高中数学第三章三角恒等变换新人教版必修.docx

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高中数学第三章三角恒等变换新人教版必修

2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换新人教版必修

目标定位　1.了解学习两角和与差的三角函数公式的必要性.2.理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路.3.理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法.4.理解和、差角的相对性，能对角进行合理拆分与能对公式进行简单逆用.

自主预习

两角差的余弦公式

名称

简记符号

公式

适用条件

两角差的余弦

C（α－β）

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

α，β为任意角

即时自测

1.思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）化简cos只能利用诱导公式.（×）

（2）cos（α－β）＝cosα－cosβ一般都成立.（×）

（3）以Ox为始边作角α，终边与单位圆交于点A，则A点的坐标为

（sinα，cosα）.（×）

（4）cos15°＝cos（45°－30°）＝（－）.（×）

提示　

（1）也可以用两角差的余弦公式化简.

（2）一般不成立.

（3）A（cosα，sinα）.

（4）cos15°＝cos（45°－30°）＝（＋）.

2.sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是（　　）

A.B.C.－D.－

解析　sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos（76°－16°）＝cos60°＝.

答案　B

3.化简sinsin＋coscos的结果是（　　）

A.sin2xB.cos2x

C.0D.1

解析　原式＝cos＝cos＝0.

答案　C

4.计算sin60°＋cos60°＝________.

解析　原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°

＝cos（60°－30°）＝cos30°＝.

答案　

类型一　运用公式求值

【例1】求下列各式的值：

（1）cos40°cos70°＋cos20°cos50°；

（2）.

解　

（1）原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°

＝cos（70°－40°）＝cos30°＝.

（2）原式＝

＝＝cos15°＝cos（60°－45°）

＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝.

规律方法　对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式.

【训练1】求下列各式的值：

（1）sin46°cos14°＋sin44°cos76°.

（2）cos15°＋sin15°.

解　

（1）原式＝sin（90°－44°）cos14°＋sin44°cos（90°－14°）

＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°

＝cos（44°－14°）＝cos30°＝.

（2）原式＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°

＝cos（60°－15°）＝cos45°＝.

类型二　给值求值问题

【例2】（xx·绍兴高一期末测试）设cos（α－）＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.

解　∵α∈，β∈，

∴α－∈，－β∈，

∴sin＝＝＝.

cos＝

＝＝.

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝.

规律方法　三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：

α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β），α＝，α＝等.

【训练2】已知cosα＝，cos（α＋β）＝－，且α、β∈，求cosβ的值.

解　∵α、β∈，

∴α＋β∈（0，π）.

又∵cosα＝，cos（α＋β）＝－，

∴sinα＝＝，

sin（α＋β）＝＝.

又∵β＝（α＋β）－α，

∴cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝×＋×

＝.

类型三　给值求角问题（互动探究）

【例3】已知α、β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值.

[思路探究]

探究点一　要求α－β的值，可以先求什么？

提示　可以先求cos（α－β）的值.

探究点二　要求cos（α－β）的值，还需求哪些值？

提示　还需求sinα，sinβ.

探究点三　由cos（α－β）的值，求α－β的值，应注意什么？

提示　应注意α－β的范围.

解　∵α、β均为锐角，

∴sinα＝，sinβ＝.

∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×＋×＝.

又sinα

∴0<α<β<，

∴－<α－β<0.故α－β＝－.

规律方法　解给值求角问题的一般步骤

（1）求角的某一个三角函数值.

（2）确定角的范围.

（3）根据角的范围写出所求的角.

【训练3】已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<β<α<，求β的值.

解　由cosα＝，0<α<，

得sinα＝＝＝，

由0<β<α<，得0<α－β<.

又因为cos（α－β）＝，

所以sin（α－β）＝＝＝，

由β＝α－（α－β）得

cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）

＝×＋×＝，所以β＝.

[课堂小结]

1.公式的结构特点

公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.

2.公式的适用条件

公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.

3.公式的“活”用

公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：

（1）公式本身的变用，如cos（α－β）－cosαcosβ＝sinαsinβ；

（2）角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[（α＋β）－β]，cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）].

1.cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为（　　）

A.B.C.D.

解析　cos78°cos18°＋sin78°sin18°＝cos（78°－18°）＝cos60°＝，故选A.

答案　A

2.cos165°等于（　　）

A.B.

C.－D.－

解析　cos165°＝cos（180°－15°）＝－cos15°＝－cos（45°－30°）＝

－（cos45°cos30°＋sin45°sin30°）＝－.

答案　C

3.sin60°＋cos60°＝________.

解析　原式＝sin60°sin60°＋cos60°cos60°

＝cos（60°－60°）＝cos0°＝1.

答案　1

4.已知sinα＝－，sinβ＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求

cos（α－β）的值.

解　因为sinα＝－，180°<α<270°，

所以cosα＝－.

因为sinβ＝，90°<β<180°，

所以cosβ＝－.

所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×＋×＝－＝.

基础过关

1.若sinαsinβ＝1，则cos（α－β）的值为（　　）

A.0B.1C.±1D.－1

解析　由sinαsinβ＝1，得cosαcosβ＝0，

∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.

答案　B

2.化简cos（45°－α）cos（α＋15°）－sin（45°－α）sin（α＋15°）的结果为（　　）

A.B.－C.D.－

解析　原式＝cos（α－45°）cos（α＋15°）＋sin（α－45°）sin（α＋15°）＝cos[（α－45°）－（α＋15°）]＝cos（－60°）＝.

答案　A

3.若cos（α－β）＝，cos2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为（　　）

A.B.C.D.

解析　sin（α－β）＝－（－<α－β<0）.

sin2α＝，

∴cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β）]

＝cos2αcos（α－β）＋sin2αsin（α－β）

＝×＋×＝－，

∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.

答案　C

4.已知点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则||＝（　　）

A.B.C.D.1

解析　||＝

＝

＝＝＝1.

答案　D

5.若cos（α－β）＝，则（sinα＋sinβ）2＋（cosα＋cosβ）2＝________.

解析　原式＝2＋2（sinαsinβ＋cosαcosβ）

＝2＋2cos（α－β）＝.

答案　

6.已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），|a－b|＝，求cos（α－β）.

解　∵a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），

∴a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ）.

∴|a－b|＝＝

＝＝，

∴2－2cos（α－β）＝，∴cos（α－β）＝.

7.已知α、β为锐角，cosα＝，sin（α＋β）＝，求角β的值.

解　∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝.

又∵β为锐角，∴0<α＋β<π.

∵sin（α＋β）＝

∴cos（α＋β）＝－，

∴cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝－×＋×＝，

∵β为锐角，∴β＝.

8.求函数y＝cosx＋cos（x∈R）的最大值和最小值.

解　y＝cosx＋cosxcos＋sinxsin

＝cosx＋sinx＝

＝

＝cos.

∵－1≤cos≤1.∴ymax＝，ymin＝－.

能力提升

9.将函数y＝cosx＋sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）

A.B.C.D.

解析　y＝cosx＋sinx＝2cos，将函数y＝2cos的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到y＝2cos，此时关于y轴对称，则m－＝kπ，k∈Z，所以m＝＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，m的最小值是，选B.

答案　B

10.若sinx＋cosx＝cos（x＋φ），则φ的一个可能值为（　　）

A.－B.－C.D.

解析　sinx＋cosx＝cosxcos＋sinxsin＝cos，故φ的一个可能值为－.

答案　A

11.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos（α－β）的值是________.

解析　由已知得

①2＋②2得：

（sinα＋sinβ）2＋（cosα＋cosβ）2＝1，

整理得：

2＋2cos（α－β）＝1，

∴cos（α－β）＝－.

答案　－

12.若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos（α－β）的值为________.

解析　∵sin