数理逻辑41.docx

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数理逻辑41

第四章命题演算的一致性﹑完全性与公理的独立性

4.1命题演算的一致性和完全性

*命题演算是一公理系统.公理系统的作用在于,从一些公理和推演规则出发,把某一范围的真命题推演出来.

*一方面我们希望,从它能推演出较多的真命题,希望能够完全,能够把某一范围里的真命题完全推演出来.

*另一方面,我们也要求,从它不能推演出我们所不要的东西,特别是逻辑矛盾.

这是所谓的完全性和一致性问题.是否完全和是否一致,是公理系统的两个重要问题.

*推演和证明:

推演一词含义较广,而证明一词含义较狭.在第三章里,我们引入了一些推演规则,在3.7节也定义了什么是证明.一般说来,推演的前提可以是任何公式或任何命题（如3.10节）,证明的根据则是一公理系统的公理（如:

3.6―3.9节）.只有从公理可推演的公式或命题才是可证的,才是定理.

一.命题演算的一致性

*一个理论里如果存在逻辑矛盾,这个理论就是不正确的.无矛盾性,也就是一致性,是公理系统首先要满足的条件.

1.一致性的几种定义:

（1）一致性的古典定义:

一个公理系统是一致的,当且仅当,不存在任何公式A,A和┐A都在这系统里可证.

（2）一致性的语义定义:

一个公理系统是一致的,当且仅当,在这系统里可证的公式都是真的.

*由于A和┐A不能同真,故该系统没有逻辑矛盾.

（3）一致性的语法定义:

一个公理系统是一致的,当且仅当,并非任一合式公式都在这系统里可证.

*如果任一公式都在系统里可证,当然A和┐A也都在系统里可证,因之系统按古典意义是不一致的.

2.一致性定理

一致性定理一:

命题演算是语义一致的.命题演算的定理都是重言式.

证明的主要论证是:

（1）命题演算的公理都是重言式.

（2）应用命题演算的推演规则,从重言式只能得到重言式.

因之可得结论:

命题演算的定理都是重言式.

逐步说明如下:

（1）命题演算的公理都是重言式.

由3.3节的真值表可证4个公理都是重言式.

（2）命题演算共有三个推演规则:

代入,分离和定义置换.现分别加以说明.

（甲）应用代入规则,从重言式只能得到重言式.

设φ（p）为一重言式,其中含有命题变项p.由于φ（p）为重言式,故不论p取值真或假,φ（p）皆为真.真值表如下:

pφ（p）

01

11

再设A为任一公式,根据代入规则,以A代入p后得φ（A）,而φ不变.由于不论A如何复杂,其值不外乎真或假,而

φ（p）是重言式,因之,φ（A）的值都是真的.真值表如下:

Aφ（A）

01

11

可以看出,φ（A）也是一重言式.

（乙）应用分离规则,从重言式只能得到重言式.

设A和A→B皆为重言式,则它们的值常真,在→的真值表中

ABA→B

001

011

100

111

只有在第4种情况下,A和A→B同时为真,而在这情况下,B也为真.如果A和A→B为重言式,则它们的值常真,那么B的值也必为常真.因之,B也是重言式.

（丙）应用定义置换规则,从重言式只能得到重言式.

由2.1节例2.4的真值表（5）,（6）及德

摩根律（自己验证）,可知定义A∧B

┐（┐A∨┐B）,A→B

┐A∨B,

A

B

（A→B）∧（B→A）的左右两方真值相同.置换不改变真值,置换后所得的公式和原公式真值也相同.所以,如原公式为重言式,置换后的结果还是一个重言式.

根据以上结果,可知命题演算的定理都是重言式.

一致性定理二:

命题演算是语法一致的.并非任一公式都是命题演算的定理.

证明:

既然一切定理都是重言式,那么,非重言式,例如:

p∨q就不是定理.

一致性定理三:

命题演算在古典意义下是一致的.对于任一公式A,A和┐A不能都是命题演算的定理.

证明:

对任一公式A,有时A和┐A都不是重言式,例如:

┐p∨q和┐（┐p∨q）.则A和┐A都不是命题演算的定理.若A是重言式,则┐A为矛盾式,因而不是重言式,则A是定理,而┐A不是定理.因而,命题演算是古典意义下一致的.

二.命题演算的完全性

*关于公理系统的另一个重要问题是,它能不能包括某一范围里的一切真命题,是不是完全的.虽然有些公理系统是完全的,很多公理系统却是不完全的.但是即使不完全,公理化方法和公理系统仍然是数学科学的有力工具,有重要的价值.

1.完全性的几种定义:

（1）完全性的语义定义:

一公理系统是完全的,当且仅当,一切属于某一特定范围内的真命题都是在这系统里可证的.

（2）完全性的语法定义:

一公理系统是完全的,当且仅当,如果把一个推演不出的公式作为公理,其结果,所得的系统就是不一致的.

（3）完全性的古典定义:

一公理系统是完全的,当且仅当,对任一合式公式A而言,或者A是可证的,或者┐A是可证的.

*这种意义下的完全性是针对着某种公理系统而言的,在这种系统里,合式公式中没有自由变项.命题演算不是这种公理系数.在这种意义下,命题演算不是完全的.例如:

┐p∨q和┐（┐p∨q）都在命题演算中不可证.

2.完全性定理

完全性定理一:

命题演算在语义意义下是完全的.一切重言式在命题演算里都是可证的.

证明:

设A为一重言式.

A有一合取范式.设A的合取范式为B,B也是一重言式,并且B为B1∧B2∧…∧Bn

Bi（1≤i≤n）是简单析取,Bi必是重言式.

因之,每一Bi里必有一变项π,并且π和┐π都作为Bi的支命题出现.每一Bi都具有形式π∨┐π∨C.

由定理4,p∨┐p可证,再由附加规则,p∨┐p∨q可证.所以,由代入规则可知,每一Bi都可证.

根据定理├p→（q→p∧q）,B1∧B2∧…∧Bn可证.所以,B可证.

B是A的范式,是从A根据置换规则得到的.如果B可证,则A也可证.

可见,如A是重言式,则A可证.

凡重言式皆可证,故命题演算是完全的.

*这个完全性定理也提供了一个有效的证明方法.

完全性定理二:

命题演算在语法意义下是完全的.如果把一不可证的公式作为公理,其结果将是不一致的.

证明:

设A在命题演算里不可证.

因凡重言式皆可证,所以A不是重言式.

设B为A的合取范式,则B不是重言式.

设B=B1∧B2∧…∧Bn,则有一Bi（1≤i≤n）,Bi不是重言式.所以,在Bi里,不可能有一变项π,π和┐π都作为Bi的支命题出现.Bi的支命题中,虽然有些是否定的,有些是肯定的,但是命题变项不相同.例如:

p∨┐q∨┐r∨s.

假若把A作为公理,因B是A的范式,则B可证.所以,根据定理├p∧q→p,Bi可证.

如以p代入Bi中的肯定支命题,以┐p代入Bi中前面带有否定符的命题变项,例如:

在p∨┐q∨┐r∨s中进行这样的代入,则可得p∨┐┐p∨┐┐p∨p

销去双重否定,则得一命题变项的析取,例如:

p∨p∨p∨p

所以,如果Bi可证,则p∨p∨…∨p可证.

根据公理1,├p∨p→p,则p可证.

如p可证,则p为一定理.即├p.如果A代入p,可得

├A.如再用┐A代入p,又可得├┐A.如p可证,则A和┐A皆可证.这是逻辑矛盾.

所以,如将一不可证的公式作为公理,则将导致逻辑矛盾.可见命题演算具有语法意义下的完全性.

4.2公理的独立性

1.独立性的意义:

一公式集合M是独立的,如果M中的任一公式A都不能根据给定的推演规则从M中其它公式推演出来.

*对于一公理系统的诸公理,我们希望它们是独立的.作为出发点的诸公理最好是缺一不可,任何一个公理都不能从其它公理推演出来.

*独立性和一致性不同,和完全性也有所不同,一公理系统的诸公理,其中即使有不独立的,也不能算是很大的缺点.

2.算术解释方法:

为了证明独立性,我们通常采用一种算术解释方法.以下先说明什么是算术解释方法及其可以作独立性证明的理由.

设给定一公式集合{A1,A2,A3,A4}和两个推演规则R1和R2.求证:

根据R1和R2,A4对于{A1,A2,A3}是独立的.

我们先从反面着想,假若A4不独立,它可以从{A1,A2,A3}根据R1和R2推出.那么,下面的断定必然成立:

对于任一性质φ而言,如果

（1）A1,A2,A3都有性质φ,

（2）应用R1和R2,从有性质φ的公式只能得到有性质φ的公式,那么,

（3）A4必有性质φ.

根据以下断定,假若存在着一性质φ,并且

（1）A1,A2,A3都有性质φ,

（2）应用R1和R2,从有性质φ的公式只能得到有性质φ的公式,但是

（3）A4没有性质φ.

那么,这样一个φ的存在就充分说明了,应用R1和R2从

{A1,A2,A3}不可能推演出A4,A4是独立的.

采用解释方法要求我们能够发现一种解释,这种解释与A1,A2,A3,A4以及R1和R2里的符号以特定的意义,从而产生独立性证明所需要的性质φ.

由于通常采用的解释是赋予变项和公式以数值,所以这种方法被称为算术解释方法.

3.独立性证明:

（一）独立性证明一:

命题演算的公理1不能从公理2,3,4用推演规则推演出来.

算术解释:

给予命题演算的原始符号如下解释.

（1）命题变项p,q,r,s,p1,…等可以有三个值:

0,1,2.

（2）初始联结词的数值表如下:

A┐AABA∨B

01000

10010

22020

100

111

122

200

212

220

根据这种解释,可有以下结果:

（1）公理2,3,4的值常为0.数值表从略.

（2）应用推演规则,从数值常为0的公式只能得到数值常为0的公式.关于代入和定义置换的说明如下.

φ（p）中p被代以A,得φ（A）.无论A多复杂,它只取值0,1,2,相当于p取值0,1,2,φ（p）（公理2,3,4或它们的推论）取值始终为0,故φ（A）取值常为0.

定义置换也类似.定义两边A

B同时取值0或1或2.在φ（A）中用B置换A得φ（B）,由于在任一解释下B与A等值,

故φ（B）与φ（A）等值.

以下证明分离规则:

AB┐AA→B（┐A∨B）

0010

0111

0212

1000

1100

1200

2020

2122

2220

从表上可以看出,当A和A→B的数值皆为0时,B的值也是0.所以,如A和A→B的值常为0,则B的值也常为0.应用分离规则,从公理2,3,4只能得到其值常为0的公式.

*此处的“数值常为0”,就是独立性证明所需要的性质φ.公理1如果不是独立的,是可以推出的,它的数值也必常为0.但公理1的数值不常为0.（见下表）.

pp∨p┐（p∨p）┐（p∨p）∨p

0010

1100

2012

可见公理1不能从其它公理推出.

（二）独立性证明二:

公理2不能从公理1,3,4用推演规则推出.

算术解释:

（1）命题变项有四个值:

0,1,2,3.

（2）┐和∨的数值解释,用等式表示为:

（甲）┐0=1,┐1=0,┐2=3,┐3=2.

（乙）0∨0=0∨1=0∨2=0∨3=0

1∨1=1∨2=1∨3=1

2∨2=2∨3=2

3∨3=3

交换律对∨适用.

根据这种解释,公理1,3,4的值常为0或2,推演规则也传递“等于0或2”这性质,但公理2并不常“等于0或2”.当p取值2,q取值1时,

p→p∨q

的值为2→2∨1=┐2∨（2∨1）=3∨1=1.

所以公理2是独立的.

（三）独立性证明三:

公理3不能从公理1,2,4用推演规则推出.

此处算术解释是:

（1）命题变项有四个值:

0,1,2,3.

（2）┐和∨的数值解释,用等式表示为:

（甲）┐0=1,┐1=0,┐2=0,┐3=2

（乙）0∨0=0∨1=1∨0=0∨2=2∨0=0∨3=3∨0=0

1∨1=1,1∨2=2∨1=2,1∨3=3∨1=3

2∨3=0,3∨2=3,2∨2=2,3∨3=3

根据这个解释,公理1,2,4的值常为0,推演规则传递“常为0”的性质.但公理3的值不常为0.当p取值2,q取值3时,公理3的值为3.

（四）独立性证明四:

公理4不能从公理1,2,3用推演规则推出.

在此我们用以下的算术解释.

（1）命题变项有四个值:

0,1,2,3.

（2）┐和∨的数值解释为:

（甲）┐0=1,┐1=0,┐2=3,┐3=0.

（乙）0∨0=0∨1=1∨0=0∨2=2∨0=0∨3=3∨0=0

1∨1=1,1∨2=2∨1=2,1∨3=3∨1=3

2∨2=2,2∨3=3∨2=0,3∨3=3.

根据这个解释,公理1,2,3以及从它们推演出来的公式,其值都常为0,而公理4的值不常为0.当p取值2,q取值2,r取值2时,公理4的值为2.

作业:

1.在自然推理系统P中,证明以下推理:

今天下雨或明天后天都下雨,明天不下雨或后天不下雨而今天下雨.可以推出“今天下雨”.

2.在自然推理系统P中,证明以下推理:

如果李敏来通信工程学院,若王军不生病,则王军一定去看望李敏.如果李敏出差到南京,那么李敏一定来通信工程学院.王军没有生病.所以,如果李敏出差到南京,王军一定去看望李敏.

3.在自然推理系统P中,证明以下推理:

前提:

B∧C,（B

C）→（H∨G）

结论:

G∨H.

4.在自然推理系统P中,证明以下推理:

前提:

P→Q,（┐Q∨R）∧┐R,┐（┐P∧S）

结论:

┐S.