热力学统计物理第四版第九章答案.docx
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热力学统计物理第四版第九章答案
热力学统计物理第四版第九章答案
【篇一：
11热力学统计物理第四版汪志诚_答案】
t>1.1试求理想气体的体胀系数?
压强系数?
和等温压缩系数?
?
。
解：
已知理想气体的物态方程为
pv?
nrt,
（1）
由此易得
?
?
1?
?
v?
nr1
?
?
（2）?
?
v?
?
t?
ppvt
1?
?
p?
nr1
?
?
（3）?
?
p?
?
t?
vpvt
?
?
?
t?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
.（4）
v?
?
p?
t?
v?
?
p?
p
1?
?
v?
?
1?
?
nrt?
1
1.2证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?
及等温压缩系数?
?
，根据下述积分求得：
如果?
?
?
t?
1
t1
，试求物态方程。
p
解：
以t,p为自变量，物质的物态方程为
v?
v?
t,p?
其全微分为
?
?
v?
?
?
v?
dv?
?
dt?
?
?
dp.
（1）?
?
?
t?
p?
?
p?
t
全式除以v，有
dv1?
?
v?
1?
?
v?
?
?
dt?
?
?
dp.?
vv?
?
t?
pv?
?
p?
t
根据体胀系数?
和等温压缩系数?
t的定义，可将上式改写为
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（2）v
1
上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnv?
?
?
?
dt?
?
tdp?
.（3）
若?
?
?
t?
，式（3）可表为
?
11?
lnv?
?
?
dt?
dp?
.（4）
p?
?
t
1
t1p
选择图示的积分路线，从（t0,p0）积分到?
t,p0?
，再积分到（t,p），相应地体
积由v0最终变到v，有
ln
vtp
=ln?
ln,v0t0p0
即
pvp0v0
，?
?
c（常量）
tt0
或
pv?
1t
1p
c.t（5）
式（5）就是由所给?
?
?
t?
求得的物态方程。
确定常量c需要进一步的实验数据。
2
1.4在0c和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为今使铜块加热至10c。
?
?
4.85?
10?
5k?
1和?
t?
7.8?
10?
7pn?
1.?
和?
t可近似看作常量，问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？
（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
a）根据1.2题式
（2），有
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（1）v
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压强差dp之间的关系。
如果系统的体积不变，dp与dt的关系为
?
dt.
（2）?
t
在?
和?
t可以看作常量的情形下，将式
（2）积分可得
p2?
p1?
?
?
t?
t?
.（3）?
t21
将式
（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。
但是应当强调，只要初态?
v,t1?
和终态?
v,t2?
是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。
这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
4.85?
10?
5
p2?
p1?
?
10?
622pn.?
7
7.8?
10
因此，将铜块由0c加热到10c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
?
v
?
?
?
t2?
t1?
?
?
t?
p2?
p1?
.（4）v1
将所给数据代入，有
3
?
v
?
4.85?
10?
5?
10?
7.8?
10?
7?
100v1?
4.07?
10?
4.
因此，将铜块由0c加热至10c，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?
10?
4倍。
1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p0时将活门关上，试证明：
小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能u与原来在大气中的内能u0之差为u?
u0?
p0v0，其中v0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。
解：
将冲入小匣的气体看作系统。
系统冲入小匣后的内能u与其原来在大气中的内能u0由式（1.5.3）
u?
u0?
w?
q
（1）
确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，q?
0.过程中外界对系统所做的功可以分为w1和w2两部分来考虑。
一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由v0变为零。
由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。
过程中大气对系统所做的功为
w1?
?
p0?
v?
p0v0.
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则
w2?
0.
因此式
（1）可表为
u?
u0?
p0v0.
（2）
如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
p0v0?
nrt,（3）
u0?
u?
cv（t?
t0）?
nr
（t?
t0）（4）?
?
1
式中n是系统所含物质的量。
代入式
（2）即有
t?
?
t0.（5）
活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，
4
其物态方程为
p0v?
nr?
t0.（6）
与式（3）比较，知
v?
?
v0.（7）
1.8满足pvn?
c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明：
理想气体在多方过程中的热容量cn为
c?
?
n?
nn?
1
cv解：
根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
c?
?
?
q?
?
?
limt?
0?
?
?
t?
?
?
?
?
u?
?
?
p?
?
?
v?
n?
.n?
?
t?
n?
?
t?
n
对于理想气体，内能u只是温度t的函数，
?
?
?
u?
?
?
t?
?
?
cv,n
所以
c?
cp?
?
?
v?
nv?
?
?
t?
?
.n
将多方过程的过程方程式pvn?
c与理想气体的物态方程联立，消去压强得
tvn?
1?
c1（常量）
。
将上式微分，有
vn?
1dt?
（n?
1）vn?
2tdv?
0,
所以
?
?
?
v?
?
?
t?
?
?
?
v.n
（n?
1）t代入式
（2），即得
cpvnn?
cv?
t（n?
1）?
?
?
n?
1
cv,其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
（1）
（2）
p可（3）（4）（5）5
【篇二：
热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】
xt>1.1试求理想气体的体胀系数?
压强系数?
和等温压缩系数?
解：
已知理想气体的物态方程为
?
。
pv?
nrt,
（1）
由此易得
?
?
1?
?
v?
nr1
?
?
（2）?
?
v?
?
t?
ppvt
1?
?
p?
nr1
?
?
（3）?
?
p?
?
t?
vpvt
?
?
?
t?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
.（4）
v?
?
p?
t?
v?
?
p?
p
1?
?
v?
?
1?
?
nrt?
1
1.8满足pv
n
?
c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明：
n?
?
cvn?
1
理想气体在多方过程中的热容量cn为
cn?
解：
根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
?
?
q?
?
?
u?
?
?
v?
cn?
lim?
?
?
p?
?
?
?
?
.
（1）?
t?
0?
t?
?
n?
?
t?
n?
?
t?
n
对于理想气体，内能u只是温度t的函数，
?
?
u?
?
?
?
cv,?
?
t?
n
所以
?
?
v?
cn?
cv?
p?
?
.
（2）
?
?
t?
n
将多方过程的过程方程式pvn?
c与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得
。
（3）tvn?
1?
c1（常量）
将上式微分，有
1/15
vn?
1dt?
（n?
1）vn?
2tdv?
0,
所以
v?
?
v?
?
?
.（4）?
?
（n?
1）t?
?
t?
n
代入式
（2），即得
cn?
cv?
pvn?
?
?
cv,（5）t（n?
1）n?
1
其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9试证明：
理想气体在某一过程中的热容量c
多方过程，多方指数n?
cn?
cpcn?
cv
n
如果是常数，该过程一定是
。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：
根据热力学第一定律，有
du?
?
q?
?
w.
（1）
对于准静态过程有
?
w?
?
pdv,
对理想气体有
du?
cvdt,
气体在过程中吸收的热量为
?
q?
cndt,
因此式
（1）可表为
（cn?
cv）dt?
pdv.
（2）
用理想气体的物态方程pv?
vrt除上式，并注意cp?
cv?
vr,可得
（cn?
cv）
dtdv
?
（cp?
cv）.（3）tv
将理想气体的物态方程全式求微分，有
dpdvdt?
?
.（4）pvt
式（3）与式（4）联立，消去
dt
，有t
（cn?
cv）
2/15
dpdv?
（cn?
cp）?
0.（5）pv
令n?
cn?
cpcn?
cv
，可将式（5）表为
dpdv?
n?
0.（6）pv
如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得
。
（7）pvn?
c（常量）
式（7）表明，过程是多方过程。
1.12假设理想气体的c和c之比?
是温度的函数，试求在准静态绝热过程中
p
v
t和v的关系，该关系式中要用到一个函数f?
t?
，其表达式为
lnf（t）?
?
dt
?
?
1t
解：
根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足
cvdt?
pdv?
0.
（1）
用物态方程pv?
nrt除上式，第一项用nrt除，第二项用pv除，可得
cvdtdv
?
?
0.
（2）nrtv
利用式（1.7.8）和（1.7.9），
cp?
cv?
nr,cpcv
?
?
可将式
（2）改定为
1dtdv
?
?
0.（3）?
?
1tv
将上式积分，如果?
是温度的函数，定义
lnf（t）?
?
1dt
（4）?
?
1t
可得
，（5）lnf（t）?
lnv?
c1（常量）
或
f（t）v?
c（常量）。
（6）
3/15
式（6）给出当?
是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中t和v的关系。
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：
假设在p?
v图中两条绝热线交于c点，如图所示。
设想一等温线与
两条绝热线分别交于a点和b点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程abca中，系统在等温过程ab中从外界吸取热量q，而在循环过程中对外做功w，其数值等于三条线所围面积（正值）。
循环过程完成后，系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律，有
w?
q。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
第二章均匀物质的热力学性质
2.2设一物质的物态方程具有以下形式：
p?
f（v）t,
试证明其内能与体积无关.
解：
根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
故有
4/15
p?
f（v）t,
（1）
?
?
p?
?
?
?
f（v）.
（2）?
t?
?
v
但根据式（2.2.7），有
?
?
u?
?
?
p?
?
t?
?
?
?
?
p,（3）?
?
v?
t?
?
t?
v
所以
?
?
u?
?
?
?
tf（v）?
p?
0.（4）?
v?
?
t
这就是说，如果物质具有形式为
（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.
2.3
求证：
（a）?
?
?
0;（b
?
?
p?
h
?
?
s?
?
?
s?
）?
?
?
?
?
v?
u
0.
解：
焓的全微分为
dh?
tds?
vdp.
（1）
令dh?
0，得
内能的全微分为
令du?
0，得
p?
?
s?
?
?
0.（4）?
?
?
vt?
?
u
du?
tds?
pdv.（3）
?
?
s?
v
?
?
?
0.
（2）?
?
t?
?
p?
h
2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在
节流过程中的温度降落.
解：
气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数
?
?
t?
?
?
t?
和?
?
?
?
描述.熵函数s（t,p）的全微分为?
?
p?
s?
?
p?
h
?
?
s?
?
?
s?
ds?
?
dt?
?
?
dp.?
?
t?
?
p?
?
p?
t
5/15
【篇三：
热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】
xt>1.1试求理想气体的体胀系数?
压强系数?
和等温压缩系数?
?
。
解：
已知理想气体的物态方程为
pv?
nrt,
（1）
由此易得
?
?
1?
?
v?
nr1
?
?
（2）?
?
v?
?
t?
ppvt
1?
?
p?
nr1
?
?
（3）?
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p?
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t?
vpvt
?
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t?
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?
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?
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2?
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.（4）
v?
?
p?
t?
v?
?
p?
p
1?
?
v?
?
1?
?
nrt?
1
1.2证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?
及等温压缩系数?
?
，根据下述积分求得：
如果?
?
?
t?
1
t1
，试求物态方程。
p
解：
以t,p为自变量，物质的物态方程为
v?
v?
t,p?
其全微分为
?
?
v?
?
?
v?
dv?
?
dt?
?
?
dp.
（1）?
?
?
t?
p?
?
p?
t
全式除以v，有
dv1?
?
v?
1?
?
v?
?
?
dt?
?
?
dp.?
vv?
?
t?
pv?
?
p?
t
根据体胀系数?
和等温压缩系数?
t的定义，可将上式改写为
1
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（2）v
上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnv?
?
?
?
dt?
?
tdp?
.（3）
若?
?
?
t?
，式（3）可表为
?
11?
lnv?
?
?
dt?
dp?
.（4）
p?
?
t
1
t1p
选择图示的积分路线，从（t0,p0）积分到?
t,p0?
，再积分到（t,p），相应地体
积由v0最终变到v，有
ln
vtp
=ln?
ln,v0t0p0
即
pvp0v0
，?
?
c（常量）
tt0
或
pv?
1t
1p
c.t（5）
式（5）就是由所给?
?
?
t?
求得的物态方程。
确定常量c需要进一步的实验数据。
2
1.3在0?
c和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
?
5?
1?
7
今使铜块加热至10?
c。
?
?
4.85?
10k和?
t?
7.8?
10pn?
1?
.和?
t可近似看作常量，
问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？
（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
?
解：
（a）根据1.2题式
（2），有
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（1）v
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压强差dp之间的关系。
如果系统的体积不变，dp与dt的关系为
dp?
?
dt.
（2）?
t
在?
和?
t可以看作常量的情形下，将式
（2）积分可得
p2?
p1?
?
?
t?
t?
.（3）?
t21
将式
（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。
但是应当强调，只要初态?
v,t1?
和终态?
v,t2?
是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。
这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
4.85?
10?
5
p2?
p1?
?
10?
622pn.?
7
7.8?
10
因此，将铜块由0?
c加热到10?
c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
?
v
?
?
?
t2?
t1?
?
?
t?
p2?
p1?
.（4）v1
将所给数据代入，有
3
?
v
?
4.85?
10?
5?
10?
7.8?
10?
7?
100v1?
4.07?
10?
4.
因此，将铜块由0?
c加热至10?
c，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?
10?
4倍。
1.4简单固体和液体的体胀系数?
和等温压缩系数?
t数值都很小，在一定温度范围内可以把?
和?
t看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为
v（t,p）?
v0?
t0,0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
tp?
?
.
解:
以t,p为状态参量，物质的物态方程为
v?
v?
t,p?
.
根据习题1.2式
（2），有
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（1）v
将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在?
和?
t可以看作常量的情形下，有
ln
v
?
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
（2）v0
或
v?
t,p?
?
v?
t0,p0?
e
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
.（3）
考虑到?
和?
t的数值很小，将指数函数展开，准确到?
和?
t的线性项，有
v?
t,p?
?
v?
t0,p0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
?
?
.（4）
如果取p0?
0，即有
v?
t,p?
?
v?
t0,0?
?
?
1?
?
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t?
t0?
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tp?
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.（5）
1.5描述金属丝的几何参量是长度l，力学参量是张力j，物态方程是
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j,l,t?
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0
实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
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等温杨氏模量定义为
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其中a是金属丝的截面积，一般来说，?
和y是t的函数，对j仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由?
1降至?
2时，其张力的增加为
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j?
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t2?
t1?
解：
由物态方程
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j,l,t?
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（1）
知偏导数间存在以下关系：
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1.
（2）?
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所以，有
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y（3）
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ay.
积分得
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t2?
t1?
.（4）
与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差
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j?
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就满足式（4），与经历的过程无关。
1.6一理想弹性线的物态方程为
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