A．240B．204
C．729D．920
解析：
选A 分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；
当中间数为3时，有2×3＝6个；
当中间数为4时，有3×4＝12个；
当中间数为5时，有4×5＝20个；
当中间数为6时，有5×6＝30个；
当中间数为7时，有6×7＝42个；
当中间数为8时，有7×8＝56个；
当中间数为9时，有8×9＝72个．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数．
[技法融会]
1．两个计数原理的应用技巧
（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
2．（易错提醒）在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关键.
名称
排列
组合
相同点
都是从n个不同元素中取m（m≤n）个元素，元素无重复
不同点
①排列与顺序有关；
②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同
①组合与顺序无关；
②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同
[题组练透]
1．（2016·兰州模拟）将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种B．12种
C．10种D．9种
解析：
选B 第一步，为甲校选1名女教师，有C＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B.
2．（2016·四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24B．48
C．60D．72
解析：
选D 第一步，先排个位，有C种选择；
第二步，排前4位，有A种选择．
由分步乘法计数原理，知有C·A＝72（个）．
3．（2016·长春质检）小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（ ）
A．18种B．27种
C．37种D．212种
解析：
选C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：
取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：
取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：
取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C，有35种方式．共计37种取法．故选C.
4．（2016·河南八市联考）将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（ ）
A．15B．20
C．30D．42
解析：
选C 四个篮球中两个分到一组有C种分法，将分到一组的两个篮球看成一个与其余两个篮球全排列有A种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30种分法．
[技法融会]
解答排列组合问题的4个角度
解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．
（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；
（3）“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.
1．通项公式与二项式系数
Tk＋1＝Can－kbk（k＝0，1，2，…，n），其中C叫做二项式系数．
提示：
Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项．
2．各二项式系数之和
（1）C＋C＋C＋…＋C＝2n.
（2）C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
[题组练透]
1．（2016·河北五校联考）在二项式（1－2x）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（ ）
A．－960B．960
C．1120D．1680
解析：
选C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在（1－2x）n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则（1－2x）8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C（－2）4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120，故选C.
2．（2016·山西四校联考）已知（1＋x）10＝a0＋a1（1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a10（1－x）10，则a8等于（ ）
A．－5B．5
C．90D．180
解析：
选D ∵（1＋x）10＝[2－（1－x）]10＝a0＋a1（1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a10（1－x）10，∴a8＝C·22＝180.
3．（2016·天津高考）的展开式中x7的系数为________．（用数字作答）
解析：
的通项Tr＋1＝C（x2）8－r＝（－1）rCx16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为（－1）3C＝－56.
答案：
－56
4．（2016·广州模拟）若展开式中的常数项为－40，则a＝________.
解析：
展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C（2x）5－r·＝C25－rx5－2r，因为（2x＋）5的展开式中的常数项为－40，所以axC22x－1＋C23x＝－40，所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.
答案：
－3
[技法融会]
1．利用二项式定理求解的2种常用思路
（1）二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．
（2）二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
2．（易错提醒）在应用通项公式时，要注意以下几点：
（1）它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
（2）Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；
（3）公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置.
二项式定理与其他知识的交汇
近年，对二项式定理的考查由单一考查向交汇考查转变，在考查时，多与定积分、直线的方程、指数式与对数式的运算相结合，复习时，应引起重视．
[新题速递]
1．（2016·贵州模拟）二项式（n∈N*）展开式中存在常数项的一个充分条件是（ ）
A．n＝5B．n＝6C．n＝7D．n＝9
解析：
选B 二项式展开式的第r＋1项是C（－1）rxn－2r，若存在常数项，则n＝2r，即n是偶数，所以n＝6是展开式中存在常数项的充分条件，选项B正确．
2．（2016·广州五校联考）若的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________.
解析：
的展开式的通项为Tr＋1＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，
∴的展开式中x3项的系数为Ca3b3＝20，∴ab＝1，∴log2a＋log2b＝log2ab＝log21＝0.
答案：
0
3．（2016·兰州模拟）（m＋x）（1＋x）3的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为16，则xmdx＝________.
解析：
（m＋x）（1＋x）3＝（m＋x）（Cx3＋Cx2＋Cx＋C），所以x的奇数次幂项的系数之和为mC＋mC＋C＋C＝16.解得m＝3，所以xmdx＝x3dx＝x4|＝0.
答案：
0
[技法融会]
此类问题一般难度较小，主要体现在知识间的交汇，求解时，只要理清知识间的关系，然后对每个知识点逐一击破，问题便得以解决．
一、选择题
1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}，若P＝{0，1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5}，则P⊗Q中元素的个数是（ ）
A．4B．9C．20D．24
解析：
选C 依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素，故选C.
2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（ ）
A．224B．112C．56D．28
解析：
选B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有CC＝112种．
3．（2016·四川高考）设i为虚数单位，则（x＋i）6的展开式中含x4的项为（ ）
A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4
解析：
选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4，得r＝2.
故T3＝Cx4i2＝－15x4.故选A.
4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种B．63种C．65种D．66种
解析：
选D 从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：
第一类是取四个偶数，即C＝1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即CC＝60种方法；第三类是取四个奇数，即C＝5，故有5＋60＋1＝66种方法．
5．（2016·南昌一模）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A．30种B．36种C．60种D．72种
解析：
选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有CC＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．
6．已知（x＋2）15＝a0＋a1（1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a15（1－x）15，则a13的值为（ ）
A．945B．－945C．1024D．－1024
解析：
选B 由（x＋2）15＝[3－（1－x）]15＝a0＋a1（1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a15（1－x）15，得a13＝C×32×（－1）13＝－945.
7．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72B．168C．144D．120
解析：
选D 先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．
（1）小品1，相声，小品2.有AA＝48；
（2）小品1，小品
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