最新北师大版高中数学必修三学案第三章 习题课.docx
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最新北师大版高中数学必修三学案第三章习题课
学习目标
1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率．
知识点一 频率与概率的关系
随机事件A在________条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率＝______，随着试验次数的增加，频率呈现________性，即频率总是________于某个常数P（A），称P（A）为事件A的概率．
知识点二 互斥事件、对立事件
1．若事件A，B互斥，则A，B在一次试验下不能同时发生，P（A＋B）____1（判别大小关系）．
2．若事件A，B对立，则A，B在一次试验下不能同时发生，P（A＋B）____1（判别大小关系）．
3．若事件A，B互斥，则________（填“一定”“不一定”）对立；若事件A，B对立，则________（填“一定”“不一定”）互斥．
4．若事件A，B互斥，则P（A＋B）＝____________，若事件A，B对立，则P（A）＝________.
知识点三 古典概型及其概率计算公式
1．解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是：
（1）试验中所有可能出现的基本事件是否只有________个；
（2）每个基本事件出现的可能性是否________．
2．利用古典概型求事件A的概率的步骤是：
（1）用________把古典概型试验的基本事件一一列出来；
（2）从中找出事件A包含的________________；
（3）P（A）＝________________________________.
类型一 随机事件的频率与概率
例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如表所示：
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？
（结果保留到小数点后三位）
反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率
总是接近于常数P（A），称P（A）为事件A的概率．
跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．
每批粒数
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的频率
（1）完成上面表格；
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
类型二 互斥事件的概率
例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数不超过7环的概率．
反思与感悟 把较为复杂的事件分割为彼此互斥（或对立）的简单事件，再求概率，是处理概率问题的常用办法．
跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．
y分
人数
x分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
（1）x＝4的概率是多少？
x＝4且y＝3的概率是多少？
x≥3的概率是多少？
在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？
（2）x＝2的概率是多少？
a＋b的值是多少？
类型三 古典概型的概率
例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
反思与感悟 处理古典概型时注意：
（1）审清题意；
（2）确认是不是古典概型；（3）选择简捷方式表达基本事件；（4）罗列时注意有无顺序要求．
跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
（1）从中取出1只，然后放回，再取1只，求：
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；
（2）从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．
类型四 古典概型概率的综合应用
例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（3）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
反思与感悟 古典概型概率在实际问题的应用中，一般要经历获得数据，分析数据，应用数据，进行预报和决策等过程．
跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
x
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
（2）在
（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（ ）
A．0.5B．0.3
C．0.6D．0.9
2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5），2；[15.5,19.5），4；[19.5,23.5），9；
[23.5,27.5），18；[27.5,31.5），11；
[31.5,35.5），12；[35.5,39.5），7；
[39.5,43.5），3.
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5）的概率约是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
4．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P（A）＝
，P（B）＝
，则出现奇数点或2点的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P（A）＝
求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
2．计算事件A的概率，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：
第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件数有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
答案精析
知识梳理
知识点一
相同
规律 接近
知识点二
1．≤
2．＝
3．不一定 一定
4．P（A）＋P（B） 1－P（B）
知识点三
1．
（1）有限
（2）相等
2．
（1）列举法
（2）基本事件及个数 （3）
题型探究
例1 解
（1）表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951.
（2）由
（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
跟踪训练1 解
（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.
（2）该油菜子发芽的概率约为0.900.
例2 解 记“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，“射中8环”为事件C，“射中7环”为事件D.
则事件A、B、C、D两两互斥，且P（A）＝0.24，P（B）＝0.28，P（C）＝0.19，P（D）＝0.16.
（1）∵射中10环或9环为事件A∪B，
∴由概率加法公式得
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52.
（2）∵至少射中7环的事件为A＋B＋C＋D，
∴P（A＋B＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
（3）记“射中环数不超过7环”为事件E，
则事件E的对立事件为A＋B＋C.
∵P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，
∴P（E）＝1－P（A＋B＋C）＝1－0.71＝0.29.
跟踪训练2 解
（1）P（x＝4）＝
＝
.
P（x＝4，y＝3）＝
.
P（x≥3）＝P（x＝3）＋P（x＝4）＋P（x＝5）
＝
＋
＋
＝
.
当x≥3时，有
×50＝35（人），
∴在x≥3的基础上，y＝3有8人．
∴在x≥3的基础上P（y＝3）＝
.
（2）P（x＝2）＝1－P（x＝1）－P（x≥3）
＝1－
－
＝
.
又∵P（x＝2）＝
＝
，
∴a＋b＝3.
例3 解
（1）甲校2名男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，2名女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），共9种．
选出的2名教师性别相同的结果为（A，D），（B，D），（C，E），（C，F），共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为
.
（2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F），共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为
＝
.
跟踪训练3 解
（1）将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b1，则第一次取1只，放回后第二次取1只，基本事件为（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1），共9个．
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为（a1，a1），（a1，a2），（a2，a1），（a2，a2），共4个；
②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），共4个．
（2）从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1,2只都是正品的基本事件数是1，所以其概率为P＝
.
例4 解
（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
（2）由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人），样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝
＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率P＝0.5.
（3）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P′＝
＝
.
跟踪训练4 解
（1）由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，
即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
所以b＝
＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝
＝0.1.
从而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
（2）从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，即基本事件的总数为10.
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．故所求的概率P（A）＝
＝0.4.
当堂训练
1．A [依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－（0.2＋0.3）＝0.5.]
2．B [由条件可知，落在[31.5,43.5）的数据有12＋7＋3＝22（个），故所求概率约为
＝
.]
3．A [从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有（2,3,4）、（2,4,5）、（3,4,5）三种，故所求概率为P＝
.]
4．D [因为事件A与事件B是互斥事件，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝
＋
＝
.]
5．C [摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，故所求事件的概率是P＝
＝
.]
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