最新北师大版高中数学必修三学案第三章 习题课.docx
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最新北师大版高中数学必修三学案第三章习题课
学习目标
1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解,并会应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法求概率.
知识点一 频率与概率的关系
随机事件A在________条件下进行n次试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率=______,随着试验次数的增加,频率呈现________性,即频率总是________于某个常数P(A),称P(A)为事件A的概率.
知识点二 互斥事件、对立事件
1.若事件A,B互斥,则A,B在一次试验下不能同时发生,P(A+B)____1(判别大小关系).
2.若事件A,B对立,则A,B在一次试验下不能同时发生,P(A+B)____1(判别大小关系).
3.若事件A,B互斥,则________(填“一定”“不一定”)对立;若事件A,B对立,则________(填“一定”“不一定”)互斥.
4.若事件A,B互斥,则P(A+B)=____________,若事件A,B对立,则P(A)=________.
知识点三 古典概型及其概率计算公式
1.解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型,其判断依据是:
(1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有________个;
(2)每个基本事件出现的可能性是否________.
2.利用古典概型求事件A的概率的步骤是:
(1)用________把古典概型试验的基本事件一一列出来;
(2)从中找出事件A包含的________________;
(3)P(A)=________________________________.
类型一 随机事件的频率与概率
例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检测结果如表所示:
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率;
(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?
(结果保留到小数点后三位)
反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时,呈现规律性,且频率
总是接近于常数P(A),称P(A)为事件A的概率.
跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题.
每批粒数
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的频率
(1)完成上面表格;
(2)该油菜子发芽的概率约是多少?
类型二 互斥事件的概率
例2 某射击运动员射击一次射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率;
(3)射中环数不超过7环的概率.
反思与感悟 把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件,再求概率,是处理概率问题的常用办法.
跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩,设x、y分别表示英语成绩和数学成绩.全班共有学生50人,成绩分为1~5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人,数学成绩为5分的学生共5人.
y分
人数
x分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
(1)x=4的概率是多少?
x=4且y=3的概率是多少?
x≥3的概率是多少?
在x≥3的基础上y=3同时成立的概率是多少?
(2)x=2的概率是多少?
a+b的值是多少?
类型三 古典概型的概率
例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
反思与感悟 处理古典概型时注意:
(1)审清题意;
(2)确认是不是古典概型;(3)选择简捷方式表达基本事件;(4)罗列时注意有无顺序要求.
跟踪训练3 盒中有3只灯泡,其中2只是正品,1只是次品.
(1)从中取出1只,然后放回,再取1只,求:
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数;②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件总数;
(2)从中一次任取2只,求2只都是正品的概率.
类型四 古典概型概率的综合应用
例4 为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;
(3)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率.
反思与感悟 古典概型概率在实际问题的应用中,一般要经历获得数据,分析数据,应用数据,进行预报和决策等过程.
跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
x
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;
(2)在
(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
1.某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A.0.5B.0.3
C.0.6D.0.9
2.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;
[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;
[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;
[39.5,43.5),3.
根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )
A.
B.
C.
D.
3.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4.抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,事件B为“出现2点”,已知P(A)=
,P(B)=
,则出现奇数点或2点的概率为( )
A.
B.
C.
D.
5.一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球,则摸出1个黑球、1个白球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
1.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来,然后再求出事件A中的基本事件,利用公式P(A)=
求出事件A的概率.这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.
2.计算事件A的概率,关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题:
第一,本试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件数有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件数有多少个.回答好这三个方面的问题,解题才不会出错.
答案精析
知识梳理
知识点一
相同
规律 接近
知识点二
1.≤
2.=
3.不一定 一定
4.P(A)+P(B) 1-P(B)
知识点三
1.
(1)有限
(2)相等
2.
(1)列举法
(2)基本事件及个数 (3)
题型探究
例1 解
(1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由
(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率在常数0.950的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
跟踪训练1 解
(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.
(2)该油菜子发芽的概率约为0.900.
例2 解 记“射中10环”为事件A,“射中9环”为事件B,“射中8环”为事件C,“射中7环”为事件D.
则事件A、B、C、D两两互斥,且P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16.
(1)∵射中10环或9环为事件A∪B,
∴由概率加法公式得
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52.
(2)∵至少射中7环的事件为A+B+C+D,
∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)
=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87.
(3)记“射中环数不超过7环”为事件E,
则事件E的对立事件为A+B+C.
∵P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
=0.24+0.28+0.19=0.71,
∴P(E)=1-P(A+B+C)=1-0.71=0.29.
跟踪训练2 解
(1)P(x=4)=
=
.
P(x=4,y=3)=
.
P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)
=
+
+
=
.
当x≥3时,有
×50=35(人),
∴在x≥3的基础上,y=3有8人.
∴在x≥3的基础上P(y=3)=
.
(2)P(x=2)=1-P(x=1)-P(x≥3)
=1-
-
=
.
又∵P(x=2)=
=
,
∴a+b=3.
例3 解
(1)甲校2名男教师分别用A、B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,2名女教师分别用E、F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.
选出的2名教师性别相同的结果为(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种.所以选出的2名教师性别相同的概率为
.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为
=
.
跟踪训练3 解
(1)将灯泡中2只正品记为a1,a2,1只次品记为b1,则第一次取1只,放回后第二次取1只,基本事件为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1),共9个.
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1,a1),(a1,a2),(a2,a1),(a2,a2),共4个;
②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),共4个.
(2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3,即a1a2,a1b1,a2b1,2只都是正品的基本事件数是1,所以其概率为P=
.
例4 解
(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f=
=0.5.故由f估计该校学生身高在170~185cm之间的概率P=0.5.
(3)样本中身高在180~185cm之间的男生有4人,设其编号为①②③④,样本中身高在185~190cm之间的男生有2人,设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率P′=
=
.
跟踪训练4 解
(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,
即a+b+c=0.35.
因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,
所以b=
=0.15.
等级系数为5的恰有2件,所以c=
=0.1.
从而a=0.35-b-c=0.1,
所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.
(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能的结果为{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2},即基本事件的总数为10.
设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共4个.故所求的概率P(A)=
=0.4.
当堂训练
1.A [依题意知,此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-(0.2+0.3)=0.5.]
2.B [由条件可知,落在[31.5,43.5)的数据有12+7+3=22(个),故所求概率约为
=
.]
3.A [从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法,其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种,故所求概率为P=
.]
4.D [因为事件A与事件B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=
+
=
.]
5.C [摸出2个球,基本事件的总数是6.其中“1个黑球,1个白球”所含事件的个数是3,故所求事件的概率是P=
=
.]