0
mg
v2
v2
模型二：
汽车过拱桥问题：
a、涉及公式：
mgFm,所以当Fmgmmg，
N
N
R
R
此时汽车处于失重状态，而且v越大越明显，因此汽车过拱桥时不
宜告诉行驶。
v2
FmgmvgR
b、分析：
当
：
N
R
（
（
（
1）vgR
，汽车对桥面的压力为0，汽车出于完全失重状态；
vgR
0Fmg
2）0
，汽车对桥面的压力为
。
N
3）vgR
，汽车将脱离桥面，出现飞车现象。
v2
c、注意：
同样，当汽车过凹形桥底端时满足Fmgm，汽车对
N
R
桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态，若车速过大，容
易出现爆胎现象，即也不宜高速行驶。
II、圆周运动的临界问题
A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题
谈一谈：
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
对于物体在竖直平面内做变速圆周运
动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界
问题。
模型三：
轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：
（
注意：
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.）
（1）临界条件：
小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨
的弹力刚好等于0，小球的重力提供向心力。
即：
v
v2
v
mgm临界vgR。
临界
R
绳
O
2）小球能过最高点的条件：
v
gR.当vgR时，绳
对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。
3）小球不能过最高点的条件：
v
（实际上球还
（
R
v
（
gR
没到最高点时就脱离了轨道）。
模型四：
轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：
1）临界条件：
由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最
高点的临街速度v临界0.
（
v
v
杆
（
①
2）如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F，其大小等于小
N
球的重力，即F=mg；
N
②
当0vgR时，轻杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小
甲
乙
随小球速度的增大而减小，其取值范围是0Fmg；
N
③当v
④当v
gR
gR
时，F=0；
N
时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。
（
①
3）如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况：
当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F，其大小等于小球的重力，即F=mg；
N
N
②
当0vgR时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力F，大小随小球速度的增
N
大而减小，其取值范围是0Fmg；
N
③
④
当vgR时，F=0；
N
当
时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而
gR
v
增大。
模型五：
小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：
两种情况：
（
1）若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度v
的限制条件是vgR.
（
2）若vgR，物体将从最高电起，脱离圆轨道做平抛运动。
B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题
谈一谈：
在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半
径变化）的趋势。
这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在
时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
模型六：
转盘问题
处理方法：
先对A进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当
N
然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。
受力分析完成后，可以发
A
现支持力N与mg相互抵销，则只有f充当该物体的向心力，则有
2
O
f
v2
Fmm2Rm（）2Rm（2n）2Rfmg，接着可以求的所需的圆周
mg
R
T
运动参数等。
等效为
等效处理：
O可以看作一只手或一个固定转动点，B绕着O经长为R的轻绳或轻
杆的牵引做着圆周运动。
还是先对B进行受力分析，发现，上图的f在此图中可
等效为绳或杆对小球的拉力，则将f改为F即可，根据题意求出F拉，带入公式
O
R
拉
v2
2
Fmm2Rm（）2Rm（2n）2RF，即可求的所需参量。
拉
R
T
B
第六章万有引力与航天
§
6-1开普勒定律
一、两种对立学说（了解）
1
.地心说：
（
1）代表人物：
托勒密；
（2）主要观点：
地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。
2.日心说：
（1）代表人物：
哥白尼；
（2）主要观点：
太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。
二、开普勒定律
1
.开普勒第一定律（轨道定律）：
所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的
一个焦点上。
.开普勒第二定律（面积定律）：
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等
的面积。
此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。
2
3
.开普勒第三定律（周期定律）：
所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比
a
3
2
k,k值是由中心天体决定的。
通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似
值都相同，即
T
为圆，则半长轴a即为圆的半径。
我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动
速率的大小。
§
6-2万有引力定律
一、万有引力定律
1
.月—地检验：
①检验人：
牛顿；②结果：
地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力
都是同一种力。
.内容：
自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量
2
m和m乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。
12
mm
3
.表达式：
FG
1
2，G6.671011Nm
2
/kg
2
（引力常量）.
r
.使用条件：
适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也
2
4
可用此公式计算，其中r指球心间的距离。
5.四大性质：
①
②
③
普遍性：
任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。
相互性：
两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。
宏观性：
一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在
才有意义。
特殊性：
两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境
以及周围是否有其他物体无关。
④
6
.对G的理解：
①G是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装置测出，单位是Nm/kg2。
2
②
③
G在数值上等于两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力大小。
G的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精
密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。
.万有引力与重力的关系：
（1）“黄金代换”公式推导：
GMm
7
当GF时，就会有mg
GMgR
。
2
R
（2）注意：
①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有
2
引力。
②
③
只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，
在两极时重力最大。
④
⑤
随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的
计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。
8
.万有引力定律与天体运动：
（1）运动性质：
通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。
（2）从力和运动的关系角度分析天体运动：
天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力
由万有引力提供，即F=F。
如图所示，由牛顿第二定律得：
万
需
GMm
L
2
Fma,F
，从运动的角度分析向心加速度：
需
万
2
v
2
2
T
a
2
LL（2f）
2
L.
n
L
2
T
2
GMm
L
2
v
2
m
m
2
LmLm（2f）
2
L.
（
3）重要关系式：
L
9
.计算大考点：
“填补法”计算均匀球体间的万有引力：
谈一谈：
万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成
一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。
模型：
如右图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，
紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和
空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
思路分析：
把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。
根据“思路分析”所述，引力F可视作F=F+F：
2
1
3
3
GMm
d
4R
4R
M
1
已知F
，因半径为R/2的小球质量为M'
M,
4
2
3
2
3
2
8
R
3
3
M'm
Mm
GMm
d
Mm
7d
2
8dR2R
2
所以FG
G
FFF
G
GMm
2
2
2
1
2
2
R2
2
R
R
R
d
8d
8d
8d
2
d
2
2
2
2
7
d
2
8dR2R
2
则挖去小球后的剩余部分对球外质点
升级会员 