高等数学全套复习题目及详细答案绝对实用.docx
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高等数学全套复习题目及详细答案绝对实用
高等数学全套复习题目及详细答案（绝对实用）
高等数学复习题
高等数学A第一章极限与连续测验题
班级学号姓名得分
一、选择题（每题６分，共２４分）
１．以下说法正确的是：
（）
Ａ．开区间上连续函数取不到最大值与最小值；
Ｂ．若f（x）在某点无定义，则该点极限必不存在；
Ｃ．若limf（x）存在，limg（x）不存在，则limf（x）g（x）必不存在；x®ax®ax®a
Ｄ．数列单调且有界是数列极限存在的充分非必要条件；
1ìxsin,x<0ïxïln（a+x）,x=0２．设f（x）＝í，要使f（x）在x=0处连续，则（）
ïbïsinx,x>0îx
Ａ．a=1，b=0；Ｂ．a=e，b=1；Ｃ．a=1，b=1；Ｄ．a,b不存在；
ì2x-1,x¹0，则x=0是f（x）的（）３．设f（x）＝ïíx2+1ï,x=0î1
Ａ．可去间断点；Ｂ．跳跃间断点；Ｃ．无穷间断点；Ｄ．连续间断点；
４．已知lim
Ａ．1
6f（3x）xx®0=12，则limf（2x）x13x®0=（）12；Ｂ．Ｃ．；Ｄ．4
3
二、填空题（每题６分，共２４分）
１．已知f（x）=e
xx２．设f（x）＝2+3-2，则当x®0时，f（x）是x的（高阶，低阶，同阶，x2,f[f（x）]=1-x，且f（x）³0，则f（x）的定义域为；
等价）无穷小；
３．lim（sinn®¥pn+12+sinpn+22+L+sinpn+n2）＝æx+2aö４．设limç÷=8，则a＝；s®¥èx-aøx
三、求极限（每题６分，共２４分）1.lim（x®111-x-3
1-x3）；２．limx（x2+1-x）；x®+¥
xsin21
2
３．lim
x®0xsinx3；４．lim（1-2x）sinx®0x；
（cosx-1）（ex-1）５．lim{（1+n）[ln（1+n）-lnn]}；６．lim；
x®0ln（1+3x）arctanx2n®¥
四、若lim
五、设f（x）=
xtanxx+ax+b1-x2x®1=5，求a,b的值；（６分），求f（x）的间断点，并说明间断点的类型；（１２分）
六、设f（x）在[a,b]上连续，证明：
至少存在一点xÎ[a,b]，使得f（x）=f（a）+f（b）．（８
2
分）
高等数学A第一章极限与连续测验题参考答案
一.选择题（每题６分，共２４分）
1、D.2、A.3、B.4、B.
二.填空题（每题６分，共２４分）1、（-¥,0]2、同阶3、p4、ln2
三、求极限（每题６分，共２４分）
1、-12、1/23、04、e-65、16、-
x+ax+b
1-x216四、若limx®1（６分）=5，求a,b的值；
limx+ax+b=0Þb=-1-aüx®1ï2解：
ýÞa=-7,b=6xax-1-alim=5ïx®11-xþ
ìxx2-4,x>0ïïsinpx五、讨论函数f（x）=í在x=0,x=1,x=2处的连续性，并说明间x（x+1）ï,x£02ïîx-1
（2）（）断点的类型；（１２分）
解：
（1）x=0
f（0）=0
lim+f（x）=lim+x®0xx-4sinpx
x（x+1）
x-12
（2）==0x®0x®0lim+xx-4（2px）=-p4x®0lim-f（x）=lim-x®0
\x=0处间断，且为第一类间断点的跳跃间断点。
（2）x=1
f
（1）不存在lim+f（x）=lim+
x®1
xx-4sinpx
（
2
）=¥
x®1
\x=1处间断，且为第二类间断点的无穷间断点。
（3）x=2
f
（2）不存在lim+f（x）=lim+
x®2
xx-4sinpxxx-4sinpx8
（
2
））
x-2=t
x®2
=
x-2=t
t®0
lim+
（t+2）t（t+4）
pt
==
8
p
8
x®2
lim-f（x）=lim-
x®2
（
2
=
t®0
lim-
（t+2）t（t+4）
pt
p
\x=2
处间断，且为第一类间断点的可去间断点。
p
补充定义：
f
（2）=。
2
六、设f（x）在[a,b]上连续，证明：
至少存在一点xÎ[a,b]，使得f（x）=f（a）+f（b）．（８分）证明：
法一：
（1）当f（a）¹f（b）时，不妨设f（a）f（a）+f（b）
2
在[a,b]上连续，满足介值定理的条件，故至少存在一点xÎ（a,b），使得f（x）=f（a）+f（b）。
2
（2）当f（a）=f（b）时，
f（a）+f（b）
2
=f（a）=f（b），则可取x=a或b
。
综合
（1）
（2）得，至少存在一点xÎ[a,b]，使得f（x）=f（a）+f（b）。
2
法二：
因为f（x）在[a,b]上连续，所以必取得最大值M和最小值m。
（1）当f（a）=f（b）=M时，
f（a）+f（b）
2
=M
，则可取x=a或b，使得f（x）=
f（a）+f（b）
2
f（a）+f（b）
2
。
（2）当f（a）=f（b）=m时，（3）除
（1）
（2）外，m<
使得f（x）=
f（a）+f（b）
2
f（a）+f（b）
2
=m
，则可取x=a或b，使得f（x）=
。
f（a）+f（b）
2
由介值定理的推论知，至少存在一点xÎ（a,b），。
f（a）+f（b）
2
综合
（1）
（2）（3）得，至少存在一点xÎ[a,b]，使得f（x）=
。
高等数学A第二章导数与微分测验题
一.选择题（每题6分，共２4分）
１．以下说法正确的是：
（）
Ａ．曲线y=f（x）在（x0,f（x0））处有切线，则f¢（x0）一定存在；
Ｂ．若f（x）=g（x），则f¢（x）=g¢（x）；
Ｃ．在某点可导的函数，其导函数必在该点连续；
Ｄ．偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数；
２．设ìex+b,x£0f（x）＝íx>0，要使f（x）在x=0处可导，则（）
îsinax,
Ａ．a=1，b=0；Ｂ．a=1，b=-1；Ｃ．a=0，b=1；不存在；
３．直线4x-y-6=0与曲线y=x4-3相切，则切点的坐标是（）
A.（-1,-2）B.（-2,-1）C.（1,-2）D.（-2,1）
４．设f（x）＝1n）
x2-3x+2，则f（（x）应为（）
Ａ．（-1）nn!
é11ù
êë（x-2）n+1-（x-1）n+1úû
Ｂ．（-1）n+1n!
é11
êë（x-2）n+1-ù（x-1）n+1ú；
û
Ｃ．（-1）nn!
é11ù
êë（x-2）n-（x-1）núû
Ｄ．（-1）n+1n!
é11ù
ê；
ë（x-2）n-（x-1）núû
二.填空题（每题6分，共２4分）
１．设函数f（x）=（1+x2）arctanx，则dy（0）=；
２．设y=x（x+1）（x+2）L（x+n），则f’（0）=________；a,b；；Ｄ．
３．已知f¢（3）=2，则lim
f（3-h）-f（3）2h＝；h®0
４．d[ln（x++x2）]＝d+x2；
三、求导数（每题６分，共２４分）１．设y=xarcsin
２．设函数y=y（x）有方程ey+xy=e所确定，求y¢¢（0）；
æxö３．设y=ç÷，求y¢；è1+xøxx2+4-x,求y¢；2
22ìïx=ln+tdy４．设í，求；2dxïîy=arctan（t）
1ìnïxsin,x¹0;四、（12分）讨论n的取值范围，使函数f（x）=íxïx=0,î0,
（1）在x=0处是连续的；
（2）在x=0处可微分；
（3）在x=0处其导函数是连续的。
五、（8分）求曲线x2+y2-2x+3y+2=0的切线，使该切线平行于直线2x+y-1=0．
六、（8分）若f（x）在x=0处连续，且limf（x）xx®0存在，证明f（x）在x=0处可导．
高等数学A第二章导数与微分测验题参考答案
一.选择题（每题6分，共２4分）
1、D2、B3、C4、A
二.填空题（每题6分，共２4分）
1、（1,-2）2、n!
3、-14、1/x
三、求导数（每题６分，共２４分）１．y¢=arcsinx
2
２．x=0时y=1
ey¢+y+xy¢=0Þy¢（0）=-y1
e
1
e2ey（y¢）2+ey¢¢+y¢+y¢+xy¢¢=0Þy¢¢（0）=y
３．lny=x（lnx-ln（1+x））1
1öx1x1ùæ1æxöé
¢y¢=lnx-ln（1+x）+xç-=ln+Þy=ln+÷ç÷êúy1+x1+xèx1+xøè1+xøë1+x1+xû
x
４．
dxdt
=
t1+t
2
dydt
=
11+t
2
Þ
dydx
=
1t
Þ
dydt
2
2
=
-1/tt1+t
2
=-
1+tt
3
2
2
1ìn
ïxsin,x¹0;
四、（12分）讨论n的取值范围，使函数f（x）=íx
ïx=0,î0,
（1）连续
limxsin
x®0
n
1x
=f（0）=0Þn>0；
（2）可微分
-0
1n-1xf±¢（0）lim±=lim±xsin要存在Þn>1Þf¢（0）=0；
x®0x®0x-0x
（3）导函数连续
11ìn-1n-2
nxsin-xcos,x¹0ï
f¢（x）=íxx
ï0,x=0î
xsin
n
1
limf¢（x）=f¢（0）Þn>2
x®0
五、（8分）求曲线x+y-2x+3y+2=0的切线，使该切线平行于直线2x+y-1=0．解：
设切点为（x0,y0）
x0+y0-2x0+3y0+2=0LL
（1）
2
2
2
2
2x+2y×y¢-2+3y¢=0Þy¢
（x0,y0）
=
2-2x02y0+3
=-2LL
（2）
ìx0=0ìx0=2
ÞíoríÞ2x+y+2=0or2x+y-3=0îy0=-2îy0=-1
六、（8分）若f（x）在x=0处连续，且lim
f（x）x
f（x）x
x®0
存在，证明f（x）在x=0处可导.
证明：
不妨设lim
x®0
=AÞlimf（x）=0，又f（x）在x=0处连续，则f（0）=0.
x®0
f¢（0）=limf（x）-f（0）
x-0x®0=limf（x）xx®0=A，即f（x）在x=0处可导。
高等数学A第三章中值定理与导数的应用测验题
一、选择题（每题5分，共25分）
1.设在[0,1]上,f’’（x）>0,则f’（0）,f’
（1）,f
（1）-f（0）或f（0）-f
（1）几个数的大小
（）
（A）f’
（1）>f’（0）>f
（1）-f（0）（B）f’
（1）>f
（1）-f（0）>f’（0）
（C）f
（1）-f（0）>f’
（1）>f’（0）（D）f’
（1）>f（0）-f
（1）>f’（0）
2、函数y=ln（x++x2）在（-¥，+¥）上是（）
（A）处处单调减少（B）具有最小值（C）处处单调增加（D）具有最大值
3、函数y=1
2（e+ex-x顺序为）的极小值点是（）
（A）0（B）-1（C）1（D）不存在
‘‘‘4、设f（x0）=f（x0）=0,f’’’（x0）>0,则下列正确的是（）
‘‘（A）f（x0
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