北师大版七年级数学下册《应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法》专题试题附答案.docx

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北师大版七年级数学下册《应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法》专题试题附答案

北师大版七年级数学下册

专题训练系列（附解析）

专训1　应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

名师点金：

　在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条直线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．

加截线（连接两点或延长线段相交）

1．【中考·河北】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD等于（　　）

（第1题）

A．120°

B．130°

C．140°

D．150°

过“拐点”作平行线

a．“

”形图

2．如图，已知AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．

（第2题）

b．“

”形图

3．

（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数．

（2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？

请说明理由．

（3）如图②，AB∥EF，根据

（2）中的结论，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．

（第3题）

c．“

”形图

4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？

请说明理由．

（第4题）

d．“

”形图

5．如图，AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．

（第5题）

e．“

”形图

6．

（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数．

（2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？

试说明理由．

（第6题）

平行线间多折点角度问题探究

7．

（1）如图①，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？

请说明理由．

（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？

直接写出．

（第7题）

答案

1．C

2．解：

方法一：

过点P作射线PN∥AB，如图①所示．

因为AB∥CD，所以PN∥CD.

所以∠4＝∠2＝28°.因为PN∥AB，所以∠3＝∠1.

又因为∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，

所以∠1＝30°.

方法二：

过点P作射线PM∥AB，如图②所示．

因为AB∥CD，所以PM∥CD.

所以∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.

因为∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，

所以∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.

因为AB∥PM，所以∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.

（第2题）

（第3题）

3．解：

（1）如图，过C作CF∥AB，

所以∠B＋∠BCF＝180°.

又因为AB∥DE，所以CF∥DE.

所以∠FCD＋∠D＝180°.

所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.

所以∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.

（2）∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：

如图，因为CF∥AB，

所以∠B＋∠BCF＝180°.又因为AB∥DE，所以CF∥DE.

所以∠FCD＋∠D＝180°.所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.

（3）∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.

4．解：

∠BCD＝∠B－∠D.

（第4题）

理由：

如图，过点C作CF∥AB.

因为CF∥AB，

所以∠B＝∠BCF（两直线平行，内错角相等）．因为AB∥DE，CF∥AB，所以CF∥DE（平行于同一条直线的两条直线平行）．

所以∠DCF＝∠D（两直线平行，内错角相等）．

所以∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.

因为∠BCD＝∠BCF－∠DCF，所以∠BCD＝∠B－∠D.

点拨：

图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．

5．解：

如图，过点C作CF∥AB.因为AB∥DE，所以DE∥CF.

所以∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.

所以∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.

又因为AB∥CF，所以∠ABC＝∠BCF＝72°.

（第5题）

6．解：

（1）过E点向左侧作EF∥AB，所以∠B＋∠BEF＝180°.

所以∠BEF＝180°－∠B＝50°.又因为AB∥CD，且EF∥AB，

所以EF∥CD.所以∠FEC＝∠C＝30°.

所以∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.

（2）∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：

过E点向左侧作EF∥AB，又因为AB∥CD，所以EF∥CD.所以∠FEC＝∠C.

又因为∠BEF＝∠BEC－∠FEC，所以∠BEF＝∠BEC－∠C.

因为AB∥EF，所以∠B＋∠BEF＝180°.所以∠B＋∠BEC－∠C＝180°.

7．解：

（1）∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.

理由：

过E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，

如图所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，

（第7题）

所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.

因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.

（2）在题图②中有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.