河南省洛阳市学年高三第二次统一考试理科数学试题含答案解析.docx
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河南省洛阳市学年高三第二次统一考试理科数学试题含答案解析
河南省洛阳市2021-2022学年高三第二次统一考试理科数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数
，则在复平面内z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
（ ）
A．2B．3C．4D．8
4．已知角
的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．等差数列
中，
，前n项和为
，若
，则
（ ）
A．1011B．2022C．
1011D．
2022
6．下列说法中正确的是（ ）
A．命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题
B．命题“
，
”，则“
，
”
C．△ABC中，
是
的充分不必要条件
D．设等比数列
的前n项和为
，则“
”是“
”的充要条件
7．已知曲线
，
，为了得到曲线
，则对曲线
的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移
个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移
个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移
个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移
个单位长度
8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
9．已知函数
的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．“迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为（ ）
A．576B．288C．144D．48
11．设曲线
在
处切线的斜率为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知O为坐标原点，F是双曲线
的左焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且
轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点D，直线BM与y轴交于点E，若
，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
B．2C．
D．
二、填空题
13．已知向量
，
，若
，则实数
___________.
14．已知函数
，则
______．
15．已知三棱锥P—ABC中，
，
，
，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．
16．过抛物线
的焦点F作斜率为
的直线l，交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B处的两条切线交于点M，则
______．
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
（1）求角B；
（2）若
，
，求△ACD面积的最大值．
18．已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且
，
，沿MN将△AMN折起到
的位置，使
．
（1）求证：
平面MBCN；
（2）在线段BC上是否存在点D，使平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
？
若存在，设
，求
的值；若不存在，说明理由．
19．一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：
件）分布在
内，其中
（
，且n为偶数）的销售天数为
；
（
，且n为奇数）的销售天数为
．
（1）求实数a的值；
（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销售量属于
，
，
分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望．
20．已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
时，求证：
．
21．点P与定点
的距离和它到定直线
的距离之比为
．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为
，求
的取值范围．
22．在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
，（
为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．已知函数
，
．
（1）若
，求x的取值范围；
（2）若
的最小值为M，
，求
的最小值．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
分别解出集合
中对应的不等式，然后可得答案.
【详解】
因为
，所以
，
，所以
，
因为
，所以
故选：
A
2．B
【解析】
【分析】
先求出复数z，即可得到答案.
【详解】
.
所以在复平面内z对应的点为（-1，1）在第二象限.
故选：
B
3．C
【解析】
利用椭圆与抛物线的定义,结合抛物线与椭圆有共同的焦点,列出关于
的方程,解方程即可.
【详解】
由题意可知,抛物线
的焦点为
因为椭圆为
所以
所以椭圆的焦点坐标为
所以
解得
.
故选:
C
【点睛】
本题考查椭圆与抛物线的定义及其标准方程;考查综合运用能力和运算求解能力;属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
利用三角函数定义、同角公式、差角的正切公式变形计算即得.
【详解】
由正切函数的定义得
．
故选：
C
5．D
【解析】
【分析】
由已知条件求出公差
，再利用等差数列的求和公式可求得答案
【详解】
设等差数列的公差为
，则
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
，
故选：
D
6．D
【解析】
【分析】
利用逻辑连接词判定选项A错误；利用全称命题的否定判定选项B错误；结合正弦定理、边角关系判定选项C错误；利用等比数列的通项公式判定选项D正确.
【详解】
对于A：
若命题“p且q”为真命题，则p，q都为真命题，
即选项A错误；
对于B：
因为命题“
，
”的否定为：
，
；
即选项B错误；
对于C：
由正弦定理，得
等价于
，
由三角形的边角关系，得
等价于
，
所以在△ABC中，
是
的充要条件，
即选项C错误；
对于D：
设等比数列
的公比为
，
由
得
，即
，
因为
，所以
；
若
，则
，
即
，即
；
即“
”是“
”的充要条件，
即选项D正确.
故选：
D.
7．C
【解析】
【分析】
由三角函数的图象变换对各选项进行检验．
【详解】
A.先把曲线
上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
的图象，再把得到的曲线向右平移
个单位长度得
的图象，A错；
B.先把曲线
上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
的图象，再把得到的曲线向左平移
个单位长度得
的图象，B错；
C.先把曲线
上点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得
的图象，再把得到的曲线向右平移
个单位长度得
的图象，C正确；
D.先把曲线
上点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得
的图象，再把得到的曲线向左平移
个单位长度得
的图象，D错误；
故选：
C．
8．C
【解析】
【分析】
将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB与CD所成角的大小.
【详解】
如图所示：
将多面体放置于正方体中，以点
为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2
则
，
，设异面直线AB与CD所成角为
所以
，故
故选：
C
9．A
【解析】
【分析】
根据函数的图象可得，得到函数
的定义域为
，且函数
为奇函数，结合区间
和
上的取值范围，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据函数
的图象可得，函数的定义域为
，且函数
的图象关于原点对称，即函数
为奇函数，
对于A中，函数
，由
，解得
，
即函数的定义为
，
又由
，所以
为奇函数，
当
时，
，
，所以
，
当
时，
，
，所以
，
此时与图象相符，所以选项A符合题意；
对于B中，当
时，
，
，所以
，与图象不符，所以选项B不符合题意；
对于C中，函数
，令
，解得
，
即函数
的定义域为
，与图象不符，所以选项C不符合题意；
对于D中，函数
，令
，解得
，
即函数
的定义域为
，与图象不符，所以选项C不符合题意；
故选：
A.
10．B
【解析】
【分析】
分成两步，第一步：
为每个项目安排表演队员，第二步：
安排出场顺序，最后相乘即可求出总的方法种数.
【详解】
第一步：
为每个项目安排表演队员：
先安排雪上技巧项目，有
种，再安排其他三个项目，有
种，共有
种；
第二步：
安排出场顺序，有
种，
所以一共有
种.
故选：
B
11．B
【解析】
【分析】
求导
，得到
，利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为
，
所以
，则
，
所以
在
上递减，在
上递增，
又因为
，
，
，
所以
，
故选：
B
12．D
【解析】
【分析】
设
，然后可得直线
、
的方程，然后可得点
的坐标，然后由
可得答案.
【详解】
设
，因为
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
所以
，
因为
，所以
，所以
从而可得
故选：
D
13．0
【解析】
【分析】
由向量的坐标运算法则，两向量垂直即数量积为0，从而求得参数值.
【详解】
由题知，
，
故答案为：
0
14．2
【解析】
【分析】
求导
，再求得
，进而得到
求解.
【详解】
解：
因为
，
所以
，
所以
，
解得
，
所以
，
所以
，
故答案为：
2
15．
【解析】
【分析】
由题意可得当
平面
时，该三棱锥体积最大，此时三棱锥的外接球的球心恰好为
的中点，从而可求出半径，进而可求得外接球的表面积
【详解】
因为
，
，
，
所以
，所以
为直角三角形，
所以
的面积为定值，
所以当
平面
时，该三棱锥体积最大，
取
的中点
，过
作
交
于
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，所以
∥
，
所以
为
的中点，
所以
所以点
为三棱锥外接球的球心，
因为
，所以
，
所以
，即外接球的半径
，
所以外接球的表面积为
，
故答案为：
16．4
【解析】
【分析】
先求出直线
，设
，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A，B处的切线方程，再求出点
的坐标，进而可求出
【详解】
抛物线
的焦点为
，则直线
为
，设
由
，得
，
则
，
由
，得
，则过点
的切线的斜率为
，
所以过点
的切线方程为
，即
，
同理可得过
的切线方程
，
两切线方程联立，得
，得
，
所以
，
所以点
的坐标为
，
所以
故答案为：
4
17．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用两角和的正切公式及诱导公式求出
；
（2）先分析出
，利用余弦定理及三角形的面积公式求出△ABC面积的最大值为
，即可求出△ACD面积的最大值.
（1）
因为
，所以
，
所以
.
因为A，B，C为△ABC的内角，所以
，所以
.
即
.
（2）
因为
，所以
.
要求△ACD面积的最大值，只需△ABC面积最大.
因为
，
，
所以由余弦定理得：
即
由基本不等式可得：
（当且仅当a=c=3时取等号）.
所以
.
所以
，即△ABC面积的最大值为
，
所以△ACD面积的最大值
.
即△ACD面积的最大值为
.
18．
（1）证明见解析
（2）存在，
或
，
【解析】
【分析】
（1）由已知可得
，则得
，再结合
，由线面垂直的判定定理可证得
平面MBCN；
（2）由
（1）可知
两垂直，所以以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，假设存在，先求出平面
的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解判断即可
（1）
证明：
△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且
，
，
所以
，
所以由余弦定理得
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
平面MBCN；
（2）
由
（1）可知
两垂直，所以以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
所以
，
因为
，
，
所以
平面
，
所以
为平面
的一个法向量，
假设线段BC上存在点D，设
，则
，
所以
（
），
所以
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
因为平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
所以
，
化简得
，
，解得
或
，
所以在线段BC上是存在点D，使平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，
此时
或
，
19．
（1）
；
（2）分布列见解析，
.
【解析】
【分析】
（1）依次求出
、
、
、
、
对应的销售天数，然后利用它们之和为30可求出答案；
（2）首先求出抽取的8天中销售量分别属于
、
、
对应的天数，然后可得
的取值为1，2，3，求出对应的概率，然后可得答案.
（1）
因为每天的销售量x（单位：
件）分布在
内，
其中
（
，且n为偶数）的销售天数为
；
（
，且n为奇数）的销售天数为
．
所以当
时的销售天数为
，
当
时的销售天数为
，
当
时的销售天数为
，
当
时的销售天数为
，
当
时的销售天数为
，
所以
解得
（2）
因为
，
所以当
时的销售天数为
，当
时的销售天数为
，当
时的销售天数为
，
若在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，
则这8天中有2天的销售量属于
，有3天的销售量属于
，有3天的销售量属于
，
所以
的取值为1，2，3，
所以随机变量X的分布列为：
1
2
3
20．
（1）当
时，
在
上为单调递增；当
时，
在
上为单调递减，在
上为单调递增.
（2）证明见见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过对
分类讨论，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明
成立，构造函数令
，通过二次求导求出函数的最小值即可得证.
（1）
由已知条件得函数
的定义域为
，
，
因为
①当
时，
在
上恒成立，
故
在
上为单调递增.
②当
时，当
时，
，当
时，
故
在
上为单调递减，在
上为单调递增；
综上所述：
当
时，
在
上为单调递增
当
时，
在
上为单调递减，在
上为单调递增
（2）
当
时，
要证原式成立，需证
成立，
即需证
成立，
令
，则
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
，
，由零点存在性定理可知，存在
使
，
则在
上
，在
上
，
即在
上
，在
上
，
则
在
上单调递减，在
单调递增，在
处取得最小值，
由
可得
，即
，
两边同取对数
，即
，
的最小值为
，
即
成立，
故当
时，
成立.
【点睛】
关键点睛：
本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数证明不等式.解答本题的关键是构造函数
，分析其单调性，得出其最小值，从而得出函数在在
处取得最小值，而
满足
，两边同取对数得
，从而得出最小值为0，从而得证.属于难题.
21．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）设
，点P到定直线
的距离为d.利用直接法求轨迹方程；
（2）设
.先求出斜率不存在时，
；当斜率不存在时，可设
.由O到l的距离为
，求得
，用“设而不求法”表示出弦长，利用二次函数求最值.
（1）
设
，点P到定直线
的距离为d.
由题意可得：
，即
，整理化简得：
.
即点P的轨迹方程为
.
（2）
设
.
当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为
，由对称性不妨设直线l：
.
所以
满足
，
解得：
，所以
.
当直线l的斜率存在时，可设
.
因为原点O到l的距离为
，所以
，即
.
则
满足
，
消去y可得：
.
所以
.
所以
因为
，所以
恒成立，所以
.
所以
令
则
，则
综上所述：
的取值范围为
.
【点睛】
（1）待定系数法、定义法、直接法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求法”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
22．
（1）C的普通方程为
，l的直角坐标方程为
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）由
可得
，
，然后可得C的普通方程，根据
可得l的直角坐标方程；
（2）设C上的点为
，然后结合点到直线的距离公式和三角函数的知识可得答案.
（1）
由
可得
所以
，
因为
，所以
，化简得
即C的普通方程为
，
由
可得
，
所以l的直角坐标方程为
，
（2）
设C上的点为
，
其到l的的距离为
其中
所以当
时，C上的点到l距离最小，最小值为
.
23．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意知
，代入即可求出答案；
（2）先求出
的最小值，则
，再由基本不等式即可求出答案.
（1）
由题意，
知
，
或
，x的取值范围为：
.
（2）
，
的最小值为M，所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
所以
的最小值为
.
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