数学教育哲学讲座.docx

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数学教育哲学讲座

数学教育哲学讲座

一、引言

数学哲学正处于Kuhn的范式革命之中。

两千多年来，数学一直处在绝对主义范式的统治下，这种认识范式视数学本体上是不可误的、数学是客观真理、且数学远离人类事务和价值。

当今越来越多的哲学家和数学家对此提出了异议，如Laktaos（1976）、Davis与Hersh（1980）、Tymoczko（1986）,他们认为数学是可误的，像其它知识一样，数学是人类创造的产物。

这一变化的意义（放弃数学的可靠性）：

——导致人类根本没有可靠的结论；

——放弃数学与生俱来的伪安全性；

——若数学是不可误的客观知识，则数学不必承担任何社会责任；

——若数学是可误的社会建构，则数学就是一个探究和认识的过程，是人类不断创造和发明的广阔天地，是不会终结的产物。

如此动态的数学观对教育的影响举足轻重：

——数学教学的目的应包括使学生获得自我创造数学知识的能力；

——数学至少在学校要更新形式，以便所有社会群体易于接受其概念，并容易得到由它带来的财富和权利；

——再不可理所当然地把数学活动及其应用的涵义置之一边，而对数学的潜在价值作出深入的分析。

在教学领域与数学观相联系的一些基本问题：

——学习的本质：

数学学习理论的基础由哪些哲学假说或可能隐含的假说所构成？

应采纳何种认识论和学习论？

——教育目的：

数学教育的目的是什么？

谁提出的目的？

为谁提出的目的？

建立在什么价值标准上的目的？

这个目的使谁受益，谁受损？

——数学的本质：

数学教学依据什么哲学假说或可能的隐含假说？

这些假说可靠吗？

为达到数学教育目的应采取何种方法？

这些方法和目的一致吗？

事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也如此。

（Thom,1971）

问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。

┄┄如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。

（Hersh,1979）

教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的典型方式存在着一致性，这有力说明了教师的数学观、数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动。

二、绝对主义观和可误主义观

数学哲学是哲学的一个分支。

它的任务是反思并解释数学的本质。

1．数学哲学数学知识是由具有证明的一组命题所构成的，由于数学证明仅依据推理而不求助于经验材料，因此认为数学知识是所有知识中最为可靠的知识。

数学哲学传统上把自己的任务看作为数学知识的可靠性提供基础，即构建一个系统。

在这系统中能够编排数学知识从而能系统地建立起数学的真理性。

这样做取决于或明或暗地广泛承认的下列假设：

数学哲学的任务是为数学知识，也可以说是为了数学真理奠定一个系统的并且绝对可靠的基础。

这个假设是基础主义的依据，也就是这样一个信条：

数学哲学的作用是否为数学知识奠定可靠的基础。

基础主义与数学知识的绝对观密切相关，因为基础主义把验证数学知识的绝对性这一任务视为数学哲学的中心任务。

2．数学知识的本质

传统上，数学知识一直作为可靠知识的范式。

Newton的《原理》和Spinozn的《伦理学》都采用了Euclid的《几何原本》的形式（公理化思想）。

长期以来，数学一直作为人类所知的最可靠知识的源泉。

知识的本质是什么？

其哲学标准答案是，知识是已判定为合理的信念。

更准确地说，命题型知识由得到承认（即得到相信）的命题所组成，并有充分根据判定这些命题。

知识可以按照对它进行论证的依据进行分类。

先验知识由仅仅根据推理而判定的那些命题所组成，而不依赖于对现实世界的观察。

数学知识属于先验知识，因为它只由基于推理而断定的命题所组成。

推理包括演绎逻辑和所用的定义，连同我们所假定的数学公理或公设，构成了推断数学知识的基础。

因此数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由演绎证明所组成的。

在证明中往往用到两种类型的假设：

数学的和逻辑的。

逻辑假设即推理规则（整个证明理论的一部分）和逻辑句法，被认为是逻辑的基本组成部分，也是推理运用过程的组成部分。

因此我们认为，逻辑毫无疑问是知识判定的依据。

数学假设即数学公理或公设，是数学证明依赖的数学基础（数学假设的合理性又由谁来保证呢？

）。

事实上，非欧几何证明了，Euclid公理和平行公设被人们不再看作是基本的或无可争辩的真理，不再认为任何这种真理之一遭否定或拒绝时都会引起矛盾。

现代数学知识包括了很多依赖于公理系假设的分支学科，而这些公理不可看作为基本的普遍真理，如群论公理或集合论公理。

3．数学知识的绝对主义观

绝对主义数学观：

认为数学真理是绝对可靠的,数学是一种而且也许是唯一的一种确定的、不容置疑的客观知识领域。

很多现代和传统的哲学家都持有数学知识的绝对主义观。

演绎法为数学知识的断定提供了保证。

所以断定数学（和逻辑）提供绝对可靠知识即真理的依据如下：

首先，证明中的基本陈述视其为真，数学公理假定为真，以便这样考虑使系统得到发展，数学定义令其为真，逻辑公理认其为真。

其次，逻辑推理规则保持着真理性，即只承认由真理推导出来真理。

以上述两事实为基础，可知演绎证明所确定，可知演绎证明中的每个陈述包括它的结论都真。

于是，由于数学真理都是由演绎证明所确定，因此它们都是可靠真理。

这就是许多哲学家所断言的数学真理都是可靠真理的基础。

这种数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设基础上：

涉及公理和定义假设的数学假设，以及涉及公理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。

20世纪初，当许多悖论和矛盾在数学中出现时，数学知识的绝对观就遇到了问题。

如罗素悖论（Russel通过定义“不是自身的一个元素”这一特性，提出了这个悖论。

Frege规则允许这一特性的外延作为一个集合。

但这样一来，这个集合是自身的一个元素当且仅当它不是自身的一个元素，这就是一个矛盾。

）。

集合论和函数论中也出现了其他一些矛盾。

这些矛盾的发现自然对数学知识的绝对主义观是潜在的致命威胁。

因为，如果数学是可靠的，则它的所有定理都是可靠的，那么它的理论怎么会出现矛盾呢？

既然这虚张声势矛盾的出现并无错误，那么必定在数学基础中出现了问题。

这些危机带来的结果是，数学哲学的一些学派发展起来，其目的是解释数学知识的本质并重建它们的可靠性。

三大学派分别是逻辑主义、形式主义、构造主义（直觉主义）。

A．逻辑主义

逻辑主义是把纯数学作为逻辑基本构成成分的思想学派。

主要倡导者有Leibniz、Frege、Russel等人。

Russel的观点最为显明。

主要有两个论点：

（1）所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念；

（2）所有数学真理都可以单作凭公理和逻辑推演规则得到证明。

Russel等人（1910-1913）用一系列的定义确立了上述第一论点，但是在第二点上失败了。

数学需要非逻辑公理如无穷公理（所有自然数的集合都是无穷的）和选择公理。

因此不是所有的数学定理（真理）都能单纯从逻辑公理导出。

许多重要的数学公理确实是独立的，并且无论采用这些公理还是否定这些公理都不会引起矛盾。

后来逻辑主义想了许多方法来改进，但后来都失败了，因此把数学知识的确定性归结为逻辑的确定性这一逻辑主义纲领已在原则上失败了。

逻辑不能为数学知识提供可靠的基础。

B．形式主义

通俗地说，形式主义是如下观点：

数学是按规则在纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏。

Hilbert的形式主义纲领旨在把数学转化为不予解释的形式系统。

Hilbert借助一种有限制然而有意义的元数学，通过导出所有数学真理的形式的对应产物来说明他的形式系统适合于数学，并通过相容性证明说明该形式系统对数学是可靠的。

但Godel的不完全理论（1931）证明了这是一个无法实现的纲领。

其第一个定理证明了甚至不是所有算术定理都能由Peano公理（或任意一个更大的递归公理系统）导出。

第二个定理证明了对所要研究的系统而言，证明其相容性需要比维持系统的“自我完善”更强的元数学，所以也就根本无所谓系统的“自我完整”可言。

（形式系统无法保证自身的可靠性）

C．构造主义

构造主义纲领是数学知识的一种重建（数学活动的改革），以防止数学意义的丧失或陷入矛盾。

最著名的构造主义者是直觉主义者Brouwer.

持构造主义观点的数学家的共同观点是，经典数学或许靠不住，需要用“构造”的方法和推理重建数学。

他们主张数学真理和数学对象的存在性这两者都必须由构造的方法加以确定。

这即是说，证实真理性和存在性，就需要数学地加以改造。

这和利用矛盾加以证明的反证法相对立（他们也不承认逻辑上的排中律）。

对于构造主义者来说，知识必须通过构造主义逻辑的构造性证明加以确立。

数学术语或对象的意义应通过这一形式过程，使得数学术语或对象得以构造出来。

直觉主义是构造主义的代表。

其不仅无法解释非构造性经典数学的实质，而且否定它的有效性。

既没有证实经典数学所面临的无法回避的问题，也没有说明经典数学的非协调性和非真实性。

事实上，其纲领提出后，经典的纯粹和应用数学的走势越来越强，因此直觉主义遭到人们的拒绝。

由上述可以看到，三大学派试图为数学知识寻找可靠基础的纲领都失败了。

4．可误主义观

对数学知识的绝对主义观的否定，使之相对的数学知识可误观得到认可。

可误主义观：

数学真理是可误的且是可以纠正的，决不能把数学知识看作是不能纠正或更改的真理。

因此其观点有两个等价形式。

其反面的表达形式：

数学知识不是绝对真理，它没有绝对有效性。

正面的表达形式：

数学知识中可纠正的且永远要接受更正。

其代表人物是Lakatos。

许多数学哲学家都承认数学知识有经验基础。

三、数学哲学的重新认识

上面我们是在这样的假设下进行思考的：

数学知识是一组附有证明的命题形式的真理，而数学哲学的功能就是建立这种知识的可靠性。

当我们发现这一假设站不住脚时，就不得不重新考虑数学哲学的本质。

什么是数学哲学的功能和范围呢？

数学哲学不应仅考虑其“内在问题”，而应把数学放在人类思想和人类历史的大背景中来考虑。

数学哲学应该全面考虑人类创造知识的环境和数学的历史根源。

如果认识论仅注重单一静态的知识形式，而忽略知识发展的动态，那么它就不能恰当地解释知识。

绝对主义观

可误主义观

注重终结的或展现了的知识，以及知识的基础和判定；

把知识看作一种客观成果的知识，常根本否定涉及知识发生的哲学合理性，并把知识发生问题推给心理学和社会科学（构造主义除外）。

注重知识发生和人类对创造知识的贡献；

能认识到出错在数学中的作用。

数学（连同逻辑）占有作为唯一可靠知识领域的地位，数学只依赖严格的证明，同时还否认数学与历史、知识发生以及人类环境条件相关的内在联系，这一切助长了把数学当作单独的分离学科的观点。

可误主义把更多的内容纳入了数学哲学的范围。

由于数学是可误的，因此认为数学绝不能与物理学及其他科学的经验（因而是可误的）知识相分离。

可误主义注重数学知识的发生及结果，从而把数学看作是历史及人类实践的组成部分。

数学不能脱离人类学和社会科学，或者一般地看作人类文化的一部分。

数学与人类的整体知识结构相关，是其不可分割的一部分。

数学是客观存在，无所谓价值，仅涉及数学本身的内在逻辑。

仅从数学内部考虑问题，因此把数学当作是客观的、绝对超道德的人性价值的知识。

数学充满着像其他知识领域或人类奋斗一样的人性价值。

通过数学历史和社会渊源，把数学与其他人类联系在一起，认为数学赋有价值，充满道德价值和社会价值，这些价值在数学应用和发展中发挥着重要作用。

因此一种合适的数学哲学标准：

数学哲学应解释

（1）数学知识（它的本质、判定和生成）；

（2）数学对象（它们的本质和根源）；（3）数学应用（在科学、技术和其他领域中数学的有效性）；（4）数学实践（数学家的活动：

现在的和过去的）。

过去对数学哲学是研究数学知识的逻辑基础的错误认识掩盖了数学哲学的上述任务。

运用新标准对各哲学学派作进一步分析：

A绝对主义学派他们的任务本应解释数学的本质，包括解释诸如数学运用和数学生成等外在的社会及历史因素。

由于三大学派狭隘、排他的固有偏见，因而他们不可能以宽广的