复变函数教学大纲.docx
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复变函数教学大纲
Preparedon24November2020
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲
课程名称:
复变函数课程编码:
英文名称:
ComplexAnalysis
学时:
48学分:
3
适用专业:
信息与计算科学课程类别:
任选
课程性质:
学科基础课
先修课程:
数学分析高等代数空间解析几何
教材:
复变函数论(钟玉泉第三版高等教育出版社)
一、课程性质与任务
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪,Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广,而且作为一种强有力的工具,它不仅在数学学科众多分支(如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…)有着广泛应用,而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等,目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课。
开设本课程,主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上,一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助,另一方面,使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力。
二、课程教学的基本要求
复变函数论作为一门学科,有其自身的特点和研究方法与研究工具,在学习过程中,应注意与微积分理论的比较,从而加深理解,同时也须注意复变函数本身的特点,并掌握它自身所固有的理论和方法,抓住要点,融会贯通。
本课程主要包括:
复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用。
教学要求层次:
有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
在复变函数论的学习过程中,使学生逐步提高数学修养,掌握数学研究的基本思想方法,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高,同时极大的扩展学生的学习思路,使他们了解更多的应用知识,特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。
三、课程内容及教学要求
第一章复数与复变函数
教学基本内容:
1.复数发展史略;
2.复数定义及运算:
复数的定义、相等及运算,复数的代数式,复数的模与辐角,共轭复数;
3.复平面与复球面:
复平面,复数的向量式、三角式与指数式,复数的乘幂与n次方根,无穷远点与复球面;
4.复数的应用举例;
5.平面点集:
邻域,聚点,孤立点,内点,外点,边界点,边界,开集,闭集,有界集,曲线(连续曲线,简单曲线,简单闭曲线,光滑曲线,逐段光滑曲线),区域,闭区域,单连通区域,复连通区域,几个重要定理(闭矩形套定理,有限覆盖定理,聚点原理),无穷远点的邻域;
6.复变函数,极限,连续:
复变函数(单值函数,多值函数,单叶函数,反函数,无界函数),极限,有界数列,无界数列,几个定理(柯西收敛准则等),复变函数的连续性,复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系。
重点:
1.复数及其运算;
2.复平面,复数的模与辐角;
3.复平面上的点集,区域;
4.无穷远点与扩充复平面;
5.复变数函数,极限与连续概念。
难点:
复数的球面表示及无穷远点的概念的理解。
本章节主要教学要求:
了解复数定义及其几何意义,熟练掌握复数的运算;知道无穷远点邻域;了解单连通区域与复连通区域;理解复变函数、极限与连续。
第二章解析函数
教学基本内容:
1.复变函数的导数定义;
2.解析函数的概念及基本性质;
3.解析函数的求导公式与求导法则;
4.柯西-黎曼条件(.条件);
5.指数函数;
6.多值函数导引:
辐角函数;
7、对数函数;
8.幂函数;
9.三角函数。
重点:
1.解析函数定义;
2.解析函数的充分必要条件及柯西-黎曼条件所揭示的解析函数的特征;
3.初等函数概念与性质。
难点:
1.已知解析函数的实部(或虚部),求该解析函数、支点。
本章节主要教学要求:
复变函数的概念,能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射,能把一个复变函数看成两个实的二元函数;能精确的叙述复变函数的极限概念,并直观的理解起意义;掌握复变函数的连续性概念和基本性质;理解复变函数可导与解析的概念,弄清这两个概念之间的关系;熟练掌握解析函数的.条件;能运用.条件判定函数的解析性;熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式;熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义、基本性质和简单映射性质,并会运用欧拉公式和复数的指数表示;掌握各初等多值函数的定义和基本性质,了解其多值性。
第三章复变函数积分
教学基本内容:
1.复变函数积分的定义及基本性质;
2.单连通区域内的柯西积分定理;
3.不定积分概念;
4.多连通区域内的柯西积分定理;
5.柯西积分公式,高阶导数公式;
6.平均值公式,最大模原理;
7.柯西不等式,刘维尔定理,代数基本定理的证明,摩勒拉定理。
重点:
1.柯西积分定理;
2.柯西积分公式;
3.高阶导数公式。
难点:
1.计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。
本章节主要教学要求:
掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义,基本性质和计算方法,及其与实函数积分的关系;熟练掌握柯西积分定理,能证明柯西积分定理;理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念;熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式;掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理,并能应用它们做一些较简单的证明题,了解摩勒拉定理。
第四章解析函数的幂级数表示法
数学基本内容:
1.复数项级数、序列,柯西收敛准则;
2.复函数项级数,一致收敛及其判别准则,维尔斯特拉斯定理;
3.幂级数的收敛圆,收敛半径公式,幂级数在收敛圆内表示解析函数;
4.解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数,展开式的唯一性、系数公式,初等函数的泰勒展开;
5.解析函数零点的孤立性,唯一性定理。
重点:
1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法;
2.将函数在一点展成幂级数的方法;
3.解析函数的唯一性定理。
难点:
1.利用级数乘法将函数在指定点展成泰勒级数。
本章节主要教学要求:
理解复数项级数的基本概念,掌握一致收敛性的判别法;掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式,理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性;牢记ez,In(1+z),sinz,cosz和(1+z)a的幂级数展开式,并能熟练的运用;掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理。
第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点
教学基本内容:
1.洛朗级数的定理与收敛域,内闭一致收敛性,所定义函数的解析性;
2.解析函数洛朗展开式的系数公式、收敛域;
3.解析函数的孤立奇点(包括无穷远点)的分类,三类奇点的特征与性质;
4.整函数与亚纯函数的概念。
重点:
1.将函数展成洛朗级数的方法;
2.识别孤立奇点类别的方法;
3.解析函数在其孤立奇点的去心邻域内的性质。
难点:
1.孤立奇点类别的识别;
2.将在其孤立奇点展成洛朗级数。
本章节主要教学要求:
理解洛朗级数的概念,会求出一些简单的洛朗级数的收敛域;能熟练的求出一些较简单函数的洛朗展开式;掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质,了解解析函数在无穷远点的性质;了解整函数与亚纯函数的概念。
第六章留数理论及其应用
教学基本内容:
1.留数的定义及计算方式,在无穷远点的留数;
2.留数定理;
3.利用留数定理计算实积分;
重点:
1.计算留数的方法;
2.留数基本定理。
难点:
1.函数在无穷远点处留数的计算。
本章节主要教学要求:
理解留数的定义;熟练掌握计算留数的方法;理解留数基本定理,会用留数理论计算积分;知道利用留数定理计算实积分的一般方法,并能计算常见的三种类型的实积分。
三、课程学时分配
讲课内容
讲课学时
实验学时(含各类实践教学活动)
合计学时
第一章复数与复变函数
8
8
第二章解析函数
6
6
第三章复函数积分
8
8
第四章解析函数的幂级数表示法
10
10
第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点
8
8
第六章留数理论及其应用
8
8
总计
48
48
五、课程习题要求
每章根据学生学习情况,留有一定数量的思考题供学生课后复习,巩固课堂教学效果,并进行讲评。
六、考核方式
以期末闭卷考试成绩为主,参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等,综合评定给出成绩。
七、课程的主要参考书
1、《复变函数论》钟玉泉编高等教育出版社
2、《复变函数》余家荣编人民教育出版社
3、《复变函数引论》N·N·普里瓦洛夫着人民教育出版社