完整word版第七章线性变换总结篇高等代数docx.docx
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第7章
线性变换
7.1知识点归纳与要点解析
一．线性变换的概念与判别
1.线性变换的定义
数域
P上的线性空间
V
的一个变换
称为线性变换，如果对
V
中任意的元素
和数
域P中的任意数
k，都有：
，k
k
。
注：
V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设为数域P上线性空间V的一个变换，那么：
为V的线性变换klkl,,V,k,lP
3.线性变换的性质
设
V是数域P上的线性空间，
为V的线性变换，
1,
2,
s,
V。
性质1.
0
0,
;
性质2.
若1,
2,,
s线性相关，那么
1
2,
s
也线性相关。
性质3.
设线性变换
为单射，如果1,
2,
s线性无关，那么
1,
2,,s
也线性无关。
注：
设V是数域P上的线性空间，
1,
2,
m，1,
2,
s是V中的两个向量组，
如果：
1
c11
1
c12
2
c1s
s
2
c21
1
c22
2
c2s
s
m
cm11cm2
2
cmss
记：
c11
c21
cm1
1,2,
m
1,2,
c12
c22
cm2
s
c1s
c2s
cms
于是，若dimV
n，1,
2,,
n是V的一组基，
是V
的线性变换，
1,2,,m是
V中任意一组向量，如果：
1
b11
1
b122
b1nn
2
b211
b222
b2nn
m
bm1
1
bm2
2
bmn
n
记：
1,2,
m
1
2
m
那么：
b11
b21
cm1
1,2,
m
1,2,
b12
b22
cm2
n
b1n
b2n
cmn
b11
b21
cm1
设B
b12
b22
cm2
，1
2,
m是矩阵
B的列向量组，如果
i,
i,
i是
1
2
r
b1n
b2n
cmn
1,2,
m的一个极大线性无关组，那么
i1,
i2
ir
就是
1
2
m的一个极大线性无关组，因此向量组
1
2
m
的
秩等于秩B。
4.线性变换举例
（1）设V是数域P上的任一线性空间。
零变换：
0
0,
V；
恒等变换：
V。
幂零线性变换：
设
是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数
m，使
得
m
0，就称
为幂零变换。
幂等变换：
设
是数域P上的线性空间V的线性变换，如果
2
为幂等
，就称
变换。
（2）V
Pn,任意取定数域
P上的一个n级方阵A，令：
x1
x1
x1
x2
A
x2
x2
Pn。
xn
xn
xn
（3）V
Px，Dfx
fx,fxPx。
（4）V
Pnn，Aaij
是V中一固定矩阵，
X
AX,XPnn。
二．线性变换的运算、矩阵
1.加法、乘法、数量乘法
（1）定义：
设V
是数域
P上的线性空间，
是V的两个线性变换，定义它们的和
、乘积
分别为：
对任意的
V
，
任取
k
P，定义数量乘积
k
为：
对任意的
V
k
k
的负变换
-
为：
对任意的
V
-
=-
则
、、k
与-
都是V
的线性变换。
（2）LV
={
为V
的线性变换
}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域
P上的维线
性空间。
2.线性变换的矩阵
（1）定义：
设V是数域P上的n维线性空间，
是V的线性变换，
1,2,,n是V的
一组基，如果：
1
a11
1
a12
2
a1n
n
2
a21
1
a22
2
a2n
n
n
an11
an22
annn
a11
a21
an1
那么称矩阵A
a12
a22
an2
为线性变换
在基
1,
2,
n下的矩阵。
a1n
a2n
ann
此时：
1,
2,,
n
1,
2
n
1,
2,
nA
（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：
设1,2,
n是数域P上的n维线性空间V的一组基，
LV，设
它们在
1,
2,
n下的矩阵分别为
A,B。
1）f:
LV
Pnn，
A
是数域P上的线性空间
LV
到数域P上的线性空
间Pnn的同构映射，因此
LV
Pnn。
2）
可逆
A可逆
3）①
、
与-
在基
1,
2,
n下的矩阵分别为
A
B,AB与A；
②
任取k
P，k
在基
1,
2,
n下的矩阵为kA；
③
若
为可逆线性变换，则
1在基
1,
2,
n下的矩阵为A1；
④
设f
x
amxm
am1xm1
a1x
a0为数域P上的任一多项式，那么
f
m
am1
m1
a1
a0
为V的恒等变换）在基
am
（
1,
2,
n下的矩阵为：
f
A
amAm
am1Am1
a1Aa0En。
三．特征值、特征向量与对角矩阵
1.矩阵的特征值与特征向量
（1）矩阵的特征多项式：
设A为n级复方阵，将多项式fA
EnA称为A的特征
多项式。
注：
1）若A
aij
，则：
nn
fA
EnA
n
1a11
a22
n1
n
ann
1A
n
1tr
A
n1
1
n
A
2）将En
A称为矩阵A的特征矩阵，
EnA
0称为矩阵A的特征方程。
（2）定义：
n级方阵A的特征多项式
fA
En
A在复数域上的所有根都叫做其特
征值（根），设
0C是A的特征值，齐次线性方程组
EnAX
0的每个非零
解都叫做矩阵
A的属于其特征值
0的特征向量。
（3）求法：
1）求f
A
E
A在复数域上的所有根
1,
2,
n（重根按重数计算）；
n
2）对
kk
1,
n解齐次线性方程组
kEn
AX
0，得其一个基础解系
k1,
k2,
k,lk
（lk
n
秩
kEn
A），则矩阵A的属于特征值
k的全部特
征向量为sk1
k1
sk2
k2
sk,lkk,lk
，其中sk1,sk2,
sk,lk为不全为零的任意常
数（复数）。
（4）重要结论：
1）设
0
C是A的特征值，X0是A的属于其特征值
0的特征向量，g
x为一复
系数多项式。
①g
0
为g
A的特征值，X0
为g
A的属于特征值
g
0
的特征向量；
②如果A还是可逆矩阵，那么
1
A
分别为A
1和A的特征值，X0
为A1的属
与
0
0
于特征值1
的特征向量，
X0为A的属于特征值
A
的特征向量，
0
0
③若1,
2,
n是矩阵A的全部特征值，那么g
1
g
2
g
n
就是gA
的全部特征值，如果
A还是可逆矩阵，则
1
1
1
为A1的全部特征值，
1
2
n
A
A
A
为A的全部特征值；
1
2
n
2）若
1,2,
n是矩阵A的全部特征值，那么trA
1
2
n，
A
1
2
n。
2.线性变换的特征值与特征向量
（1）定义：
设
是数域P上的线性空间V的线性变换，
0P，若存在0
V，使得
0
，就称0为的一个特征值，
为
的一个属于特征值
0的特征向量。
（2）线性变换的特征多项式
设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基
1,
2,,n，设
在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式
EnA为
的特征多项式，记为
f
En
A，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。
（3）求法：
设
是数域P上的n维线性空间V的线性变换。
1）取定V的一组基
1,
2,
n，求出
在该基下的矩阵
A；
2）求f
En
A在P中的所有根
1,
2,
m（0
m
n，重根按重数计算，
且m
0表示
无特征值）。
3）若
m
0
，对
k
t
s
解齐次线性方程组
kEn
AX
0
，得其一个基础
1
解系
k1,k2,
k,lk（lk
n
秩
kEn
A
），则线性变换
的属于特征值k
的
全部特征向量为
1,2,,n
sk1
k1sk2k2
sk,lkk,lk
，其中
sk1,
sk2,
skk为,l
P中不全为零的任意常数。
3.矩阵相似
A,B
P
P
T
1
是数域
上的两个n级方阵，如果存在数域
上的n级可逆矩阵
，
（）定义：
设
使得T
1AT
B，就称矩阵A相似于矩阵B，记为A
B。
（2）性质：
1）矩阵相似是等价关系，即：
设
A,B,C都是n级方阵，那么：
①A
A；②
若A
B，那么B
A；③
若A
B且B
C，则A
C。
2）若A
B，那么
fA
En
A
fB
En
B，因此矩阵A与矩阵B
有
相同的特征值，相同的迹（trAtrB），相同的行列式（AB）。
3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。
（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。
（4）若T1ATB，那么BkT1AkT,kZ。
4.线性变换与矩阵可对角化
（1）矩阵可对角化
1）设A是n级方阵，如果存在
n级可逆矩阵T，使得T
1AT为对角阵，则称
A可对
角化。
A
A
2
可对角化
有n个线性无关特征向量。
）n级方阵
3）如果n级方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化。
4）设1,2,
k是n级方阵A的所有不同的特征值，
fAEnA
l1
l2
lk
1
2
k
称
12
为
的代数重数；
li
i,,,k
i
称si
n
秩
iEn
A
i1,2,
k为
i的几何重数；
si
li
i
1,2,
k
；
n级方阵A可对角化
对i
1,2,,k都有
i的代数重数=i的几何重数。
注：
1.
设齐次线性方程组
i
E
AX
0的解空间为
Wi，则s
dimW
n
i
i
2.
称Vi
Cn
A
i
为n级方阵A的属于特征值
i的特征子空间，那么
si
dim
Vi
（2）线性变换可对角化
1）设
是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组基，使得
在
该基下的矩阵为对角阵，就称
可对角化。
2）数域P上的n维线性空间V的线性变换
可对角化
有n个线性无关特征向
3
量。
P
V
是数域
上的n维线性空间
的线性变换，如果有n个不同的特征值，则
）设
可对角化。
4）设
是数域P上的n维线性空间V的线性变换，
在V的一组基下的矩阵为
A，
设1,2,,k是n级方阵A的所有不同的特征值。
①若
1,
2,
kP，那么：
可对角化
对i1,2,
k都有
i的代数重数=
i的几何重数。
②若
1,
2,
k不全在数域
P中，则
不可对角化。
注：
i的几何重数=dimVi
，其中Vi
V
的特征子空间。
i为的属于特征值i
四．线性变换的值域与核
1.定义：
设
是数域
P上的线性空间V的线性变换，将
1
0
V
0，
V
V
分别称为线性变换
的核与值域（
1
0与
V也分别记为ker
与Im）。
2.线性变换的秩与零度：
V与10都是V的子空间，将dimV与dim10
分别称为的秩和零度。
3.有限维线性空间的线性变换的值域与核
设V是数域P上的n维线性空间，
是V的线性变换，
1,2,
n为V的一组基，
在该基下的矩阵为A，r秩
A，a11a22
an
n
V。
a1
1）
10
a2
是齐次线性方程组
AX
0的解。
an
2）若
1,2,
nr是AX
0的一个基础解系，那么
1,2,,nr（其中
k
1,
2,
n
kk
1,2,
n
r）就是
10的一组基，于是：
dim
10
n
r
10
L
1
2
,
nr
k
k
22
k
nrnr
k
k
,k
nr
P
11
1
2
因此
的秩和零度为n
r。
3）V
L
1
2,
n
于是
1,
2,,
n
的一个极大线性无关组就是
V的一组基，而
1
2
n
的秩等于秩
A=r，所以dim
V
r，即
的秩为
秩A=r。
4）dimVdim
10n。
3.求法：
设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换。
1）10的求法：
①取定V的一组基
1,2,,
n，求出
在该基下的矩阵
A；
②解齐次线性方程组
AX
0
，得其一个基础解系
1,
2,
nr（r秩A）；
③令k
1,
2,
n
k
k
1,2,
nr，得
10
的一组基
1,2,
nr
，
10
L
1,2,,nr
k11
k22
knrnrk1,k2,,knrP
2）V的求法：
①取定V的
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