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1、完整word版第七章线性变换总结篇高等代数docx第 7 章线性变换7.1 知识点归纳与要点解析一线性变换的概念与判别1. 线性变换的定义数域P 上的线性空间V的一个变换称为线性变换， 如果对V中任意的元素,和数域 P 中的任意数k ，都有：， kk。注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2.线性变换的判别设为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：为 V 的线性变换 k l k l , , V , k,l P3.线性变换的性质设V 是数域 P 上的线性空间，为 V 的线性变换，1 ,2 , s ,V 。性质 1.00,;性质 2.若 1 ,2 , ,s 线性相关，那么

2、1,2 ,s也线性相关。性质 3.设线性变换为单射，如果 1 ,2 ,s 线性无关， 那么1 ,2 ,s也线性无关。注： 设 V 是数域 P 上的线性空间，1,2 ,m ， 1,2, s 是 V 中的两个向量组，如果：1c111c122c1ss2c211c222c2ssmcm1 1cm22cms s记：c11c21cm11, 2 , m1, 2 ,c12c22cm2, sc1sc2scms于是，若 dim Vn ， 1,2 , ,n 是 V 的一组基，是 V的线性变换，1 , 2 , , m 是V中任意一组向量，如果：1b111b12 2b1n n2b21 1b22 2b2 n nmbm11b

3、m22bmnn记：1 , 2 , m1,2m那么：b11b21cm11, 2 , m1, 2 ,b12b22cm2, nb1nb2ncmnb11b21cm1设 Bb12b22cm2， 1,2 ,m 是矩阵B 的列向量组，如果i ,i ,i 是12rb1nb2ncmn1 , 2, m 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么i1 ,i2ir就 是1,2m 的一个极大线性无关组，因此向量组1,2m的秩等于秩 B 。4.线性变换举例（1）设 V 是数域 P 上的任一线性空间。零变换： 00,V ；恒等变换：,V 。幂零线性变换：设是数域 P 上的线性空间 V 的线性变换，如果存在正整数m

4、，使得m0 ，就称为幂零变换。幂等变换：设是数域 P 上的线性空间 V 的线性变换，如果2为幂等，就称变换。（2） VPn , 任意取定数域P 上的一个 n 级方阵 A ，令：x1x1x1x2Ax2,x2Pn 。xnxnxn（3） VP x ， D f xf x , f x P x 。（4） VPn n ， A aij是 V 中一固定矩阵，XAX , X Pn n 。二线性变换的运算、矩阵1.加法、乘法、数量乘法（ 1） 定义： 设 V是数域P 上的线性空间，, 是 V 的两个线性变换，定义它们的和、乘积分别为：对任意的V，任取kP ，定义数量乘积k为：对任意的Vkk的负变换-为：对任意的V-

5、=-则、 、 k与 -都是 V的线性变换。（2） L V=为 V的线性变换 ，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线性空间。2.线性变换的矩阵（ 1）定义： 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，是 V 的线性变换，1 , 2 , , n 是 V 的一组基，如果：1a111a122a1nn2a211a222a2nnnan1 1an 2 2ann na11a21an1那么称矩阵 Aa12a22an 2为线性变换在基1 ,2 ,n 下的矩阵。a1 na2 nann此时：1 ,2, ,n1 ,2n1 ,2 ,n A（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：

6、设 1 , 2 ,n 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一组基，, L V ，设它们在1,2 , n 下的矩阵分别为A,B 。1） f : L VPn n ，A是数域 P 上的线性空间L V到数域 P 上的线性空间 Pn n 的同构映射，因此L VPn n 。2 ）可逆A 可逆3）、与 -在基1 ,2 , n 下的矩阵分别为AB,AB 与 A ；任取 kP ， k在基1,2 , n 下的矩阵为 kA ；若为可逆线性变换，则1 在基1 ,2 , n 下的矩阵为 A 1 ；设 fxam xmam 1xm 1a1 xa0 为数域 P 上的任一多项式，那么fmam 1m 1a1a0为 V 的 恒

7、 等 变 换 ） 在 基am（1,2 , n 下的矩阵为：fAam Amam 1 Am 1a1 A a0 En 。三特征值、特征向量与对角矩阵1.矩阵的特征值与特征向量（ 1）矩阵的特征多项式：设 A 为 n 级复方阵，将多项式 f AEn A 称为 A 的特征多项式。注： 1 ）若 Aaij，则：nnf AEn An1 a11a22n 1nann1 An1 trAn 11nA2) 将 EnA 称为矩阵 A 的特征矩阵，En A0 称为矩阵 A 的特征方程。（2） 定义： n 级方阵 A 的特征多项式f AEnA 在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设0 C 是 A 的特征值，齐次线性方程

8、组En A X0 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0 的特征向量。（3）求法：1）求 fAEA 在复数域上的所有根1 ,2 ,n （重根按重数计算） ；n2 ） 对k k1,n 解 齐 次 线 性 方 程组k EnA X0 ， 得 其 一 个 基 础 解 系k1 ,k2 ,k,lk（ l kn秩k EnA ），则矩阵 A 的属于特征值k 的全部特征向量为 sk1k1sk 2k2sk,l k k,lk，其中 sk1, sk 2 , sk,l k 为不全为零的任意常数（复数）。（4） 重要结论：1）设0C 是 A 的特征值， X 0 是 A 的属于其特征值0 的特征向量， gx 为一复系数

9、多项式。 g0为 gA 的特征值， X 0为 gA 的属于特征值g0的特征向量； 如果 A 还是可逆矩阵，那么1A分别为 A1 和 A 的特征值， X0为 A 1 的属与00于特征值 1的特征向量，X 0 为 A 的属于特征值A的特征向量，00 若 1 ,2 ,n 是矩阵 A 的全部特征值， 那么 g1,g2,gn就是 g A的全部特征值，如果A 还是可逆矩阵，则1,1,1为 A 1 的全部特征值，12nAA,A为 A 的全部特征值；,12n2 ） 若1 , 2 , n 是 矩 阵 A 的 全 部 特 征 值 ， 那 么 tr A12n ，A12n 。2.线性变换的特征值与特征向量（1）定义：

10、 设是数域 P 上的线性空间 V 的线性变换，0 P ，若存在 0V ，使得0，就称 0 为 的一个特征值，为的一个属于特征值0 的特征向量。（2）线性变换的特征多项式设 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换， 任取 V 的一组基1,2 , , n ，设在该基下的矩阵为 A ，称矩阵为 A 的特征多项式En A 为的特征多项式，记为fEnA ，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。（3）求法： 设是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换。1）取定 V 的一组基1,2 , n ，求出在该基下的矩阵A ；2）求 fEnA 在 P 中的所有根1 ,2 , m（ 0

11、mn ，重根按重数计算，且 m0 表示无特征值）。3）若m0，对kt,s解齐次线性方程组k EnA X0，得其一个基础1解系k1 , k2 ,k,l k （ l kn秩k EnA），则线性变换的属于特征值 k的全 部 特 征 向 量 为1 , 2 , nsk1k1sk2 k 2sk ,lk k ,lk， 其 中sk1 ,sk2 , skk为,lP 中不全为零的任意常数。3. 矩阵相似A,BPPT1是数域上的两个 n 级方阵，如果存在数域上的 n 级可逆矩阵，（ ）定义： 设使得 T1 ATB ，就称矩阵 A 相似于矩阵 B ，记为 AB 。（2）性质：1）矩阵相似是等价关系，即：设A,B,C

12、都是 n 级方阵，那么： AA ； 若 AB ，那么 BA ； 若 AB 且 BC ，则 AC 。2）若 AB ，那么f AEnAf BEnB ，因此矩阵 A 与矩阵 B有相同的特征值，相同的迹（ tr A tr B ），相同的行列式（ A B ）。3）两个实对称阵相似 它们有相同的特征值。（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。（4）若 T 1 AT B ，那么 Bk T 1AkT , k Z 。4.线性变换与矩阵可对角化（1）矩阵可对角化1）设 A 是 n 级方阵，如果存在n 级可逆矩阵 T ，使得 T1AT 为对角阵，则称A 可对角化。AA2可对角化有 n 个线性无关

13、特征向量。） n 级方阵3）如果 n 级方阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化。4）设 1 , 2 , k 是 n 级方阵 A 的所有不同的特征值，fA En Al1l2lk12k称1 2为的代数重数；lii , , ,ki称 sin秩i EnAi 1, 2,k 为i 的几何重数；silii1,2,k；n 级方阵 A 可对角化对 i1,2, ,k 都有i 的代数重数 = i 的几何重数。注： 1.设齐次线性方程组iEA X0的解空间为Wi ，则 sdim Wnii2.称 V iC nAi为 n 级方阵 A 的属于特征值i 的特征子空间，那么sidimV i（2）线性变换可对角化1）

14、 设是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换， 如果存在 V 的一组基， 使得在该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。2）数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换可对角化有 n 个线性无关特征向3量。PV是数域上的 n 维线性空间的线性变换， 如果 有 n 个不同的特征值， 则）设可对角化。4 ）设是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换，在 V 的一组基下的矩阵为A ，设1 , 2 , , k 是 n 级方阵 A 的所有不同的特征值。 若1 ,2 ,k P ，那么：可对角化对 i 1,2,k 都有i 的代数重数 =i 的几何重数。 若1 ,2 ,k 不全在数域P 中，则不

15、可对角化。注：i 的几何重数 = dim V i，其中 V iV的特征子空间。i 为 的属于特征值 i四线性变换的值域与核1. 定义： 设是数域P 上的线性空间 V 的线性变换，将10V0 ，VV分别称为线性变换的核与值域 （10 与V 也分别记为 ker与Im ）。2. 线性变换的秩与零度： V 与 1 0 都是 V 的子空间，将 dim V 与 dim 1 0分别称为 的秩和零度。3.有限维线性空间的线性变换的值域与核设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，是 V 的线性变换，1, 2 ,n 为 V 的一组基，在该基下的矩阵为 A ， r 秩A ，a1 1 a2 2annV 。a11）1

16、 0a2是齐次线性方程组AX0 的解。an2 ） 若1, 2 , n r 是 AX0 的 一 个 基 础 解 系 ， 那 么1 , 2 , , n r （ 其 中k1,2 ,nk k1,2, nr ）就是1 0 的一组基，于是：dim1 0nr1 0L1,2, ,n rkk2 2kn r n rk,k, ,kn rP1 112因此的秩和零度为 nr 。3 ） VL1,2 ,n于 是1 ,2 , ,n的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 就 是V 的 一 组 基 ， 而1,2,n的秩等于秩A = r ，所以 dimVr ，即的秩为秩A = r 。4） dim V dim1 0n 。3.求法：设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， 是 V 的线性变换。1） 1 0 的求法： 取定 V 的一组基1, 2 , ,n ，求出在该基下的矩阵A ； 解齐次线性方程组AX0，得其一个基础解系1,2, n r （ r 秩 A ）； 令 k1,2 , nkk1,2, n r ，得1 0的一组基1 , 2,n r，1 0L1 , 2 , n rk1 1k2 2kn r n r k1 ,k2 , ,kn r P2） V 的求法： 取定 V 的