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1、数理逻辑41第四章 命题演算的一致性完全性与公理的独立性4.1 命题演算的一致性和完全性*命题演算是一公理系统. 公理系统的作用在于, 从一些公理和推演规则出发, 把某一范围的真命题推演出来.*一方面我们希望, 从它能推演出较多的真命题, 希望能够完全, 能够把某一范围里的真命题完全推演出来.*另一方面, 我们也要求, 从它不能推演出我们所不要的东西, 特别是逻辑矛盾. 这是所谓的完全性和一致性问题. 是否完全和是否一致, 是公理系统的两个重要问题.*推演和证明: 推演一词含义较广, 而证明一词含义较狭. 在第三章里, 我们引入了一些推演规则, 在3.7节也定义了什么是证明. 一般说来, 推演

2、的前提可以是任何公式或任何命题(如3.10节), 证明的根据则是一公理系统的公理(如:3.63.9节). 只有从公理可推演的公式或命题才是可证的, 才是定理.一. 命题演算的一致性*一个理论里如果存在逻辑矛盾, 这个理论就是不正确的. 无矛盾性, 也就是一致性, 是公理系统首先要满足的条件.1. 一致性的几种定义:(1) 一致性的古典定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当, 不存在任何公式A, A和A都在这系统里可证.(2) 一致性的语义定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当, 在这系统里可证的公式都是真的.*由于A和A不能同真, 故该系统没有逻辑矛盾.(3) 一致性的语法定义: 一个公理

3、系统是一致的, 当且仅当, 并非任一合式公式都在这系统里可证.*如果任一公式都在系统里可证, 当然A和A也都在系统里可证, 因之系统按古典意义是不一致的.2. 一致性定理一致性定理一: 命题演算是语义一致的. 命题演算的定理都是重言式.证明的主要论证是:(1) 命题演算的公理都是重言式.(2) 应用命题演算的推演规则, 从重言式只能得到重言式. 因之可得结论: 命题演算的定理都是重言式.逐步说明如下:(1) 命题演算的公理都是重言式. 由3.3节的真值表可证4个公理都是重言式.(2) 命题演算共有三个推演规则: 代入, 分离和定义置换. 现分别加以说明.(甲) 应用代入规则, 从重言式只能得到

4、重言式. 设(p)为一重言式, 其中含有命题变项p. 由于(p)为重言式, 故不论p取值真或假, (p)皆为真. 真值表如下: p (p) 0 1 1 1 再设A为任一公式, 根据代入规则, 以A代入p后得(A), 而不变. 由于不论A如何复杂, 其值不外乎真或假, 而(p)是重言式, 因之, (A)的值都是真的. 真值表如下: A (A) 0 1 1 1可以看出, (A)也是一重言式.(乙) 应用分离规则, 从重言式只能得到重言式. 设A和AB皆为重言式, 则它们的值常真, 在的真值表中 A B AB 0 0 1 0 1 1 1 0 01 1 1只有在第4种情况下, A和AB同时为真, 而在

5、这情况下, B也为真. 如果A和AB为重言式, 则它们的值常真, 那么B的值也必为常真. 因之, B也是重言式.(丙) 应用定义置换规则, 从重言式只能得到重言式. 由2.1节例2.4的真值表(5), (6)及德摩根律(自己验证), 可知定义AB(AB), ABAB, AB(AB)(BA)的左右两方真值相同. 置换不改变真值, 置换后所得的公式和原公式真值也相同. 所以, 如原公式为重言式, 置换后的结果还是一个重言式. 根据以上结果, 可知命题演算的定理都是重言式.一致性定理二: 命题演算是语法一致的. 并非任一公式都是命题演算的定理.证明: 既然一切定理都是重言式, 那么, 非重言式, 例

6、如: pq 就不是定理.一致性定理三: 命题演算在古典意义下是一致的. 对于任一公式A, A和A不能都是命题演算的定理.证明: 对任一公式A, 有时A和A都不是重言式, 例如:pq和(pq). 则A和A都不是命题演算的定理. 若A是重言式, 则A为矛盾式, 因而不是重言式, 则A是定理, 而A不是定理. 因而, 命题演算是古典意义下一致的.二. 命题演算的完全性*关于公理系统的另一个重要问题是, 它能不能包括某一范围里的一切真命题, 是不是完全的. 虽然有些公理系统是完全的, 很多公理系统却是不完全的. 但是即使不完全, 公理化方法和公理系统仍然是数学科学的有力工具, 有重要的价值.1. 完全

7、性的几种定义: (1) 完全性的语义定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 一切属于某一特定范围内的真命题都是在这系统里可证的.(2) 完全性的语法定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 如果把一个推演不出的公式作为公理, 其结果, 所得的系统就是不一致的.(3) 完全性的古典定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 对任一合式公式A而言, 或者A是可证的, 或者A是可证的.*这种意义下的完全性是针对着某种公理系统而言的, 在这种系统里, 合式公式中没有自由变项. 命题演算不是这种公理系数. 在这种意义下, 命题演算不是完全的. 例如: pq 和 (pq) 都在命题演算中不可证.2. 完全

8、性定理完全性定理一: 命题演算在语义意义下是完全的. 一切重言式在命题演算里都是可证的.证明: 设A为一重言式. A有一合取范式. 设A的合取范式为B, B也是一重言式, 并且B为 B1B2BnBi (1in)是简单析取, Bi必是重言式. 因之, 每一Bi里必有一变项, 并且和都作为Bi的支命题出现. 每一Bi都具有形式C . 由定理4, pp可证, 再由附加规则, ppq 可证. 所以, 由代入规则可知, 每一Bi都可证. 根据定理 p(qpq), B1B2Bn 可证. 所以, B可证. B是A的范式, 是从A根据置换规则得到的. 如果B可证, 则A也可证. 可见, 如A是重言式, 则A可

9、证. 凡重言式皆可证, 故命题演算是完全的.*这个完全性定理也提供了一个有效的证明方法.完全性定理二: 命题演算在语法意义下是完全的. 如果把一不可证的公式作为公理, 其结果将是不一致的.证明: 设A在命题演算里不可证. 因凡重言式皆可证, 所以A不是重言式. 设B为A的合取范式, 则B不是重言式. 设B = B1B2Bn , 则有一Bi (1in), Bi不是重言式. 所以, 在Bi里, 不可能有一变项, 和都作为Bi的支命题出现. Bi的支命题中, 虽然有些是否定的, 有些是肯定的, 但是命题变项不相同. 例如: pqrs . 假若把A作为公理, 因B是A的范式, 则B可证. 所以, 根据

10、定理 pqp, Bi可证. 如以p代入Bi中的肯定支命题, 以p代入Bi中前面带有否定符的命题变项, 例如: 在pqrs中进行这样的代入, 则可得 pppp销去双重否定, 则得一命题变项的析取, 例如:pppp所以, 如果Bi可证, 则ppp可证. 根据公理1, ppp, 则p可证. 如p可证, 则p为一定理. 即 p . 如果A代入p, 可得 A. 如再用A代入p, 又可得 A . 如p可证, 则A和A皆可证. 这是逻辑矛盾. 所以, 如将一不可证的公式作为公理, 则将导致逻辑矛盾. 可见命题演算具有语法意义下的完全性.4.2 公理的独立性1. 独立性的意义: 一公式集合M是独立的, 如果M

11、中的任一公式A都不能根据给定的推演规则从M中其它公式推演出来.*对于一公理系统的诸公理, 我们希望它们是独立的. 作为出发点的诸公理最好是缺一不可, 任何一个公理都不能从其它公理推演出来.*独立性和一致性不同, 和完全性也有所不同, 一公理系统的诸公理, 其中即使有不独立的, 也不能算是很大的缺点.2. 算术解释方法: 为了证明独立性, 我们通常采用一种算术解释方法. 以下先说明什么是算术解释方法及其可以作独立性证明的理由. 设给定一公式集合A1, A2, A3, A4和两个推演规则R1和R2. 求证: 根据R1和R2, A4对于A1, A2, A3是独立的. 我们先从反面着想, 假若A4不独

12、立, 它可以从A1, A2, A3根据R1和R2推出. 那么, 下面的断定必然成立: 对于任一性质而言, 如果(1) A1, A2, A3都有性质,(2) 应用R1和R2, 从有性质的公式只能得到有性质的公式, 那么,(3) A4必有性质. 根据以下断定, 假若存在着一性质, 并且(1) A1, A2, A3都有性质,(2) 应用R1和R2, 从有性质的公式只能得到有性质的公式,但是(3) A4没有性质. 那么, 这样一个的存在就充分说明了, 应用R1和R2从A1, A2, A3不可能推演出A4, A4是独立的. 采用解释方法要求我们能够发现一种解释, 这种解释与A1, A2, A3, A4以

13、及R1和R2里的符号以特定的意义, 从而产生独立性证明所需要的性质. 由于通常采用的解释是赋予变项和公式以数值, 所以这种方法被称为算术解释方法.3. 独立性证明:(一) 独立性证明一: 命题演算的公理1不能从公理2, 3, 4用推演规则推演出来. 算术解释: 给予命题演算的原始符号如下解释.(1) 命题变项p, q, r, s, p1, 等可以有三个值: 0, 1, 2 .(2) 初始联结词的数值表如下: A A A B AB 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 2 0 2 01 0 01 1 11 2 22 0 02 1 22 2 0根据这种解释, 可有以下结果:(1) 公理2,

14、3, 4的值常为0. 数值表从略.(2) 应用推演规则, 从数值常为0的公式只能得到数值常为0的公式. 关于代入和定义置换的说明如下. (p)中p被代以A,得(A). 无论A多复杂, 它只取值0, 1, 2, 相当于p取值0, 1, 2, (p)(公理2, 3, 4或它们的推论)取值始终为0, 故(A)取值常为0. 定义置换也类似. 定义两边AB同时取值0或1或2.在(A)中用B置换A得(B), 由于在任一解释下B与A等值,故(B)与(A)等值. 以下证明分离规则: A B A AB(AB) 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 2 0

15、 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0从表上可以看出, 当A和AB的数值皆为0时, B的值也是0. 所以, 如A和AB的值常为0, 则B的值也常为0. 应用分离规则, 从公理2, 3, 4只能得到其值常为0的公式.*此处的“数值常为0”,就是独立性证明所需要的性质.公理1如果不是独立的, 是可以推出的, 它的数值也必常为0. 但公理1的数值不常为0.(见下表). p pp (pp) (pp)p 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 1 2可见公理1不能从其它公理推出.(二) 独立性证明二: 公理2不能从公理1, 3, 4用推演规则推出.算术解释:(1) 命题变项有四个值: 0, 1, 2,

16、 3 .(2) 和的数值解释, 用等式表示为:(甲) 0=1, 1=0, 2=3, 3=2 .(乙) 00=01=02=03=0 11=12=13=1 22=23=233=3交换律对适用. 根据这种解释, 公理1, 3, 4的值常为0或2, 推演规则也传递“等于0或2”这性质, 但公理2并不常“等于0或2”. 当p取值2, q取值1时, ppq的值为 221=2(21)=31=1 .所以公理2是独立的.(三)独立性证明三: 公理3不能从公理1, 2, 4用推演规则推出.此处算术解释是:(1) 命题变项有四个值: 0, 1, 2, 3 .(2) 和的数值解释, 用等式表示为:(甲) 0=1, 1

17、=0, 2=0, 3=2(乙) 00=01=10=02=20=03=30=0 11=1,12=21=2,13=31=3 23=0,32=3,22=2,33=3 根据这个解释, 公理1, 2, 4的值常为0, 推演规则传递“常为0”的性质. 但公理3的值不常为0.当p取值2, q取值3时, 公理3的值为3.(四) 独立性证明四: 公理4不能从公理1, 2, 3用推演规则推出.在此我们用以下的算术解释.(1) 命题变项有四个值: 0, 1, 2, 3 .(2) 和的数值解释为:(甲) 0=1, 1=0, 2=3, 3=0 .(乙) 00=01=10=02=20=03=30=0 11=1,12=21

18、=2,13=31=3 22=2,23=32=0,33=3 . 根据这个解释, 公理1, 2, 3以及从它们推演出来的公式, 其值都常为0, 而公理4的值不常为0. 当p取值2, q取值2, r取值2时, 公理4的值为2.作业:1. 在自然推理系统P中, 证明以下推理: 今天下雨或明天后天都下雨, 明天不下雨或后天不下雨而今天下雨. 可以推出“今天下雨”.2. 在自然推理系统P中, 证明以下推理: 如果李敏来通信工程学院, 若王军不生病, 则王军一定去看望李敏. 如果李敏出差到南京, 那么李敏一定来通信工程学院. 王军没有生病. 所以, 如果李敏出差到南京, 王军一定去看望李敏.3. 在自然推理系统P中, 证明以下推理:前提: BC, (BC)(HG)结论: GH .4. 在自然推理系统P中, 证明以下推理:前提: PQ, (QR)R, (PS)结论: S .