平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理.docx
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平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理
一、梅涅劳斯定理：
定理1：
若直线l不经过ABC的顶点，并且与的延长线分别交于P、Q、R，则BPCQAR
1
PCQARB
证：
设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：
BPCQARhBhChA
1
PCQARBhChAhB
注：
此定理常运用求证三角形相似的过程中的
线段成比例的条件；
例1：
若直角ABC中，CK是斜边上的高，
ABC的三边BC、CA、AB或它们
CE是ACK的平分线，E点
在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：
BF//CE
证：
在
EBC中，作B的平分线BH
则：
EBC
ACK
HBC
ACE
HBC
HCB
ACEHCB90
即：
BHCE
EBC为等腰三角形
作BC上的高EP，则：
CKEP对于ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有：
CDAEKF
1
DAEKFC
KFEKCK是＝
FCAEAC
EPBPBK
ACBCBE
即：
KF＝BK
FC＝BE
依分比定理有：
KF＝BK
KC＝KE
FKBCKE
BF//CE
A1C1:
A1D1
B1C1B1D1
练习1】从点K引四条直线，另两条直
AC和A1、B1、C1、D1，试证：
BC
线分别交这四条直线于A、B、C、DADBD
定理2：
设P、Q、R分别是ABC的三边
CA、AB上或它们的延长线上的
P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的个数为0或2，这时若BP
BC、
三点，并且
CQAR
1，
求证：
P、Q、
R三点共线；
证：
设直线PQ与直线
AB交于R'，于是由定理
BPCQAR
PCQAR'B
又BPCQARPCQARB由于在同一直线上的
ARAR1，则：
'＝
R'BRB
Q、R'三点中，因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在若R与R'同在AB线段上，则R与R'必定重合，不然的话，设ARAR',
P、
2，
位于ABC边上的点的个数也为AB的延长线上；
这时ABARABAR',即BRBR',于是可得
ARAR
BRBR
ARAR
这与＝'矛盾
BRBR'
类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时，综上可得：
P、Q、R三点共线；注：
此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用
R与R'也重合
再相乘；
例2.点P位于ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线；
证：
易得：
BA1
CA1
BP
cos
PBC
CP
cos
PCB
CB1
CP
cos
PCA
AB1
AP
cos
PAC
AC1
AP
cos
PAB
BC1
PB
cos
PBA
PCB,PCAPBA180
将上面三条式子相乘，
且PACPBC,PAB
可得
BA1CB1AC1
CA1AB1BC1
依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线；
练习2】设不等腰ABC的内切圆在三边BC、CA、
AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上；
练习3】已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直线AC与A1C1的交点是B2，试证：
A2、B2、C2三点共线；
E、C、A，在另一条上取点B、F、
M、N，证明：
练习4】在一条直线上取点
CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、
D，
记直线AB和ED，
L、M、N共线
练习1的证明
证：
若AD//A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交与点ADLD
LD
BD
LD1A1KA1D1AKBKB1D1B1KLD1
将上面四条式子相乘可
练习2的证明
L，则把梅涅劳斯定理分LCAK
A1C1
ACA1K
得：
AD得：
ACA1D1B1D1
LC1
别用于A1AL和B1BL可得：
BC
LC
LC
1B1K
B1C1
BK1
BCA1C1
BDA1D1
B1D1
B1C1
ABC被直线XFE所截，由定理
1可得：
BXXC
又AE
AF
代人上式可得：
BX
＝FB
XC
CE
CY
＝DC
AZ＝
EA
同理可得：
YA
＝AF
ZB＝
BD
将上面三条式子相乘可
得：
BX
CY
AZ
XC
YA
ZB
证：
1
又X、Y、Z都不在
ABC的边上，由定理2可得X、Y
即：
AC:
AD
BCBD
A1C1
B1C1
CEAF
EAFB
Z三点共线
练习3的证明
证：
设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和在它
C1,A2）,OAC和（A1，
AA1OB1BC21
OA1BB1AC2
1
们边上的点：
OAB和（A1，
C1,B2）应用梅涅劳斯定理有：
OC1BB1CA21OA1
1AA1CA21
BA21
B1,C2）,OBC和（B1，
112
CC1OB1BA2
可得：
BC2AB2
AC2CB2由梅涅劳斯定理可知A2,B2,C2共线
将上面的三条式子相乘
CC1AB21
OC1CB2
练习4的证明
证：
记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点（L,D,E）,（A,M,F）,（B,C,N）,（A,C,E）,（B,D,F），则有UEVE
WA
VA
VAUFWMWAVFYMWBUDVFVBWDUF将上面五条式子相乘可得：
VLWM
WLUM
VLWDWLUDUCVEWCUE
塞瓦定理：
设P、Q、
的充要条件是
UNWCVB
11
VNUCWB
VUNN1,点L,M,N共线
平面几何的几个重要定理
塞瓦定理
R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点
BPCQAR1
PCQARB1
证：
先证必要性：
设AP、BQ、CR相交于点M，则：
BPSABPSBMPSABM
PCSACPSCMPSACM
同理：
CQ
QA
ARRB
BP
PC
再证充分性：
若
BMPACPSCMP
SBCM
SABM
SACM
SBCM以上三式相乘，得：
BPCQAR＝1
PCQARBCQAR1，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R‘，
QARB
由塞瓦定理有：
PBCP
CQ
QA
AR
RA‘RB1，
于是：
A‘R＝AR
R‘BRB
因为R和R'都在线段AB上，所以R'必与R重合，故AP、
BQ、
CR相交于一点点M；
例1：
证明：
三角形的中线交于一点；
证明：
记ABC的中线AA1，BB1，CC1，
我们只须证明AC1BA1CB11
C1BA1CB1A
而显然有：
AC1C1B,BA1A1C,CB1B1A即AC1BA1CB1
C1BA1CB1A
1成立，ABC交于
点；
练习1】证明：
三角形的角平分线交于一点；
锐角三角形的高交于一点；
练习2】证明：
从L作边AC和BC的垂线，垂
CPAB
ABC中，角C的平分线交于AB于L，
例2：
在锐角
足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：
证：
作CKAB
下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，依塞瓦定理即要证：
AMCNBK1
MCNBAK
又MCCN
即要证明：
AMBK
AKNB
AMLAKC
即要证ALBC1
ACBL
C
AKL
B
AM
AL
AK
AC
BNL
BKC
BKBC
NBBL
AM
CD
AE,ANAF,于是AM
CEBDBF
AECD
CE
AN
AFBD
BF
依三角形的角平分线定理可知：
ALBC1
ACBL
CK、BM、AN三线共点，且为P点
CPAB
例3.设AD是ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、
AB交于E和F，则EDA＝FDA
证：
过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。
欲证EDAFDA，
可以转化为证明AMAN
ADBC
BDF
故MN//BC，可得AMECDE，ANF
AD、BE、CF共点于P，根据塞瓦定理可得：
DBCDCEEAFABF1AECDAFBD
CEBF
AMAN
EDAFDA
练习3】已知ABC外有三点M、N、R，且BAR
CAN,CBMABR,ACN
BCM，证明：
AM、BN、CR三线共点；
例4.在ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1，证明：
AC1BA1CB1sinACC1sinBAA1C1BA1CB1AsinC1CBsin
证：
如图对ACC1和BCC1应用正弦定理，
AC1sinACC1CC1sinB
sinAC1BsinC1CB
sinCBB1
C1C
CC1
AC1
sin
ACC1
sin
B
C1B
sin
C1CB
sin
A
：
BA1
sin
BAA1
sin
C
：
A1C
sin
A1AC
sin
B
CB1
sin
CBB1
sin
A
即：
B1A
同理
sinB1BA从而AC1BA1CB1
C1BA1CB1A
sinC
sinACC1sin
A1AC
可得：
BAA1
sinC1CBsinA1AC
CA、AB上取点A1、B1、一点，证明，关于角平分线对称于这些直线的于一点；
练习4】在ABC的边BC、
练习1答案：
证：
记ABC的角平分线分别是AA1,BB1,CC1,
AC1
C1B
AC1
b,BA1c,CB1aA1CbB1ABA1CB11A1CB1A
sin
sin
C1B
三角形的角平分线交于
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