在高中普遍扩招的前提下,学生学习能力的普遍下降是有目共睹的事实,因此顺序学习函数、几何、算法、统计与概率是降低教学成本、提高教学质量的有效选择之一。
13.试述高中数学新课程的框架和内容结构的特点。
一、高中数学课程基本框架
普通高中数学课程标准更加突出了基础性和选择性。
与以往的高中数学课程相比,高中数学课程内容由模块构成,采用学分管理的形式。
高中数学课程分为必修和选修。
必修课程由五个模块组成;选修课程有四个系列,其中系列 1、系列2 由若干个模块组成,系列 3、系列 4由若干个专题组成;每个模块 2 学分(36学时),每个专题1学分(18学时),每两个专题可组成一个模块.
二.
(1)重视课程实质结构的变革,加强艺术课程和技术课程。
(2)整体关注课程构的调整,力求学科结构的新突破。
(3)加强课程的选择性,真正促进学生的多样化发展。
(4)体现基础性,加强课程整合。
14.简述高中数学课程标准在课程目标上的新变化。
高中数学课程的总目标是:
使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。
具体目标如下。
1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
15.选择中学数学课程中的某一具体内容,以此内容完成一项探究性教学设计,并对你的教学设计进行简单的点评分析。
16.下面列举5个长期困扰中小学学生和教师的数学问题,请选择其中两个加以分析研究,讨论如何在数学课程中更加恰当地解决此类问题,以教师教学中的探究引导学生进行数学问题的探究与思考。
(1)为什么1.2+1.3=2.5而
?
(2)为什么“负负得正”?
(3)为什么0.999……<1不正确?
(4)算术运算中为什么“先做乘除而后做加减”?
(5)虚数单位i=
还是i=
?
1)为什么1.2+1.3=2.5而
?
答:
因为数学教学过程中存在心理学方面的问题。
至少在不少幼童心里存在这样的直接想法:
1.2+1.3=2.5,说明加法总是将同类的对象相加,为什么分数的加法违背大多数加法法则,不是把分子与分子、分母与分母这种同类东西相加,而是另外使用一套非常难以想象的复杂法则呢?
我们不能把这样的问题看得过分简单,可以强调分数加法自有一套法则,但是初学者心里难以将这样复杂而违背常规的法则转化为自己心里的直观形象。
下面是对于“通分”法则的解释:
首先观察带分数的减法。
如果将小数看成十进制分数,那么
是27-进位制的分数,同样
是14-进位制的分数,而
是7-进位制的分数。
小数加减法只有当进位制相同时才能进行。
在这样的理解之下,分数运算与小数运算具有统一的法则。
而“为什么1.2+1.3=2.5而
?
”的问题就迎刃而解了。
“通分”就是把不同进位制的分数化为相同进位制的分数,然后再进行运算。
古埃及人十分重视
,
这类分数,把此类分数称为“分数单位”,实际上分数的运算是又“分数单位”决定的,“分数单位”也是分数的“位值”,自然地,不同位值的两个数无法简单地进行运算。
上面的解释表面上看起来好象不涉及心理学问题,但是“位值制”概念是比较直观的概念,例如:
(苹果)+
(香蕉)难以进行简单的运算,其主要的困难就在于被加的对象没有等同的“位值”。
对于初学者来说,普通概念是他接受专业概念与专业法则的基础。
因此,简单地重复法则无法使学生摸去“心里的错误”。
教师纠正错误的第一步是让学生先做下面的问题:
教师心里必须明白,在各种各样的分数中
有举足轻重的作用,特别是儿童,在儿童心目中分数是抽象的,但是
是个例外,
是一个最富有形象的分数。
注意到这一点会对分数的教学有极大的帮助。
所以,小学生学习分数,第一步学的不应该是
,而应该是
。
虽然从表面上看起来这两个分数加法运算没有太大的区别,但这仅仅是成年人的想法,儿童没有这样的心理。
只要有每次吃半个苹果经历的儿童都不难接受
的运算法则,但是
与
一样难。
第二步还到不了做
的地步,应该通过适当的反复,尝试反复做
,
这类问题,通过同分母(不是一般的同分母运算,而是同分母的单位分数运算)的运算让学生首先注意到的不是抽象的分数运算法则,而是单位分数(即
)的重要概念。
与
相仿,单位分数在分数中处于独特的地位。
单位分数的运算基本上接近整数的运算,在儿童的心目中“形象”比较清晰。
几何形象也许是帮助儿童解决
心理困惑的工具。
下面我们摘录一段著名的美国数学家DavidMumford(1937—,哈佛大学教授,1974获菲尔兹奖,1995—1999任国际数学家联盟主席)讨论大学微积分课程改革的一篇论文(载美国数学会刊物NoticesofAMS,1997第44卷)中对数学课程中“公理证明”与“图形直观”的看法和意见,Mumford说:
“通常图形是促进交流的办法,在小学里,当你接受1/(1/n)=n时,你可能像我一样困惑。
当然,现代教科书中程度不同地摆弄公理的办法去‘证明’这一公式,但是用下面的对比图形不是一样清楚吗。
(参见下图)”
总共6块饼,每人2块,可以分给几个人?
6/2=3.结论:
6包含3个2
总共1块饼,包含几个1/4块?
结论:
1包含4个1/4,因此1/(1/4)=4
Mumford评论:
“介绍一个实例,观察一个图形,导出一个解释,难道不比去介绍形式化证明更好吗。
”
2)为什么“负负得正”?
答:
“有理数负负得正法则”教学设计”
在初中数学课堂教学中,与教科书中呈现有理数乘法法则的基本模式相对应,“负负得正法则”的教案设计方式通常有“变号法则模式”、“运动模式”以及“合情推理模式”三种基本模式,而且,分别对应于当前使用率最高的三套初中数学课程标准实验教科书的相应版本:
设计方式之一:
变号模式
首先,将本节课的教学目标拟定为:
培养学生观察、归纳、猜想、验证的能力和质疑的意识;理解并初步掌握有理数乘法法则及其运算律,会正确运算。
其次,将教学环节拟定为如下三个环节:
①导入:
根据乘法的意义,由“正数乘法2+2+2+2=2×4=8”引入被乘数是负数的乘法,进而提出问题:
(-2)×(-4)、2×(-4)意义何在?
得数是多少?
②新授内容:
探究:
先给出一组式子:
4×2=8;3×2=6;2×2=4;1×2=2.即正×正=正。
然后,让学生按照规律继续往下写,得出:
(-4)×2=-8;(-3)×2=-6;
(-2)×2=-4;(-1)×2=-2.
即负×正=负。
对比两个方阵,得出规律:
两数相乘,若其中一个数变成它的相反数,则它的积也变成原来积的相反数。
建立模型:
在默认有理数乘法满足乘法交换律的前提下,利用上述规律,推出“负×负、正×负、正×0、负×0、0×正、0×负”等几种类型的算式,并结合上面的两个方阵,让学生观察、对比、归纳,得出有理数乘法法则。
③巩固、强化:
出示练习,在此基础上得出乘法运算律在有理数范围内同样适用。
设计方式之二:
合情推理模式
首先,将本节课的教学目标拟定为:
经历有理数乘法法则的推导过程,会运用有理数乘法法则进行运算;掌握有理数乘法的交换律。
其中,法则的推导过程是教学的重点,而其中“负有理数乘负有理数”则是教学的难点。
在导入新课的环节中,教师通过让学生回忆小学学过的四种类型的乘法,即“正有理数乘正有理数,正有理数乘0,0乘0,0乘正有理数”,从而引导学生讨论引进有理数之后还应该学习哪些类型的乘法,即“负有理数乘负有理数,负有理数乘0,0乘负有理数,正有理数乘负有理数,负有理数乘正有理数”。
当学生归纳发现还有以上四种类型的乘法需要研究时,教师很巧妙地引出学习有理数乘法法则的重要意义。
在“合情推理的过程”教学环节,任课教师认为,这个环节主要是学生在教师的引导下寻求有理数乘法的规律,主要解决“正有理数乘负有理数,0乘负有理数,负有理数乘负有理数,负有理数乘正有理数”等问题。
因而,教师通过逐步分析四种新类型的有理数乘法,再加上小学学过的四种类型,也就是把有理数乘法的所有类型都进行了梳理,这就为下一步归纳总结有理数乘法法则的规律做好铺垫。
在“总结规律”的环节中,进行完八种类型的乘法推理之后,顺理成章地得出需要寻找一种更加简便的法则,以便于指导今后的运算,进而引导学生自己总结出有理数乘法的法则,总结出“确定积的符号与积的绝对值”的要点。
在“例题讲解、巩固练习”阶段,教师没有给学生讲解“乘积为1的两个有理数互为倒数”这一小规律,而是把乘法交换律加入到有理数的乘法法则这节课中来。
设计方式之三:
运动模式
本节课的教学目标为:
培养学生观察、归纳、猜想、验证的能力和质疑的意识;理解并初步掌握有理数乘法法则及其运算律,会正确运算。
教学过程包含三个环节:
①导入:
首先利用一个有关运动的现实情景,借助数轴研究有理数的乘法(+2)×(+3)=?
,(-2)×(+3)=?
,(+2)×(-3)=?
,(-2)×(-3)=?
四个问题,借助现实意义得出有关的结果(而不是利用有理数乘法的意义得出结果)。
②新授内容:
*观察、分析、归纳四个算式(+2)×(+3)=+6,(-2)×(+3)=-6,(+2)×(-3)=-6,(-2)×(-3)=+6,进而引出有理数乘法的一般法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数与0相乘,都得0。
*通过如下例子说明如何运用有理数乘法法则进行计算:
(-5)×(-3);(-5)×(+4);(-3)×9;(-)×(-2)
*通过一个登山的实际情景(即“登山”简单应用题),体现有理数乘法法则的现实性。
其中的算式为(-6)×3
③巩固、强化:
出示练习,强化训练,内容为:
计算:
6×(-9);(-4)×6;(-6)×(-1);
(-6)×0;
简单应用题(与例题2类似):
写出1,-1,等数的倒数。
对比实验显示,负负得正法则的不同的教案设计风格,对于实际的课堂教学效果影响显著:
“运动模式”从已有的算式出发导出乘法法则,可以减少“硬性规定”的痕迹,增加学生的认同感;同时,重视学生对有理数乘法法则实际运用的熟练程度;但是,“运动模型”中“负乘负”的实际意义并不能被为数甚多的学生所理解。
“合情推理模式”从若干算式中寻找规律,归纳出乘法法则,更容易被程度较好的同学所认同;同时,该模式重视学生对有理数乘法法则运用的熟练程度。
但是,这种模式对于学生的接受能力要求较高,即使在办学水平比较高的城市重点中学的相应班级,仍有超过半数的学生理解有困难。
“变号法则模式”关注发展学生的归纳、概括能力,各类学生的认同率高。
但是,在这种模式下,有理数乘法法则的现实性欠缺,不少学生感到啰嗦甚至枯燥,乏味。
4)算术运算中为什么“先做乘除而后做加减”?
答:
因为我们说:
数学容许利用直觉进行推理!
图1
观察图1,竖数=2′3,横数=3′2。
著名的英国数理逻辑学家I.Lakatos在他的名著《证明与反驳》中列举了大量的论据说明上面仅仅求助于“观察与想象”的过程也是真正的数学证明。
如果执意地认为这样的直觉推理不是证明,那么许多非常复杂的数学定理的证明将会受到同样的质疑。
现在再回到“先乘除、后加减”的运算法则。
我们已经知道了整数运算的“算术公理系统”,没有公理对于运算顺序作出任何“先验性”的要求,原则上运算顺序需要用括号来确定,从这个角度来说“先做乘除而后做加减”确是一约定,但是,我们有很多生动的例证说明这样的约定并不是完全是人为的,它们也是在使用过程中自然形成的。
下面我们以非常浅近的“羊的计算”为例,证明这一法则的“自然形成性”。