找次品.docx
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找次品
《找次品》教学设想
一、教材分析
《找次品》是人教版数学五年级下册第七单元数学广角的内容。
属于一节思维训练课，主要培养学生的优化意识和逻辑推理能力，同时掌握找次品的最优方法。
现实生活生产中的“次品”有许多种不同的情况，有的是外观与合格品不同，有的是所用材料不符合标准等。
这节课的学习中要找的次品是外观与合格品完全相同，只是质量有所差异，且事先已经知道次品比合格品轻（或重），另外在所有待测物品中只有唯一的一个次品。
找次品”的教学，旨在通过“找次品”渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。
优化是一种重要的数学思想方法，运用它可有效地分析和解决问题。
本节课以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题的能力。
二、学情分析
解决问题的策略研究学生已经不是第一次接触，此前学习过的“沏茶”、“田忌赛马”、“打电话”等都属于这一范畴，在这几节课的学习中，对简单的优化思想方法、通过画图的方式发现事物隐含的规律等都有所渗透，学生已经具有一定的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力。
另外，本节课中会涉及到的“可能”、“一定”、可能性的大小、分数的通分等知识点学生在此之前都已学过的。
本节课学生的探究活动中要用到天平，在五年级上学期学习等式的性质等知识时，学生对天平的结构、用法以及平衡与不平衡所反映的信息都已经有了很好的掌握。
新课程实施的几年时间，小组合作交流、自主探究的学习方式已为广大学生所接受，成为学生比较喜爱的主要学习方式，在小组学习中学生能够较好地分工、合作、交流，较好地完成探究任务。
三、教学目标：
1．能够借助学具、图示对“找次品”问题进行分析，归纳出解决这类问题的最优策略，经历由多样到优化的思维过程。
2．以“找次品”为载体，让学生通过观察、猜测、试验、推理等方式感受解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
3．感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
四、教学重、难点：
1、经历观察、猜测、试验、推理的思维过程，归纳出解决问题的最优策略。
2、能借助图示法帮助分析解决“找次品”的问题。
课前准备：
天平、学具、投影仪、实验报告单
五、例题分析
下面具体对两道例题做以分析
本册《数学广角》仅有两个例题，两个例题侧重面不同，对学生的要求不一样。
其中例一是5瓶钙片中找一瓶少了三片的药瓶。
要求：
找到称了几次，怎么称的。
例二是9个零件找一个次品零件（次品重一些）。
要求：
至少称几次就一定能找出次品来？
题目的要求是不一样的，从中我们可看出教材的设计者随着题目设计难度的加大，目的使学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
同时让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题。
初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
分析这两个例题，我们不难发现：
1、都要求学生使用解决问题的策略的多样性。
2、例二在例一的基础上增加了要求，在能够称出结果的答案中找到“至少称几次就一定能找出次品来”，完成9个零件后，让学生推广开来，思考“如果零件数变成10个、11个……”的情况时应怎样称，使学生加深认识“平均分成3份去称”的重要意义。
从而体现了数学方法的优化和选择的要求。
例题说明（讲解）
1.5瓶钙片中找出较轻的一瓶。
教师可以用2瓶、3瓶来引入，使学生首先明确最简单的2瓶或者3瓶称量的方法（都是一次），3（1，1，1）。
为较多瓶数称量奠定基础。
研究5瓶时，可以有5（1，1，1，1，1）、2（1，4）和2（2，3）这几种分法。
（具体讲解每一种分法）（树形示意图）第一种最多称3次，第二种最多称4次，第三种最多2次。
为了研究的方便，可以给瓶子编号，如1.2.3.4.5.也可以用不同物品或者学具来代替（比如做小圆片、小硬币）。
例一的目的是体验和感知方法的多样性，因此只要合理和正确的称法都是可以的。
2.9个零件中找出较重的一个零件。
受例一的启发，对零件分组和编号显得非常必要。
学生可能有3（4，4，1），3（3，3，3），4（2，2，2，3），2（1，8）等几种方法。
（讲解每一种分法的方法。
）教师引导学生用自己的语言去表述自己的方法。
（树形图演示几种分法。
）
对各种分法进行比较后得知，按3（3，3，3）这种分法是保证能找出次品称最少的次数，两次。
可能学生在这儿糊涂，只要理解两点：
1.所有的零件都要考虑，从第一个到第九个，不能以偏概全。
要想到所有的可能情况。
2.保证找到次品的最少的称法。
尽可能的让学生明白：
当我们选用一种方法来分析和研究问题时，应注意把可能出现的结果考虑全面，这样才能得出正确的结论。
学到这里引导观察：
用哪一种方法保证能找出次品需要称的次数最少？
学生可能会得出这样的结论:
平均分成3份去称，保证能找出次品所需的次数最少。
（图）
教师及时引导：
是不是所有能被3整除的数都符合这种规律呢？
另外不能平均分成3份的，应该怎样称最好？
进而拓展研究
在此基础上研究比如8个零件8（3,3,2）。
10个零件的情况。
分法10-----（3，3，4）。
11个零件。
分法11-----（4，4，3）。
12个零件。
分法12-----（4，4，4）。
通过以上的研究、分析，教师要引导学生发现找次品的最优策略主要基于以下两点：
1.是把待测物品分成三份。
2.是要分的尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能均分的也应该使多的一份与少的一份只相差1个。
《找次品》的学习，与四年级上册数学广角《烙饼问题》有很多相似之处，但是思考的逻辑严密性和思维延展度都有了更高的要求。
体现的归纳方法在本质上是一种不完全归纳法，对数量更大时的情形是否适用，还需要通过试验来检验。
我认为在教学过程中要把握以下几点：
1.从学生的生活经验出发，例题的选择既体现了生活化问题，又激发了学生科学研究和实验的兴趣。
学生在科学课上学过天平，数学课上学习方程。
理解了“平衡”和等式相等的条件。
三年级时学过“等量代换”，使用天平称量“几只鸡和几头猪相等”。
这些知识，都为学习本章知识奠定了基础。
2.重视小组合作与交流。
本章知识在编排上都呈现了小组合作学习的情景，统观两个例题，都要求学生通过小组活动探究解决问题的方法。
说明学生在自主学习这两个例题时，思维会有难度，利用小组学习可以集思广益，在活动中逐步养成合作、交流的习惯。
3.注意体现思维过程和分析方法，培养学生解决问题的能力。
解决两个例题，学生可能会因分组的不同有多种称量的方法。
因此教师要做好引导，同时要求学生做好记录，强调学生思维的一般过程，着力培养学生解决问题的意识和能力。
4.注意可能性知识的理解和要求。
这一点在例二中体现尤为明显。
例二的要求是“至少称几次就一定（保证）能找出次品来？
”请老师仔细思考这句话的含义。
很多学生在理解这句话上产生了歧义，也就导致了实验的目的不明确，实验的方法选择不正确。
如：
当把9个分成（4，4，1），4个和4个一平衡，剩下的一个不就是次品。
这不一次就称出来了。
为什么课本实验记录中却说是3次呢？
答案：
这一种称法只是一种可能，不能代替全部的可能情况。
而我们需要的是全部情况的分析“一定或者保证”。
不能用以偏概全的方法研究数学。
要把多有可能的情况考虑进去，这样就会是3次的称量结果。
后面对9的分析还要介绍，这里就先不做过多分析。
5.适当把握要求，体会“优选”的思想和方法。
例一是5个物品中找次品，仅要求学生说出找次品的方法，不需要进行规律总结，目的让学生感受解决问题策略的多样性。
例二是9个物品中找次品。
要求学生归纳出解决这类问题的最优策略，从而让学生经历由多样化过度到优化的思维过程。
在例一的基础上可以说跳了两跳。
教学建议
1.加强学生的试验和操作活动。
在活动中出现的一些共性问题，教师可以集中解决，如有的学生人为有时在称的次数少于至少能保证找出次品的次数时（也就是说可能1次或很少的次数就能找到次品），就找出次品，这时教师应提醒学生把所有的可能性都考虑进去。
如前面一次称量法。
2.重视学生猜测、推理能力和探索精神。
可以先让学生观察各种解决策略，引导学生发现把待测物品平均分成3份称的方法最好，在此基础上，可以让学生进行猜测，这种方法在待测物品的数量更大时是否也成立呢。
采用列表、画图、树形图等方式进行较为抽象的分析，实现从具体到抽象的过渡。
五、教学过程
课前交流：
同学们，我们来玩一个猜数的游戏，好吗？
请看：
大屏幕上有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这十一个数。
现在，老师心中想了一个数，让你来猜。
你猜一次，我会告诉你：
我想的数比你猜的数是大还是小，然后让你接着猜。
比一比，看谁猜的次数最少。
问题：
有的同学先猜6，有的同学先猜10，想想看，谁的方法好？
为什么？
课件演示：
先猜中间的6，不管是大还是小，都能断定要猜的数在（1-5或7-11）某五个数中；如果猜10，万一比10小，则在1-9这九个数中，不如五个数好猜。
总结：
先猜中间的数，一下子把要猜的数从11个减少到5个，缩小了下次猜数的范围。
接下来，怎样猜？
为什么？
同学们，在我们的生活中，解决问题还需要很多方法和策略。
譬如，刚才的游戏就用到了“缩小范围”的策略，展现了我们的聪明才智。
（课前交流中的猜数游戏。
为了保证游戏的成功，根据学生的猜数，我们可以采用灵活的策略，让学生总是处于“最不利”的处境，除非学生选择了最佳策略，否则猜的次数总是最多。
老师“心中想的数”不是固定的，而是根据学生的“猜”在不断的变化。
也就是说，开始老师心中并没有想一个具体的数。
只有让“最不利”发挥到极致，才能使学生最大限度地理解策略的重要性。
使“渗透缩小范围策略”获得了成功，为课堂中我们学习平均分3份时，次品所在范围越小，找到的机会越大做铺垫。
）
一、情境导入
师：
大家看，陈老师这儿有3瓶口香糖，其中一瓶我吃了两片，你们能辨别出是哪瓶么？
从3瓶口香糖中找出轻的一瓶，你们有什么好办法？
①用手掂一掂。
（让学生掂一掂。
）
②用电子秤。
（让学生说一说需要几次找出轻的一瓶。
）
③用天平称一称。
（你见过天平吗？
天平什么样，让学生表演并说明天平的使用：
天平处于平衡状态，说明两边托盘里的物体重量是相等的，天平处于不平衡状态，低的托盘里面的物重一些，高的托盘里物体轻一些。
）
平衡：
1一次
3（1，1，1）
不平衡：
1一次
把3瓶口香糖看作被测物品，轻的是少的，用天平称一次就一定能找出轻的那一瓶。
看来用天平称的方法最好。
这节课我们就来研究如何借助天平原理来找次品。
板书课题：
找次品。
[设计意图：
在这一环节，要引导学生发现，用天平称的方法最好，知道并不需要称出每个物品的具体质量，而只要根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较就可以了。
在教学例1前，先以3个待测物品为起点，降低了学生思考的难度，能较顺利地完成初步的逻辑推理：
那就是并不需要把每个物品都放上去称，3个物品中把2个放到天平上，无论平衡还是不平衡，都能准确地判断出哪个是次品。
只有理解了这些，后面的探究、推理活动才能顺利进行。
]
揭示课题：
在生活中常常有这样的情况，在一些看似完全相同的物品中混着一个质量不同的，轻一点或是重一点的物品，需要想办法把它找出来，像这一类问题我们把它叫做“找次品”，这节课我们就一起来研究如何“找次品”。
板书课题：
找次品
二、“找次品”的解决方法
课件出示：
次品有的是外观上残缺的，有的是外观一样但质量不同，今天们重点来研究外观相同但质量不同的找次品的问题。
（1）3瓶太简单，同学们都明白了，再增加一瓶，从4瓶口香糖中找出轻的一瓶，用天平称，至少几次一定能找出？
4（2，2）不平衡2（1，1）两次
（2）同学们真棒，推理能力很强，我们再增加点难度。
从5瓶口香糖中找出轻的一瓶，用天平称，至少几次一定能找出？
小组合作：
从5瓶钙片中找出少装了的那瓶次品。
（合作要求：
用手模拟天平，用5个学具当口香糖。
你们是怎样称的？
称了几次？
组长负责作好记录。
）
指名汇报，根据学生的回答同步用图示法板书学生的操作步骤：
预设学生可以出现的方案：
第一种方案：
在天平的左右两边各放1瓶口香糖，如果不平衡说明次品就在翘起来的那边。
如果平衡说明这两个都不是次品，再用同样的办法测量另外的2瓶口香糖，至少2次就一定能找出次品来。
5（1，1，1，1，1）1次或2次
第二种方案：
先在天平的两边各放2瓶口香糖，天平不平衡，次品就在翘起来的那边。
再把翘起一边的2个分一个到天平的另一边，翘起来的那边就是次品。
如果平衡，则另外的一个是次品。
这种方法也是至少2次就一定能出来。
平衡：
1 1次
5（2，2，1）
不平衡：
2（1，1） 2次
……
思考问题：
只称1次一定能找到轻的一瓶吗？
（答案：
有可能，但这只是偶然情况）引导学生说出，如果我们要保证一定能从5瓶口香糖当中找出轻的一瓶，至少需要2次。
我们今天研究的是保证一定能找出次品的方法。
[设计意图:
这一环节的设计，以3、4、5个被测物品引入，由浅入深，并为进一步研究找次品最优策略打下基础。
在这一环节中，从不同的方法中体验解决问题策略的多样性。
但考虑到学生用天平来称在操作上会很麻烦，以前对天平的结构、用法以及平衡与不平衡所反映的信息都已经有了很好的掌握，为了便于学生操作和节省时间，所以让学生用手模拟天平来进行实践探究。
图示法较为抽象，对学生来说不容易理解，在这里只是让学生初步感知，教学时教师根据学生的回答同步板书，便于学生理解每项数据、每种符号的含义，为后面的学习打下一定的基础。
]
从这儿我们可以看出，用天平找次品的方法是多种多样的。
思考：
至少称几次就一定能找到这个次品呢？
[设计意图：
学生在实际的操作中，可能会出现提前找到次品的情况，如果运气好的话称1次就可能找到次品。
在这里必须引导学生在理解“至少称几次就一定能找到这个次品”的含义，在此基础上让学生明白：
当我们选用一种方法来分析的研究问题时，应注意把可能出现的结果考虑全面，才能得出正确的结论。
同时也为下面的填表、探究优化策略作好准备。
]
三、探索最优策略
在9个零件中有一个次品（次品重一些），用天平称，至少称几次就一定能找到这个次品呢？
小组分工合作：
用学具摆一摆并尝试画图表示摆的过程，完成下表。
（合作要求：
2名同学摆学具，2名同学用图示法作记录，2名同学分析填表。
）
零件个数
分成的份数
每份的个数
至少称几次就一定能找到这个次品
[设计意图：
这一环节是本节课的重点也是难点，必须进行小组活动，发挥集体的智慧才能突破这个难点。
为了保证小组活动的有效性，活动前先在小组内进行分工，使每个成员都明确自己的任务。
让学生摆学具而不再使用天平，并尝试用图示法记录操作过程，是完成由具体到抽象过渡中的重要一步。
指名汇报，根据学生的回答填表并板书：
平衡3（1，1，1）
9（3，3，3）
不平衡3（1，1，1） 2次
平衡1
9（4，4，1）平衡2（1，1）3次
不平衡4（1，1，2）
不平衡1
平衡1
平衡（2，2，1）
9（2，2，2，2，1） 不平衡2（1，1） 3次
不平衡2（1，1）
9（1，1，1，1，1，1，1，1，1） 4次
……
引导观察：
用哪一种方法保证能找出次品需要称的次数最少？
小结：
平均分成3份去称，保证能找出次品所需的次数最少。
（出示9的几种分发）
设计意图：
小组汇报时将学生的操作过程用图示法板书，使学生进一步理解并初步掌握这种分析方法。
待测物品数量为9个时，只有平均分成3份称才能保证2次就找到次品，其它任何一种分法都比2次要多，这样便于学生发现规律。
]
引导：
是所有能被3整除的数都符合这个规律么？
不能平均分成3份的应该怎样分呢？
全班合作：
用图示法从8个、10个、11个、12个零件中找出一个次品。
（合作要求：
将全班所有的小组分成3部分，一部分小组分析“此报告8个、从10个零件中找出一个次品”，另一部分小组分析“从11个、12个零件中找出一个次品”。
小组内先共同讨论出几种不同的分法，再2人合作选一种（组内不重复）用图示法分析。
）
指名汇报，投影展示学生的分析过程。
引导观察，感知规律：
一是把待测物品分成三份；二是要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
[设计意图：
设计待测物品数量为8个、10个和11个、12个，带领学生经历由特殊到一般的数学分析模式，在此基础上使学生比较全面地感知找次品这类问题的基本解决手段和方法。
在这一环节中，让学生完全脱离具体的实物操作，实现从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡，但考虑到学生独立用图示法分析仍有难度，因而采用两个合作的方式进行。
把学生分成3部分分别分析8个、10个和11个、12个，并要求小组内选方法时“组内不重复”，这样能提高探究的效率，在较短的时间内把几种情况都分析到。
]
实验报告单（出示）
零件个数
分成的份数
保证能找出次品需要称的次数
8
（3,3,2）
2
8
（2,2,2,2）
3
8
（1，11,1,1,1,1,1）
4
8
（4，4，）
3
零件个数
分成的份数
保证能找出次品需要称的次数
10
（1，1，8）
3
10
（2，2，6）
3
10
（3，3，4）
3
10
（4，4，2）
3
10
（5,5）
3
10
（2,2,2,2,2）
3
零件个数
分成的份数
保证能找出次品需要称的次数
11
（1，1，1,1,1,1,··）
5
11
（2，2，7）
3
11
（3，3，2,2,1）
3
11
（4，4，3）
3
11
（5，5，1）
3
11
（2，2，2,2,3）
3
你知道这是为什么吗？
你能不能对这个规律作出解释？
[设计意图：
4-6年级学段目标中指出：
在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明，能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果。
学生通过合作探索、归纳总结出了“找次品”的最优策略，解释这个规律能使学生对得出结论从感性认识上升为理性认识。
要想用比较少的次数找到次品，那么每称一次都应该将次品锁定在一个尽可能小的范围内，因为天平有2个托盘，每称一次不但能对放上去的2份进行推理判断，还能对没放上去的1份进行推理判断，所以每称一次保证能锁定范围的最小值是待测物品的三分之一左右。
]
四、拓展提高
猜测：
这种方法在待测物品的数量更大时是否也成立呢？
第135页“做一做”：
有（）瓶水，除1瓶是盐水略重一些外，其他几瓶水质量相同。
至少称几次能保证找出这瓶盐水？
请你选择一个合适的数来解这道题，独立用图示法分析，验证你的猜测是否正确。
[设计意图：
本节课中提供的归纳方法在本质上是一种不完全归纳法，对数量更大时的情形是否适用，还需要通过试验来检验。
先让学生进行猜测，引发学生进一步进行归纳、推理等数学思考活动，再将“做一做”进行适当的改编，设计成较为开放的问题，既能满足不同层次学生的需求，又可以用更多的数据对总结的规律进行验证。
如果课堂时间不允许，这一环节也可以作为课堂的延伸让学生课后完成。
]
还可以出示比尔。
盖茨招聘公司职员的问题：
假定你有81个玻璃球，其中有一个球比其它的球稍重，如果只能利用没有砝码的天平来断定哪一个球重，请问你最少要称多少次，才能保证找到较重的这个球？
激发孩子探索兴趣，进一步验证规律，为下一节课“你知道么”专栏介绍做好铺垫。
五、延伸归纳
在第二课时除了对上一节课的内容进行巩固，提高外。
还可以进一步延伸。
比如：
练习2二十六137页有这样一道练习题。
6题（投影出示），它与例题不同，是另一种类型的找次品。
原来例题中知道次品是轻还是重，可是这道习题不知道次品比正品重还是轻，所以问题就复杂多了。
原题3瓶称一次就可以。
3（1，1，1）。
但是这道题虽然还是分成3份，但是至少称2次就一定能找到次品。
分法相同3（1，1，1），第一次称，如果两边平衡，则剩下的为次品。
如果两边不平衡，天平两边的糖有一个是次品。
可以取下轻的，剩下重的，和第三袋糖称，如果平衡，则取下的那袋轻的是次品，如果不平衡，则天平上重的是次品。
对学有余力的学生，可以以此题为起点，探索数量为4，5……时，如何找次品。
在“你知道”专栏中，介绍了在已知次品比正品重或轻的情况下，保证能找出次品所需测的次数。
这对一些比较大的数很有用处，可以让孩子去观察发现规律，通过图表可以发现，只要待测物品数量介于3n-1+1～3n之间，则最多只需要测次就保证能找出次品。
由此，要保证6次能测出次品，待测物品可能是244～729个。
学有余力的孩子可以掌握这一规律。
教学本节课应值得注意和重视的几个问题：
1、“找次品”优化策略的关键是什么？
“找次品”保证找到次品的最少次数的策略在于分成3份，每份的份数尽可能平均些。
但是有两点必须得搞清楚：
其一，为什么要分成3份呢？
2份难道不行吗？
如：
12个可以分成（6、6），也可分成（4、4、4），但是保证找到次品的次数都是3次，那么就是分成2份和3份都是可以的。
是吗？
仔细分析一下“分成2份，从12个里找1个次品”变成了“从6个里找1个次品”；而“分成3份，则变成4个里找1个次品”，这样一分析，我们可以清楚地看出原来这两种分法，次品所在范围缩小的程度不一样，前者范围大，后者范围小。
其二，同样是分成3份，为什么尽量平均分比较好？
如11个可以是分成（4、4、3），也可以分成（5、5、1），保证找到次品的次数都是3次，但是哪种更好一些呢？
是不是也从上面的分析来入手，就是考虑秤了一次，次品所在范围缩小程度如何？
（4、4、3）平衡的情况下，次品所在范围缩小到3个；不平衡情况下是缩小到4个。
（5、5、1）呢，平衡情况下，一次就能找到，但是这样的可能性很小；不平衡情况下是缩小到5个。
当数据大起来，这样的比较会更加的明显。
通过这样的比较，我们不难发现“找次品”优化策略的关键在于：
天平两边放同样多的情况下，秤一次使得次品所在范围变得尽可能的小。
那么也就是要分成3堆，尽可能平均分。
2、这节课到底给学生什么？
也可以说是目标的定位问题。
让学生学习“找次品”，学生利用“天平平衡”来找到次品，同时不用天平运用数学的符号表示方法，进行合理地、全面地推理。
这一学习过程是侧重于数学知识――“保证找次品的次数“，还是关注学生数学思维的培养，培养学生用数学地角度来解决问题的能力，特别是一些简单的逻辑推理能力的培养。
从教材的意图、数学广角承担目标和学生学习数学的价值上去考虑，应该偏重于后者，我们应更多地从解决问题的多样化和优化策略去分析，培养学生解决问题的能力。
同时也从学生思维能力的培养角度去分析，更多地是让学生全面地客观地分析事物两种现象，并进行合情推理。
3、数学广角的教学需不需要用真的天平？
本册的“数学广角”以“找次品”这一活动为载体，让学生感受用归纳、推理的方法运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。
通过教学目标和教材的编排可以看出，借助天平称的方法找次品，目的在于帮助学生理解解决问题的方法，并找出优化的解决策略。
所以培养学生优化意识和逻辑推理能力是我们在课堂上要达到目标。
因此当学生了解了用天平称的方法找次品这一方法后，不一定非要把待测物品放在天平上称，我们所应该做的是用这种方法进行逻辑推理，由实物学具的摆一摆到采用列表、画图等方式进行较为抽象
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