平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理.docx

1、平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：定理 1：若直线 l 不经过 ABC 的顶点，并且与 的延长线分别交于 P、 Q、 R，则 BP CQ AR1PC QA RB证：设 hA、hB、 hC分别是 A、B、C到直线 l的垂线的长度，则：BP CQ AR hB hC hA1PC QA RB hC hA hB注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；例 1：若直角 ABC 中， CK 是斜边上的高，ABC 的三边 BC、CA、AB 或它们CE 是 ACK 的平分线， E 点在 AK 上， D 是 AC 的中点， F 是 DE 与 CK 的交点

2、，证明： BF / CE证： 在EBC 中，作 B的平分线 BH则：EBCACKHBCACEHBCHCBACE HCB 90即： BH CEEBC 为等腰三角形作 BC上的高 EP ，则： CK EP 对于 ACK和三点 D、 E、 F依梅涅劳斯定理有：CD AE KF1DA EK FCKF EK CK 是FC AE ACEP BP BKAC BC BE即：KF BKFC BE依分比定理有：KF BKKC KEFKB CKEBF / CEA1C 1 : A1D1B1C 1 B1D1练习 1】从点 K 引四条直线，另两条直AC 和A1、B1、 C1、 D1，试证：BC线分别交这四条直线于 A、B

3、、 C、D AD BD定理 2：设 P、 Q、R分别是 ABC 的三边CA 、 AB上或它们的延长线上的P、Q、R三点中，位于 ABC 边上的点的个数为 0或2，这时若 BPBC 、三点，并且CQ AR1，求证：P、Q、R三点共线；证：设直线 PQ 与直线AB 交于 R，于是由定理BP CQ ARPC QA R B又 BP CQ AR PC QA RB 由于在同一直线上的AR AR 1，则： R B RBQ、 R 三点中， 因此 R与R或者同在 AB 线段上，或者同在 若R与R同在 AB线段上，则 R与R必定重合，不然的话， 设AR AR ,P、2，位于 ABC 边上的点的个数也为 AB 的延

4、长线上；这时 AB AR AB AR ,即BR BR ,于是可得AR ARBR BRAR AR这与 矛盾BR BR 类似地可证得当 R 与 R同在 AB 的延长线上时， 综上可得： P、 Q、 R三点共线； 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用R与 R也重合再相乘；例2.点P位于 ABC的外接圆上； A1、B1、C1是从点 P向BC、CA、AB引的垂线的垂足， 证明点 A1、B1、 C1共线；证：易得： BA1CA1BPcosPBCCPcosPCBCB1CPcosPCAAB1APcosPACAC1APcosPABBC1PBcosPBAPCB, PCA PBA 180将上面三条式

5、子相乘，且 PAC PBC , PAB可得BA1 CB1 AC1CA1 AB1 BC 1依梅涅劳斯定理可知 A1、B1、 C1三点共线；练习 2】设不等腰 ABC 的内切圆在三边 BC、CA 、AB上的切点分别为 D、E、F，则 EF 与BC， FD 与CA，DE 与AB的交点 X、Y、Z在同一条 直线上；练习 3】已知直线 AA 1， BB 1，CC1相交于 O，直线 AB 和 A 1 B 1的交点为 C 2，直线 BC与B 1C 1的交点是 A2，直 线AC与 A1C 1的交点是 B 2，试证： A2、 B2、 C 2三点共线；E、C、A，在另一条上取点 B、F 、M 、 N ，证明：练习

6、 4】在一条直线上取点CD和AF ，CD和 AF ，EF 和BC的交点依次为 L、D，记直线 AB 和ED，L、M、N共线练习 1的证明证：若 AD / A1D1，结论显然成立； 若 AD 与 A1D1 相交与点 AD LDLDBDLD 1 A1 K A1D1 AK BK B1D1 B1K LD 1将上面四条式子相乘可练习 2的证明L ，则把梅涅劳斯定理分 LC AKA1C1AC A1K得：AD 得：AC A1D1 B1D1LC1别用于 A1AL 和 B1BL可得： BCLCLC1 B1KB1C1BK 1BC A1C1BD A1D1B1D1B1C1ABC 被直线 XFE 所截，由定理1可得：

7、BXXC又 AEAF代人上式可得：BX FBXCCECY DCAZ EA同理可得：YA AFZB BD将上面三条式子相乘可得：BXCYAZXCYAZB证：1又 X、 Y、 Z都不在ABC 的边上，由定理 2可得 X、 Y即：AC : ADBC BDA1C1B1C1CE AFEA FBZ三点共线练习 3的证明证：设 A2、 B2、 C 2分别是直线 BC和B1C1，AC和 A1C1，AB 和A1B1的交点， 对所得的三角形和在它C1,A2 ),OAC和( A1，AA 1 OB 1 BC 2 1OA1 BB 1 AC 21们边上的点： OAB和( A1，C1,B2 )应用梅涅劳斯定理有：OC 1

8、BB 1 CA 2 1 OA11 AA 1 CA 2 1BA 2 1B1,C2 ),OBC和( B1，112CC 1 OB 1 BA 2可得：BC 2 AB 2AC 2 CB 2 由梅涅劳斯定理可知 A2 ,B2 ,C2共线将上面的三条式子相乘CC 1 AB 2 1OC 1 CB 2练习4的证明证：记直线 EF和CD，EF 和AB，AB和CD的交点分别为 U、V、W，对 UVW，应用梅 涅劳斯定理于五组三元 点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N ),(A,C,E),(B,D,F)，则有 UE VEWAVAVA UF WM WA VF YM WB UD VF VB WD UF 将上面五

9、条式子相乘可 得：VL WMWL UMVL WD WL UD UC VE WC UE塞瓦定理：设P、Q、的充要条件是UN WC VB11VN UC WBVUNN 1, 点L,M ,N共线平面几何的几个重要定理塞瓦定理R分别是 ABC的BC、CA、AB边上的点，则 AP、 BQ、 CR三线共点BP CQ AR 1PC QA RB 1证：先证必要性：设 AP、BQ、CR相交于点 M，则： BP S ABP S BMP S ABMPC S ACP S CMP S ACM同理：CQQAAR RBBPPC再证充分性：若BMP ACP S CMPS BCMS ABMS ACMS BCM 以上三式相乘，得：

10、 BP CQ AR1PC QA RB CQ AR 1，设AP与BQ相交于M，且直线 CM交AB于R，QA RB由塞瓦定理有：PBCPCQQAARRARB 1，于是：AR ARR B RB因为R和R都在线段 AB上，所以R必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一 点点 M ；例1：证明：三角形的中线 交于一点；证明：记 ABC的中线 AA1， BB1，CC1，我们只须证明 AC1 BA1 CB1 1C1B A1C B1A而显然有： AC1 C1B, BA1 A1C,CB1 B1 A 即 AC1 BA1 CB1C1B A1C B1A1成立， ABC交于点；练习1】证明：三角形的角平 分线交于一点；锐

11、角三角形的 高交于一点；练习 2】证明：从L作边AC和BC的垂线，垂CP ABABC中，角 C的平分线交于 AB于L，例2：在锐角足分别是 M和 N，设 AN和BM的交点是 P，证明：证：作 CK AB下证 CK、 BM、 AN三线共点，且为 P点， 要证 CK、 BM、 AN三线共点，依塞瓦定理 即要证：AM CN BK 1MC NB AK又 MC CN即要证明： AM BKAK NBAML AKC即要证 AL BC 1AC BLCA K LBAMALAKACBNLBKCBK BCNB BLAMCDAE ,AN AF , 于是AMCE BD BFAE CDCE,ANAF BDBF依三角形的角

12、平分线定 理可知： AL BC 1AC BLCK 、BM、AN三线共点，且为 P点CP AB例3.设AD是 ABC的高，且D在BC边上，若 P是AD上任一点， BP、CP分别与AC、AB交于 E和F，则 EDA FDA证：过 A作AD的垂线，与 DE、 DF的延长线分别 交于 M、N。欲证 EDA FDA ，可以转化为证明 AM ANAD BCBDF故MN / BC，可得 AME CDE， ANFAD、BE、CF共点于P，根据塞瓦定理可得： DBCD CEEA FABF 1 AE CD AF BDCE BFAM ANEDA FDA练习 3】已知 ABC外有三点 M、 N、R，且 BARCAN

13、, CBM ABR , ACNBCM ，证明： AM、BN、CR三线共点；例4.在 ABC的边BC、CA、AB上取点 A1、 B1、 C1， 证明：AC1 BA1 CB1 sin ACC1 sin BAA1 C1B A1C B1A sin C1CB sin证：如图对 ACC1和 BCC1应用正弦定理，AC1 sin ACC1 CC1 sin Bsin A C1B sin C1CBsin CBB1C1CCC1AC1sinACC1sinBC1BsinC1CBsinA：BA1sinBAA1sinC：A1CsinA1ACsinBCB1sinCBB1sinA即：B1A同理sin B1BA 从而 AC1 BA1 CB1C1B A1C B1Asin Csin ACC1 sinA1AC可得：BAA1sin C1CB sin A1ACCA、 AB上取点 A1、 B1、 一点，证明，关于角平 分线对称于这些直线的 于一点；练习 4】在 ABC的边 BC、练习1答案：证：记 ABC的角平分线分别是 AA1,BB1,CC1,AC1C1BAC1b, BA1 c,CB1 a A1C b B1A BA1 CB1 1 A1C B1AsinsinC1B三角形的角平分线交于