平行四边形标准讲义doc.docx

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平行四边形标准讲义doc

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（1）演变关系:

（2）从属关系:

（一）平行四边形的性质

1.平行四边形的定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2.平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等;

（2）平行四边形的对角相等,邻角互补;

（3）平行四边形的对角线互相平分.

（4）平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心;

3.平行四边形的面积

平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.

（二）平行四边形的判定

1.平行四边形的判定方法5种：

两组对边分别平行

从边看一组对边平行且相等

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两组对边分别相等的四边形是平行四边形

从角看------两组对角分别相等

从对角线看---对角线互相平分

2.三角形中位线定理

定义:

连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

定理:

三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

结论:

三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形其周长是原三角

形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一;

（三）矩形

1.矩形定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.矩形的性质：

矩形具有平行四边形的所有性质

（1）矩形对边平行且相等；

（2）矩形四个角都是直角；（3）矩形对角线互相平分且相等；

（4）矩形是轴对称图形,有２条对称轴，对称轴是对边中点所在直线；是中心对称图

形,对称中心是两条对角线的交点.

3.直角三角形的性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4.矩形的判定方法

（1）有一个角是直角的平行四边形;

（2）有三个角是直角的四边形;

（3）对角线相等的平行四边形.

5.矩形的面积公式（类比平行四边形）：

矩形面积=底×高

（四）菱形

1.定义:

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.性质:

菱形具有平行四边形的一切性质：

（1）菱形四条边都相等;

（2）菱形对角相等

（3）菱形对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角；

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（4）菱形是轴对称图形,有２条对称轴，对称轴是对角线所在直线；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.

3.判定:

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四条边都相等的四边形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形；

4.菱形的面积:

（1）类比平行四边形面积公式:

底×高

（2）两条对角线乘积的一半.若a、b分别表示两条对角线的长,则S菱形=1ab

（五）正方形

1.定义：

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.性质：

（1）边-------四条边都相等,对边平行;

（2）角-------四个角都相等且都是直角;

（3）对角线----①相等；②互相垂直平分；③每一条对角线平分

一组对角；

④两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形.

（4）是轴对称图形,有4条对称轴；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.

2.判定：

（1）先证它是矩形,再证一组邻边相等；

（2）先证它是菱形,再证一个角是直角.

3.面积：

（1）正方形的面积等于边长的平方；

（2）正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半.

结论：

周长相等的四边形中,正方形的面积最大.

（六）梯形知识点

1.定义：

一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

特殊梯形的定义：

①等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

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②直角梯形：

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

2.等腰梯形的性质:

（1）等腰梯形两腰相等,两底平行；

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等；

（3）等腰梯形两条对角线相等；

（4）等腰梯形是轴对称图形,有一条对称轴,过两底中点的直线是它的对称轴.

3.等腰梯形的判定:

（1）定义：

即先判定梯形,再证明两腰相等；

（2）同一底上的两角相等的梯形；

（3）对角线相等的梯形.

4.梯形的中位线定理

（1）定义：

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

※

（2）结论：

梯形的中位线平行于两底

且等于两底和的一半.

5.梯形的面积公式:

（1）S=

（上底+下底）×高

※

（2）S=

中位线×高

解决梯形问题常用的方法

在研究梯形的问题中,常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的四边形．

梯形中常用的辅助线：

①平移腰

②作高

③平移对角线

④延长两腰

⑤有一腰中点时,作另一腰的平行线

⑥有一腰中点时,常把一底的端点与中点连接并延长,与另一底的延长线相交

⑦有底的中点时,常过中点作两腰的平行线

ADEAD

BFCBCE

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ADADE

BECBC

练习1

．菱形的定义：

__________________

的平行四边形叫做菱形．

．菱形的性质：

菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的

______：

还有：

菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分

______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是

______________________________

．

3.若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为

______cm2．

4.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形

ABCD的周长是

5.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：

（1）∠ABC的度数；

（2）菱形ABCD的面积．

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6、菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积

7、如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边CD、AD的中点，求证：

AE=CF

AFD

练习2

1．正方形的定义：

有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方

形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一

个角是直角的______．

2．正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形

的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对

角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称

轴．

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3.若正方形的边长为a，则其对角线长为______

4、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2．

5、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，求证：

BE=DG

BCG

6、已知：

如图，正方形

中，点

、

分别在

、

边上，

＝

，

ABCD

BCAD

∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．

7．已知：

如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于

F．求证：

BF＝EC．

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练习3

1．梯形有关概念：

一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平

行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底（与位置无关），梯形中不平行的两

边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做

______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．

2.已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=72°，∠C=36°，AD=6cm，BC=15cm，求CD

的长

3.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，则梯形中位线的长等于多少

4.如图所示，在直角梯形ABCD中，已知底AD=6cm，BC=11cm，腰CD=12cm，求

这个直角梯形的周长．

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练习题4

1.等腰梯形的性质：

等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线

______，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．

2．等腰梯形的判定：

______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是

等腰梯形．

3.等腰梯形的上、下底和腰分别是4cm、10cm和5cm，则此梯形的高为___________，

面积为____________

4、等腰梯形两底之和是10，两底差是4，一底角是45°，则其面积是多少?

5、已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，延长CB到E，使EB＝AD，连结

AE．求证：

AE＝CA．

四边形期末复习

一、选填题

1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，则∠ECB的度数

是.

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2、如图，在ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，则DE等于

㎝.

2题

1题

3、已知四边形ABCD，有以下四个条件：

①AB//CD；②ABCD；③BC//AD；

④BCAD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数

共有（）

（A）6种（B）5种（C）4种（D）3种

4、如图，在

△ABC中，点

D、E、F分别在边

、

BC、CA上，且

DE∥CA，

∥BA．下列四种说法：

①四边形

AEDF

是平行四边形；②如果

BAC

，

那么四边形

AEDF

是矩形；③如果

平分

BAC，那么四边形

AEDF

是菱形；④

如果

BC且

AC，那么四边形

AEDF

是菱形其中，正确的

有

（只填写序号）

5、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AE⊥BD于E，∠DAE∶∠BAE=3∶1，则

∠EAC=_______.

6、矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，若△ABC的周长比△AOB的周长大10cm，则边AD

的长是_______.

7、如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60°,E、F分别为AD、BD的中点，点G在DC上，△EGF的

面积为．

8、将矩形纸片

ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形

AECF．若

AB＝3，则

BC的长为

（）

A．1B．2C．2D．3

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5题

题

9、等腰梯形的下底是上底的

3倍，上底与高相等，则下底角的度数为

10、等腰梯形中位线等于它的腰长，若腰长等于5，则等腰梯形的周长是.

11、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，BD⊥CD于D，若梯形的周长为35cm，则

AD的长为cm.

12、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴

影部分的面积是.

13、如图，正方形ABCD中，M是BC的

中点，CM2，点P是BD上一动点，则PMPC的最小值是.

14、如图，平行四边形中，E是CD的中点，F是AE的中点，

FC与BE交于G．求证：

GF＝GC．

15、若矩形ABCD的一条角平分线BE分AD边为5cm和4cm两部分，求BE长和矩形ABCD的

面积.

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17、如图，在矩形

ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且

EF＝

ED，EF⊥ED．

求证：

AE平分∠BAD．

18、Rt△ABC，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，自A作BC的垂线交BD于E，自D?

作DF?

⊥BC，

求证：

四边形AEFD为菱形．

、如图，已知

ABCD中，AE平分

BAD，交DC于E，DF

BC于F，交AE

于G，且DF

AD.

（1）试说明DE

BC；

（2

）试问AB与DGFC之间有何数量关系？

写出你的结论，并说明理由.

20、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，过D点作DE∥AC交BC的延长线于

E点。

（1）求证：

四边形ACED是平行四边形；

（2）若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积；

BCE

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21、在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．

（1）试证明：

无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1；

（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

23、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CD=10，AB=5，∠ADC=60°，求梯形的腰长.

24、已知：

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝BC＋AD．求∠DBC的度数．

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25、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的

直线

从与

AC重合的位置开始，绕点

O作逆时针旋转，交

AB边于点

D．过点

C作

∥AB交直线

于点

E，设直线

的旋转角为α．

（1）①当α＝______°时，四边形

EDBC是等腰梯形，此时

AD的长为

______；

②当α＝______

°时，四边形

EDBC是直角梯形，此时

AD的长为______；

（2）当α＝90°时，判断四边形

EDBC是否为菱形，并说明理由．

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