则y＝x×
＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，
∴当x＝3时，y最大．
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝
x2＋2x＋20（万元）．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．
答案 18
解析 利润L（x）＝20x－C（x）＝－
（x－18）2＋142，
当x＝18时，L（x）有最大值．
4．已知某物体的温度Q（单位：
摄氏度）随时间t（单位：
分钟）的变化规律为Q＝m·2t＋21－t（t≥0，且m>0）．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________．
答案
解析 由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立（t≥0，且m>0），
又m·2t＋21－t≥2
，∴2
≥2，∴m≥
.
题组三 易错自纠
5．（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少
，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：
lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ）
A．6B．9C．8D．7
答案 BC
解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求，
则
×
n≤
，即
n≤
，
由nlg
≤－lg20，即n（lg2－lg3）≤－（1＋lg2），得n≥
≈7.4，故选BC.
6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．
答案
－1
解析 设年平均增长率为x，则（1＋x）2＝（1＋p）（1＋q），
∴x＝
－1.
7．已知某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog3（x＋1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
答案 200
解析 由题意知100＝alog3（2＋1），
∴a＝100，∴y＝100log3（x＋1）．
当x＝8时，y＝100log39＝200.
用函数图象刻画变化过程
1.（2019·武汉月考）高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（ ）
答案 B
解析 v＝f（h）是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
2．设甲、乙两地的距离为a（a>0），小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为（ ）
答案 D
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1,2，…，8）数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合（ ）
A．y＝ax＋bB．y＝a＋b
C．y＝a·bxD．y＝ax2＋bx＋c
答案 B
解析 根据散点图可知，选择y＝a＋b
最适合．
思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
（1）构建函数模型法：
当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
（2）验证法：
根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
已知函数模型的实际问题
例
（1）（2020·广州模拟）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－
Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．
答案 2500
解析 L（Q）＝40Q－
Q2－10Q－2000
＝－
Q2＋30Q－2000＝－
（Q－300）2＋2500.
则当Q＝300时，L（Q）取得最大值为2500万元．
（2）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝
t－a（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为________________________________________________________________________．
②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案 ①y＝
②0.6
解析 ①设y＝kt，由图象知y＝kt过点（0.1,1），
则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t（0≤t≤0.1）．
由y＝
t－a过点（0.1,1），得1＝
0.1－a，
解得a＝0.1，∴y＝
t－0.1（t>0.1）．
②由
t－0.1≤0.25＝
，得t≥0.6.
故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．
思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关键点
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该模型求解实际问题．
跟踪训练
（1）拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费（单位：
元）由f（m）＝1.06（0.5[m]＋1）给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数（如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3），则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则f（6.5）＝1.06×（0.5×6＋1）＝4.24.
（2）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：
元/100kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
②最低种植成本是________元/100kg.
答案 ①120 ②80
解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a（t－120）2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01（t－120）2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.
命题点1 构造二次函数模型
例1 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若每年销售量为
万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（ ）
A．[4,8]B．[6,10]
C．[4%,8%]D．[6%,10%]
答案 A
解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需
×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例2 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解
（1）设每年砍伐面积的百分比为x（0则a（1－x）10＝
a，即（1－x）10＝
，
解得x＝1－
.
（2）设经过m年剩余面积为原来的
，
则a（1－x）m＝
a，即
，
即
＝
，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
若本例的条件不变，试计算：
今后最多还能砍伐多少年？
解 设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为
a（1－x）n.
令
a（1－x）n≥
a，即（1－x）n≥
，
≥
，即
≤
，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
命题点3 构造“对勾函数”模型
例3
（1）（2019·福州月考）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－（x－6）2＋11，
∴年平均利润
＝12－
，
∵x＋
≥10，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
（2）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9
平方米，且高度不低于
米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长x＝________米．
答案 2
解析 由题意可得BC＝
－
（2≤x<6），
∴y＝
＋
≥2
＝6
.
当且仅当
＝
（2≤x<6），即x＝2
时等号成立．
命题点4 构造分段函数模型
例4 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：
元）满足分段函数h（x）＝
其中x是新样式单车的月产量（单位：
辆），利润＝总收益－总成本．
（1）试将自行车厂的利润y（单位：
元）表示为关于月产量x的函数；
（2）当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？
最大利润是多少？
解
（1）依题设知，总成本为（20000＋100x）元，
则y＝
（2）当0（x－300）2＋25000，
故当x＝300时，ymax＝25000；
当x>400时，y＝60000－100x是减函数，
故y<60000－100×400＝20000.
所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．
素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．函数模型的建立主要是理清变量间的关系，将它们用数学语言表示．
1．（2019·厦门月考）某工厂6年来生产某种产品的情况是：
前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（ ）
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2B．y＝
（x2－1）
C．y＝log2xD．y＝
答案 B
解析 由题表可知函数在（0，＋∞）上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期）是（精确到0.1，已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（ ）
A．5.2B．6.6C．7.1D．8.3
答案 B
解析 设这种放射性元素的半衰期是x年，
则（1－10%）x＝
，化简得0.9x＝
，
即x＝log0.9
＝
＝
≈
≈6.6（年）．故选B.
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：
每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（ ）
A．13m3B．14m3C．18m3D．26m3
答案 A
解析 设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋（x－10）·2m＝16m，解得x＝13.
5.（2020·青岛模拟）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为（ ）
A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得
＝
，得x＝
（24－y），
所以S＝xy＝－
（y－12）2＋180，
所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．
6．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次上涨10%），又经历了n次跌停（每次下跌10%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A．略有盈利B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况
答案 B
解析 设该股民购进股票的资金为a，则交易结束后，所剩资金为a（1＋10%）n·（1－10%）n＝a·（1－0.01）n＝a·0.99n7．（多选）在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y（单位：
千克）与时间x（单位：
小时）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ）
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
答案 BD
解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y（千克）与时间x（小时）的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A错误，B正确；后两小时均没有生产，故C错误，D正确．
8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a
（a为常数），广告效应为D＝a
－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．（用常数a表示）
答案
a2
解析 令t＝
（t≥0），则A＝t2，
∴D＝at－t2＝－
2＋
a2，
∴当t＝
a，即A＝
a2时，D取得最大值．
9．（2019·皖南八校联考）某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．
答案 3
解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______h．（车身长度不计）
答案 12
解析 设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了
km所用的时间，
因此，t＝
＝
＋
≥2
＝12，
当且仅当
＝
，即v＝
时取等号．
故这些汽车以
km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.
11．（2019·咸宁质检）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：
“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：
千克/年）是养殖密度x（单位：
尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4（1）当0（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：
千克/立方米）可以达到最大？
并求出最大值．
解
（1）由题意得当0显然v＝ax＋b在[4,20]内是减函数，
由已知得
解得
所以v＝－
x＋
，
故函数v＝
（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由
（1）可得
f（x）＝
当0当4x2＋
x＝－
（x2－20x）＝－
（x－10）2＋
，f（x）max＝f（10）＝12.5.
所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
12．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系y＝c
mt（c，m为常数）．
（1）求c，m的值；
（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
解
（1）由题意可列方程组
两式相除，解得
（2）由题意可列不等式
≤0.5，
所以
≤
8，即
t≥8，解得t≥32.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f（n）表示前n年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f（n）＝前n年的总收入－前n年的总费用支出－投资额]
答案 5
解析 由题意知f（n）＝26n－
－60＝－n2＋19n－60.
令f（n）>0，即－n2＋19n－60>0，解得4所以从第5年开始盈利．
14．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：
设物体的初始温度是T0，经过一定时间t（单位：
min）后的温度是T，则T－Ta＝（T0－Ta）
，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到29℃，还需要________min.
答案 8
解析 由题意知Ta＝21℃.
令T0＝85℃，T＝37℃，
得37－21＝（85－21）·
，∴h＝8.
令T0＝37℃，T＝29℃，
则29－21＝（37－21）·
，∴t＝8.
15．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及实数x（0答案
解析 由题意得x＝
，（c－a）2＝（b－c）（b－a），
∵b－c＝（b－a）－（c－a），
∴（c－a）2＝（b－a）2－（b－a）（c－a），
两边同除以（b－a）2，得x2＋x－1＝0，
解得x＝
.∵0.
16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（15－0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：
元）与销售量（单位：
万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：
（1）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书
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