平行四边形标准讲义doc.docx
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平行四边形标准讲义doc
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(1)演变关系:
(2)从属关系:
(一)平行四边形的性质
1.平行四边形的定义:
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2.平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等,邻角互补;
(3)平行四边形的对角线互相平分.
(4)平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心;
3.平行四边形的面积
平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.
(二)平行四边形的判定
1.平行四边形的判定方法5种:
两组对边分别平行
从边看一组对边平行且相等
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两组对边分别相等的四边形是平行四边形
从角看------两组对角分别相等
从对角线看---对角线互相平分
2.三角形中位线定理
定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.
定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
结论:
三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形其周长是原三角
形周长的一半,面积是原三角形面积的四分之一;
(三)矩形
1.矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质:
矩形具有平行四边形的所有性质
(1)矩形对边平行且相等;
(2)矩形四个角都是直角;(3)矩形对角线互相平分且相等;
(4)矩形是轴对称图形,有2条对称轴,对称轴是对边中点所在直线;是中心对称图
形,对称中心是两条对角线的交点.
3.直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.矩形的判定方法
(1)有一个角是直角的平行四边形;
(2)有三个角是直角的四边形;
(3)对角线相等的平行四边形.
5.矩形的面积公式(类比平行四边形):
矩形面积=底×高
(四)菱形
1.定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.性质:
菱形具有平行四边形的一切性质:
(1)菱形四条边都相等;
(2)菱形对角相等
(3)菱形对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;
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(4)菱形是轴对称图形,有2条对称轴,对称轴是对角线所在直线;是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.
3.判定:
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)四条边都相等的四边形;
(3)对角线互相垂直的平行四边形;
4.菱形的面积:
(1)类比平行四边形面积公式:
底×高
(2)两条对角线乘积的一半.若a、b分别表示两条对角线的长,则S菱形=1ab
2
(五)正方形
1.定义:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.性质:
(1)边-------四条边都相等,对边平行;
(2)角-------四个角都相等且都是直角;
(3)对角线----①相等;②互相垂直平分;③每一条对角线平分
一组对角;
④两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形.
(4)是轴对称图形,有4条对称轴;是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.
2.判定:
(1)先证它是矩形,再证一组邻边相等;
(2)先证它是菱形,再证一个角是直角.
3.面积:
(1)正方形的面积等于边长的平方;
(2)正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半.
结论:
周长相等的四边形中,正方形的面积最大.
(六)梯形知识点
1.定义:
一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
特殊梯形的定义:
①等腰梯形:
两腰相等的梯形叫做等腰梯形;
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②直角梯形:
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
2.等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形两腰相等,两底平行;
(2)等腰梯形同一底上的两个角相等;
(3)等腰梯形两条对角线相等;
(4)等腰梯形是轴对称图形,有一条对称轴,过两底中点的直线是它的对称轴.
3.等腰梯形的判定:
(1)定义:
即先判定梯形,再证明两腰相等;
(2)同一底上的两角相等的梯形;
(3)对角线相等的梯形.
4.梯形的中位线定理
(1)定义:
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
※
(2)结论:
梯形的中位线平行于两底
且等于两底和的一半.
5.梯形的面积公式:
(1)S=
1
(上底+下底)×高
2
※
(2)S=
中位线×高
解决梯形问题常用的方法
在研究梯形的问题中,常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的四边形.
梯形中常用的辅助线:
①平移腰
②作高
③平移对角线
④延长两腰
⑤有一腰中点时,作另一腰的平行线
⑥有一腰中点时,常把一底的端点与中点连接并延长,与另一底的延长线相交
⑦有底的中点时,常过中点作两腰的平行线
ADEAD
MM
BFCBCE
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ADADE
BECBC
练习1
1
.菱形的定义:
__________________
的平行四边形叫做菱形.
2
.菱形的性质:
菱形是特殊的平行四边形,它具有四边形和平行四边形的
______:
还有:
菱形的四条边______;菱形的对角线______,并且每一条对角线平分
______;菱形的面积等于__________________,它的对称轴是
______________________________
.
3.若菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则它的周长为______cm,面积为
______cm2.
4.如图,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,如果EF=2,那么菱形
ABCD的周长是
5.如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=4.求:
(1)∠ABC的度数;
(2)菱形ABCD的面积.
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6、菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积
7、如图,已知四边形ABCD是菱形,点E、F分别是边CD、AD的中点,求证:
AE=CF
AFD
E
BC
练习2
1.正方形的定义:
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方
形,因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______,又是一个特殊的有一
个角是直角的______.
2.正方形的性质:
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形
的四个角都______;四条边都______且__________________;正方形的两条对
角线______,并且互相______,每条对角线平分______对角.它有______条对称
轴.
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3.若正方形的边长为a,则其对角线长为______
4、如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为cm2.
5、如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE、DG,求证:
BE=DG
EF
AD
BCG
6、已知:
如图,正方形
中,点
、
、
N
分别在
、
、
边上,
=
,
ABCD
E
M
AB
BCAD
CE
MN
∠MCE=35°,求∠ANM的度数.
7.已知:
如图,E是正方形ABCD对角线AC上一点,且AE=AB,EF⊥AC,交BC于
F.求证:
BF=EC.
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练习3
1.梯形有关概念:
一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形,梯形中平
行的两边叫做底,按______分别叫做上底、下底(与位置无关),梯形中不平行的两
边叫做______,两底间的______叫做梯形的高.一腰垂直于底边的梯形叫做
______;两腰______的梯形叫做等腰梯形.
2.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=72°,∠C=36°,AD=6cm,BC=15cm,求CD
的长
AD
BC
3.在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=5cm,BD=12cm,则梯形中位线的长等于多少
4.如图所示,在直角梯形ABCD中,已知底AD=6cm,BC=11cm,腰CD=12cm,求
这个直角梯形的周长.
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练习题4
1.等腰梯形的性质:
等腰梯形中______的两个角相等,两腰______,两对角线
______,等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,______就是它的对称轴.
2.等腰梯形的判定:
______的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角______的梯形是
等腰梯形.
3.等腰梯形的上、下底和腰分别是4cm、10cm和5cm,则此梯形的高为___________,
面积为____________
4、等腰梯形两底之和是10,两底差是4,一底角是45°,则其面积是多少?
5、已知:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连结
AE.求证:
AE=CA.
四边形期末复习
一、选填题
1、如图,在平行四边形ABCD中,∠A=130°,在AD上取DE=DC,则∠ECB的度数
是.
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2、如图,在ABCD中,已知AB=9㎝,AD=6㎝,BE平分∠ABC交DC边于点E,则DE等于
㎝.
2题
1题
3、已知四边形ABCD,有以下四个条件:
①AB//CD;②ABCD;③BC//AD;
④BCAD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数
共有()
(A)6种(B)5种(C)4种(D)3种
4、如图,在
△ABC中,点
D、E、F分别在边
AB
、
BC、CA上,且
DE∥CA,
DF
∥BA.下列四种说法:
①四边形
AEDF
是平行四边形;②如果
BAC
90
,
那么四边形
AEDF
是矩形;③如果
AD
平分
BAC,那么四边形
AEDF
是菱形;④
如果
AD
BC且
AB
AC,那么四边形
AEDF
是菱形其中,正确的
有
.
(只填写序号)
5、如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O,AE⊥BD于E,∠DAE∶∠BAE=3∶1,则
∠EAC=_______.
6、矩形ABCD的对角线AC、BD交于O,若△ABC的周长比△AOB的周长大10cm,则边AD
的长是_______.
7、如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60°,E、F分别为AD、BD的中点,点G在DC上,△EGF的
面积为.
8、将矩形纸片
ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形
AECF.若
AB=3,则
BC的长为
()
A.1B.2C.2D.3
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DG
EF
AB
C
5题
7
题
8
题
9、等腰梯形的下底是上底的
3倍,上底与高相等,则下底角的度数为
.
10、等腰梯形中位线等于它的腰长,若腰长等于5,则等腰梯形的周长是.
11、等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC,BD⊥CD于D,若梯形的周长为35cm,则
AD的长为cm.
12、如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴
影部分的面积是.
O2
O1
13、如图,正方形ABCD中,M是BC的
中点,CM2,点P是BD上一动点,则PMPC的最小值是.
14、如图,平行四边形中,E是CD的中点,F是AE的中点,
FC与BE交于G.求证:
GF=GC.
15、若矩形ABCD的一条角平分线BE分AD边为5cm和4cm两部分,求BE长和矩形ABCD的
面积.
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A
D
17、如图,在矩形
ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且
EF=
ED,EF⊥ED.
G
E
求证:
AE平分∠BAD.
B
FC
18、Rt△ABC,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,自A作BC的垂线交BD于E,自D?
作DF?
⊥BC,
求证:
四边形AEFD为菱形.
19
、如图,已知
ABCD中,AE平分
BAD,交DC于E,DF
BC于F,交AE
于G,且DF
AD.
(1)试说明DE
BC;
(2
)试问AB与DGFC之间有何数量关系?
写出你的结论,并说明理由.
20、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD,过D点作DE∥AC交BC的延长线于
AD
E点。
(1)求证:
四边形ACED是平行四边形;
(2)若AD=3,BC=7,求梯形ABCD的面积;
BCE
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21、在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连结DP交AC于点Q.
(1)试证明:
无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ;
(2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1;
6
(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
23、如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,CD=10,AB=5,∠ADC=60°,求梯形的腰长.
24、已知:
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC=BC+AD.求∠DBC的度数.
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25、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.点O是AC的中点,过点O的
直线
l
从与
AC重合的位置开始,绕点
O作逆时针旋转,交
AB边于点
D.过点
C作
CE
∥AB交直线
l
于点
E,设直线
l
的旋转角为α.
(1)①当α=______°时,四边形
EDBC是等腰梯形,此时
AD的长为
______;
②当α=______
°时,四边形
EDBC是直角梯形,此时
AD的长为______;
(2)当α=90°时,判断四边形
EDBC是否为菱形,并说明理由.