热力学统计物理第四版第九章答案.docx

1、热力学统计物理第四版第九章答案热力学统计物理第四版第九章答案【篇一：11热力学统计物理第四版汪志诚_答案】t1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数?。 解：已知理想气体的物态方程为 pv?nrt,（1） 由此易得 ? 1?v?nr1 ?,（2） ? v?t?ppvt 1?p?nr1 ?,（3） ? p?t?vpvt ? ?t?2?.（4） v?p?t?v?p?p 1?v?1?nrt?1 1.2 证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数?，根据下述积分求得： 如果?,?t? 1 t1 ，试求物态方程。 p 解：以t,p为自变量

2、，物质的物态方程为 v?v?t,p?, 其全微分为 ?v?v? dv?dt?dp. （1） ? ?t?p?p?t 全式除以v，有 dv1?v?1?v?dt?dp. ?vv?t?pv?p?t 根据体胀系数?和等温压缩系数?t的定义，可将上式改写为 dv ?dt?tdp. （2） v 1上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 lnv?dt?tdp?.（3） 若?,?t?，式（3）可表为 ?11? lnv?dt?dp?. （4） p?t 1 t1p 选择图示的积分路线，从(t0,p0)积分到?t,p0?，再积分到（t,p），相应地体 积由v0最终变到v，有 ln vtp =ln

3、?ln, v0t0p0 即 pvp0v0 ， ?c（常量） tt0 或 pv? 1t 1p c. t （5） 式（5）就是由所给?,?t?求得的物态方程。 确定常量c需要进一步的实验数据。 21.4 在0c和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为今使铜块加热至10c。?4.85?10?5k?1和?t?7.8?10?7pn?1.?和?t可近似看作常量，问： （a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？ （b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？ a）根据1.2题式（2），有 dv ?dt?tdp. （1） v 上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压

4、强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dt的关系为 ? dt. （2） ?t 在?和?t可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 p2?p1? ? ?t?t?. （3） ?t21 将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态?v,t1?和终态?v,t2?是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等

5、，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。 将所给数据代入，可得 4.85?10?5 p2?p1?10?622pn. ?7 7.8?10 因此，将铜块由0c加热到10c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn （b）1.2题式（4）可改写为 ?v ?t2?t1?t?p2?p1?. （4） v1 将所给数据代入，有 3?v ?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100v1 ?4.07?10?4. 因此，将铜块由0c加热至10c，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?10?4倍。 1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压

6、强达到外界压强p0时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能u与原来在大气中的内能u0之差为u?u0?p0v0，其中v0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。 解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能u与其原来在大气中的内能u0由式（1.5.3） u?u0?w?q （1） 确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，q?0. 过程中外界对系统所做的功可以分为w1和w2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由v0变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的（

7、但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为 w1?p0?v?p0v0. 另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则 w2?0. 因此式（1）可表为 u?u0?p0v0.（2） 如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有 p0v0?nrt, （3） u0?u?cv(t?t0)? nr (t?t0) （4） ?1 式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有 t?t0. （5） 活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0， 4 其物态方程为 p0v?nr?t0.（6） 与式（3）比较，知 v?v0. （7

8、） 1.8 满足pvn?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量cn为 c? n? nn?1 cv 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量 c?q?limt?0?t?u?p?v? n?. n?t?n?t?n 对于理想气体，内能u只是温度t的函数， ?u? ?t?cv, n 所以 c?cp?v? nv?t?. n 将多方过程的过程方程式pvn?c与理想气体的物态方程联立，消去压强得 tvn?1?c1（常量） 。将上式微分，有 vn?1dt?(n?1)vn?2tdv?0, 所以 ?v? ?t? ?v.n (n?1)t代入式（2），即得 cpvnn?c

9、v? t(n?1)?n?1 cv, 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。 （1） （2） p可（3） （4） （5） 5【篇二：热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】xt1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数? 解：已知理想气体的物态方程为 ? 。 pv?nrt,（1） 由此易得 ? 1?v?nr1 ?,（2） ? v?t?ppvt 1?p?nr1 ?,（3） ? p?t?vpvt ? ?t?2?.（4） v?p?t?v?p?p 1?v?1?nrt?1 1.8 满足pv n ?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明： n? cv n?1 理想气体在多方过

10、程中的热容量cn为 cn? 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量 ?q?u?v? cn?lim?p?. （1） ?t?0?t?n?t?n?t?n 对于理想气体，内能u只是温度t的函数， ?u? ?cv, ?t?n 所以 ?v? cn?cv?p?. （2） ?t?n 将多方过程的过程方程式pvn?c与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得 。（3） tvn?1?c1（常量） 将上式微分，有 1 / 15 vn?1dt?(n?1)vn?2tdv?0, 所以 v?v?.（4） ? (n?1)t?t?n 代入式（2），即得 cn?cv? pvn?cv,（5） t(n?1)n?1 其中用了式（1

11、.7.8）和（1.7.9）。 1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量c 多方过程，多方指数n? cn?cpcn?cv n 如果是常数，该过程一定是 。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。 解：根据热力学第一定律，有 du?q?w.（1） 对于准静态过程有 ?w?pdv, 对理想气体有 du?cvdt, 气体在过程中吸收的热量为 ?q?cndt, 因此式（1）可表为 (cn?cv)dt?pdv. （2） 用理想气体的物态方程pv?vrt除上式，并注意cp?cv?vr,可得 (cn?cv) dtdv ?(cp?cv).（3） tv 将理想气体的物态方程全式求微分，有 dpdvdt?. （

12、4） pvt 式（3）与式（4）联立，消去 dt ，有 t (cn?cv) 2 / 15 dpdv?(cn?cp)?0. （5） pv令n? cn?cpcn?cv ，可将式（5）表为 dpdv?n?0. （6） pv 如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得 。 （7） pvn?c（常量） 式（7）表明，过程是多方过程。 1.12 假设理想气体的c和c之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 p v t和v的关系，该关系式中要用到一个函数f?t?，其表达式为 lnf(t)? dt ?1t 解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足 cvdt?pdv?0. （1） 用物态方程

13、pv?nrt除上式，第一项用nrt除，第二项用pv除，可得 cvdtdv ?0. （2） nrtv 利用式（1.7.8）和（1.7.9）， cp?cv?nr,cpcv ?, 可将式（2）改定为 1dtdv ?0.（3） ?1tv 将上式积分，如果?是温度的函数，定义 lnf(t)? 1dt , （4） ?1t 可得 ，（5） lnf(t)?lnv?c1（常量） 或 f(t)v?c（常量）。（6） 3 / 15 式（6）给出当?是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中t和v的关系。 1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 解：假设在p?v图中两条绝热线交于c点，如图所示。设想一等

14、温线与 两条绝热线分别交于a点和b点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程abca中，系统在等温过程ab中从外界吸取热量q，而在循环过程中对外做功w，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有 w?q。 这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。 第二章 均匀物质的热力学性质 2.2设一物质的物态方程具有以下形式： p?f(v)t, 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： 故有

15、 4 / 15 p?f(v)t,（1） ?p? ?f(v). （2） ?t?v但根据式（2.2.7），有 ?u?p? ?t?p, （3） ?v?t?t?v 所以 ?u?tf(v)?p?0. （4） ?v?t 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数. 2.3 求证： (a)?0; (b ?p?h ?s? ?s?)?v?u 0. 解：焓的全微分为 dh?tds?vdp. （1） 令dh?0，得 内能的全微分为 令du?0，得 p?s?0. （4） ?vt?u du?tds?pdv. （3） ?s?v ?0. （2） ? t?p?h 2.6试证明在相同

16、的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在 节流过程中的温度降落. 解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数 ?t?t? 和?描述. 熵函数s(t,p)的全微分为 ?p?s?p?h ?s?s? ds?dt?dp. ? ?t?p?p?t 5 / 15【篇三：热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】xt1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数?。 解：已知理想气体的物态方程为 pv?nrt,（1） 由此易得 ? 1?v?nr1 ?,（2） ? v?t?ppvt 1?p?nr1 ?,（3） ? p?t?vpvt ? ?t?2?.（4） v?p?t?v?

17、p?p 1?v?1?nrt?1 1.2 证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数?，根据下述积分求得： 如果?,?t? 1 t1 ，试求物态方程。 p 解：以t,p为自变量，物质的物态方程为 v?v?t,p?, 其全微分为 ?v?v? dv?dt?dp. （1） ? ?t?p?p?t 全式除以v，有 dv1?v?1?v?dt?dp. ?vv?t?pv?p?t 根据体胀系数?和等温压缩系数?t的定义，可将上式改写为 1dv ?dt?tdp. （2） v 上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 lnv?dt?tdp?.（3）

18、若?,?t?，式（3）可表为 ?11? lnv?dt?dp?. （4） p?t 1 t1p 选择图示的积分路线，从(t0,p0)积分到?t,p0?，再积分到（t,p），相应地体 积由v0最终变到v，有 ln vtp =ln?ln, v0t0p0 即 pvp0v0 ， ?c（常量） tt0 或 pv? 1t 1p c. t （5） 式（5）就是由所给?,?t?求得的物态方程。 确定常量c需要进一步的实验数据。 2 1.3 在0?c和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 ?5?1?7 今使铜块加热至10?c。?4.85?10k和?t?7.8?10pn?1?.和?t可近似看作常量， 问

19、： （a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？ ?解：（a）根据1.2题式（2），有 dv ?dt?tdp. （1） v 上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dt的关系为 dp? ? dt. （2） ?t 在?和?t可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 p2?p1? ? ?t?t?. （3） ?t21 将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态?v,t1?和终态?v,t2?是平衡

20、态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。 将所给数据代入，可得 4.85?10?5 p2?p1?10?622pn. ?7 7.8?10 因此，将铜块由0?c加热到10?c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn （b）1.2题式（4）可改写为 ?v ?t2?t1?t?p2?p1?. （4） v1 将所给数据代入，有

21、3?v ?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100v1 ?4.07?10?4. 因此，将铜块由0?c加热至10?c，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?10?4倍。 1.4 简单固体和液体的体胀系数?和等温压缩系数?t数值都很小，在一定温度范围内可以把?和?t看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为 v(t,p)?v0?t0,0?1?t?t0?tp?. 解: 以t,p为状态参量，物质的物态方程为 v?v?t,p?. 根据习题1.2式（2），有 dv ?dt?tdp. （1） v 将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在?和?t可以看作常量的情形下，

22、有 ln v ?t?t0?t?p?p0?, （2） v0 或 v?t,p?v?t0,p0?e ?t?t0?t?p?p0? .（3） 考虑到?和?t的数值很小，将指数函数展开，准确到?和?t的线性项，有 v?t,p?v?t0,p0?1?t?t0?t?p?p0?. （4） 如果取p0?0，即有 v?t,p?v?t0,0?1?t?t0?tp?. （5） 1.5 描述金属丝的几何参量是长度l，力学参量是张力j，物态方程是 f?j,l,t?0 实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为 4? 1?l? l?t?j 等温杨氏模量定义为 y? l?j? a?l?t 其中a是金属丝的截面积，

23、一般来说，?和y是t的函数，对j仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由?1降至?2时，其张力的增加为 ?j?ya?t2?t1? 解：由物态方程 f?j,l,t?0 （1） 知偏导数间存在以下关系： ?l?t?j? ?1. （2） ?t?j?j?l?l?t 所以，有 ?j?l?j? ? ?t?l?t?j?l?t a ?l?y （3） l ?ay. 积分得 ?j?ya?t2?t1?.（4） 与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差 ?j?j?l,t2?j?l,t1? 就满足式（4），与经历的过程无关。 1.6一理想弹性线的物态方程为 ?ll2?0 j?bt?2?, ll?0? 5