平行四边形.docx

平行四边形.docx

《平行四边形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行四边形.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平行四边形

平行四边形

适用学科

初中数学

适用年级

八年级

适用区域

南区广东

课时时长（分钟）

60

知识点

平行四边形的定义、性质、判定

教学目标

1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 

2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

教学重点

平行四边形的判定方法及应用． 

教学难点

平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．

教学过程

一、课堂导入

小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？

（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？

（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？

   （3）你能说出你的做法及其道理吗？

  （4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？

你能用文字语言表述出来吗？

   （5）你还能找出其他方法吗？

二、复习预习

将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边

重合，得到一个四边形。

 注意：

要求剪切时要保证截口线是直的，并且要使剪出的两个三角形

是全等三角形。

问题：

你拼出了什么样的四边形？

有你们小学学过的平行四边形吗？

这个四边形的对边有怎样的位置关系？

说说你的理由。

三、知识讲解

考点1

定义

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．

（2）表示方法：

用“”表示平行四边形，例如：

平行四边形ABCD记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．

考点2

性质

平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．

（1）角：

平行四边形的邻角互补，对角相等；

（2）边：

平行四边形两组对边分别平行且相等；

（3）对角线：

平行四边形的对角线互相平分；

（4）面积：

①

；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．

考点3

判别方法

①定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

③方法2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤方法4：

一组平行且相等的四边形是平行四边形

四、例题精析

考点一平行四边形的性质

例1如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．

（1）证明：

∠DFA=∠FAB；

（2）证明：

△ABE≌△FCE．

【解析】

〖解题思路〗

（1）利用平行四边形的两组对边分别平行即可得到两角相等；

（2）利用上题证得的结论及平行四边形对边相等即可证明两三角形全等．

〖参考答案〗证明：

（1）∵在平行四边形ABCD中，

∴DF∥AB，

∴∠DFA=∠FAB；

（2）∵E为BC中点，

∴EC=EB，

∴在△ABE与△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE．

考点二平行四边形的面积相关

例2阅读下面操作过程，回答后面问题：

在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（a）），小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（b））；

（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：

S1　　S2，S3　　S4；

（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有

　　条，请在图（c）的平行四边形中画出一种；

（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？

【解析】

〖选题意图〗平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．

〖解题思路〗

（1）都是相等关系，因为AC，EF都经过平行四边形的对称中心，故分得的两部分的面积相等；

（2）有无数条，因为经过对称中心的直线有无数条；

（3）经过平行四边形对称中心的直线把平行四边形的面积分成相等的两份．

〖参考答案〗解：

（1）S1=S2，S3=S4；

（2）无数，如图，所以直线过O即可；

（3）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形．

考点三两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）

例3已知：

如图，∠1=∠2，BE∥MF，EF∥AB．求证：

AF=BM．

【解析】

〖选题意图〗本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及判定定理．能够把两条不相关的直线通过等效转化建立联系是解题的关键．

〖解题思路〗由BE∥MF，EF∥AB，可判断四边形BMEF为平行四边形，再根据同位角求出∠2=∠AEF，即可得出结论．

〖参考答案〗证明：

∵BE∥MF，EF∥AB，

∴四边形BMEF为平行四边形，∴BM=EF，

∵EF∥AB，∴∠EFC=∠1+∠2．

又∠EFC=∠2+∠AEF，

∴∠AEF=∠1=∠2，

∴AF=EF，即AF=BM．

考点四两组对边分别相等的四边形是平行四边形

例4如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为G、H．判断四边形GEHF的形状，并说明理由．

【解析】

〖选题意图〗本题考查了平行四边形的性质和判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

〖解题思路〗求出四边形GEHF的两组对边相等，即可判定其为平行四边形．

〖参考答案〗解：

四边形GEHF为平行四边形．

在平行四边形ABCD中，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，即为两个三角形的高，

∴AE∥CF且AE=CF，

进而可得△CFH≌△AEG，

∴GE=FH，

同理，GF=EH，

∴可得四边形GEHF为平行四边形．

五、课堂运用

【基础】

1、如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：

AB=BF．

【解析】

解：

由ABCD是平行四边形得AB∥CD，

∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF．

又∵E为BC的中点，

∴△DEC≌△FEB，

∴DC=FB．

又∵AB=CD，

∴AB=BF．

2、

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF．

（1）求证：

△ABE≌△FDA；

（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．

【解析】

证明：

（1）在平行四边形ABCD中，AB=DC，

又∵DF=DC，

∴AB=DF．

同理EB=AD．

在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，

又∵∠EBC=∠CDF，

∴∠ABE=∠ADF．

∴△ABE≌△FDA．

（2）∵△ABE≌△FDA，

∴∠AEB=∠DAF．

∵∠EBG=∠EAB+∠AEB，

∴∠EBG=∠DAF+∠EAB，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF=90°．

∵∠BAD=32°，

∴∠DAF+∠EAB=90°﹣32°=58°．

∴∠EBG=58°．

3、已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．

【解析】

解：

设AB=x，则BC=18﹣x，

由AB•DE=BC•DF

代入数值得：

，解之x=10，

所以平行四边形ABCD的面积为．

【巩固】

1、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上。

图中有　　对四边形面积相等；

他们是　，，．

【解析】

〖参考答案〗∵在平行四边形ABCD中，BD是对角线

∴S△ABD=S△DBC，S△BEP=S△BHP，S△GPD=S△DPF，

让最大的三角形面积减去其他两个小三角形面积可得：

S▱AEPG=S▱PHCF，都加上S▱EBHP可得S▱ABHG=S▱EBCF，

都加上S▱GPFD可得：

S▱AEFD=S▱CDGH．

S四边形ABPG=S△ABD﹣S△GPD=S△BCD﹣S△PFD=S四边形CBPF；

S四边形ADPE=S△ABD﹣S△EPB=S△CBD﹣S△HPB=S四边形CDPH．

∴图中有3对四边形面积相等，

即：

S▱AEPG=S▱PHCF、S▱ABHG=S▱EBCF、S▱AEFD=S▱CDGH．

2、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．

【解析】

证明：

（1）在平行四边形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AO=CO，

∴△AOF≌△COE．

∴AF=CE．

又∵AD=BC，

∴AD﹣AF=BC﹣BE，

即BE=DF．

（2）答：

当E点与B点重合时，EF将平行四边形ABCD分成的四个部分的面积相等．

理由：

由△ABO与△AOD等底同高可知面积相等，

同理，△ABO与△BOC的面积相等，

从而易知所分成的四个三角形面积相等．

【拔高】

1、如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请说明四边形ADEF是什么四边形；

【解析】解：

四边形ADEF是平行四边形．

理由：

∵△ABD，△EBC都是等边三角形．

∴AD=BD=AB，BC=BE=EC

∠DBA=∠EBC=60°

∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．

∴∠DBE=∠ABC．

在△DBE和△ABC中

∵BD=BA

∠DBE=∠ABC

BE=BC，

∴△DBE≌△ABC．

∴DE=AC．

又∵△ACF是等边三角形，

∴AC=AF．

∴DE=AF．

同理可证：

AD=EF，

∴四边形ADEF平行四边形．

2、已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

【解析】证明：

如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=OA，OH=OC，

∴OG=OH．

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

课程小结

平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的． 

（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明． 

（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：