遗传算法与优化问题.docx
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遗传算法与优化问题
遗传算法与优化问题
一、问题背景与实验目的
遗传算法（GeneticAlgorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975年首先提出的．遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位．
本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论，然后用其解决几个简单的函数最值问题，使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算．
1．遗传算法的基本原理
遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程．它把问题的参数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体．这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代．后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程．群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解．值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）．
（1）遗传算法中的生物遗传学概念
由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念．
首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系．这些概念如下：
序号
遗传学概念
遗传算法概念
数学概念
1
个体
要处理的基本对象、结构
也就是可行解
2
群体
个体的集合
被选定的一组可行解
3
染色体
个体的表现形式
可行解的编码
4
基因
染色体中的元素
编码中的元素
5
基因位
某一基因在染色体中的位置
元素在编码中的位置
6
适应值
个体对于环境的适应程度，或在环境压力下的生存能力
可行解所对应的适应函数值
7
种群
被选定的一组染色体或个体
根据入选概率定出的一组可行解
8
选择
从群体中选择优胜的个体，淘汰劣质个体的操作
保留或复制适应值大的可行解，去掉小的可行解
9
交叉
一组染色体上对应基因段的交换
根据交叉原则产生的一组新解
10
交叉概率
染色体对应基因段交换的概率（可能性大小）
闭区间[0,1]上的一个值，一般为0.65~0.90
11
变异
染色体水平上基因变化
编码的某些元素被改变
12
变异概率
染色体上基因变化的概率（可能性大小）
开区间（0,1）内的一个值,一般为0.001~0.01
13
进化、
适者生存
个体进行优胜劣汰的进化，一代又一代地优化
目标函数取到最大值，最优的可行解
（2）遗传算法的步骤
遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，主要有三个基本操作（或称为算子）：
选择（Selection）、交叉（Crossover）、变异（Mutation）．
遗传算法基本步骤主要是：
先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解．然后，把这些假设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群．经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解．
下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：
第一步：
选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间；
第二步：
定义适应函数，便于计算适应值；
第三步：
确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；
第四步：
随机产生初始化群体；
第五步：
计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；
第六步：
按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；
第七步：
判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．
图1一个遗传算法的具体步骤
遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．
2．遗传算法的实际应用
例1：
设
，求
．
注：
这是一个非常简单的二次函数求极值的问题，相信大家都会做．在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题．
在此将细化地给出遗传算法的整个过程．
（1）编码和产生初始群体
首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把
到2这个区间内的数用计算机语言表示出来．
编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：
完备性：
问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA编码空间中的点（染色体位串）的表现型；
健全性：
GA编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解；
非冗余性：
染色体和潜在解必须一一对应．
这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精度到六位小数，由于区间长度为
，则必须将闭区间
分为
等分．因为
所以编码的二进制串至少需要22位．
将一个二进制串（b21b20b19…b1b0）转化为区间
内对应的实数值很简单，只需采取以下两步（Matlab程序参见附录4）：
1）将一个二进制串（b21b20b19…b1b0）代表的二进制数化为10进制数：
2）
对应的区间
内的实数：
例如，一个二进制串a=<1000101110110101000111>表示实数0.637197．
=（1000101110110101000111）2=2288967
二进制串<0000000000000000000000>，<1111111111111111111111>，则分别表示区间的两个端点值-1和2．
利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码，这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则．
首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下：
pop
（1）={
<1101011101001100011110>，%%a1
<1000011001010001000010>，%%a2
<0001100111010110000000>，%%a3
<0110101001101110010101>}%%a4（Matlab程序参见附录2）
化成十进制的数分别为：
pop
（1）={1.523032，0.574022，-0.697235，0.247238}
接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．
（2）定义适应函数和适应值
由于给定的目标函数
在
内的值有正有负，所以必须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向，也为以后计算各个体的入选概率打下基础．
对于本题中的最大化问题，定义适应函数
，采用下述方法：
式中
既可以是特定的输入值，也可以是当前所有代或最近K代中
的最小值，这里为了便于计算，将采用了一个特定的输入值．
若取
，则当
时适应函数
；当
时适应函数
．
由上述所随机产生的初始群体，我们可以先计算出目标函数值分别如下（Matlab程序参见附录3）：
f[pop
（1）]={1.226437,1.318543,-1.380607,0.933350}
然后通过适应函数计算出适应值分别如下（Matlab程序参见附录5、附录6）：
取
，
g[pop
（1）]={2.226437,2.318543,0,1.933350}
（3）确定选择标准
这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准，得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率．其计算公式如下：
对于给定的规模为n的群体pop={
}，个体
的适应值为
，则其入选概率为
由上述给出的群体，我们可以计算出各个个体的入选概率．
首先可得
，
然后分别用四个个体的适应值去除以
，得：
P（a1）=2.226437/6.478330=0.343675%%a1
P（a2）=2.318543/6.478330=0.357892%%a2
P（a3）=0/6.478330=0%%a3
P（a4）=1.933350/6.478330=0.298433%%a4（Matlab程序参见附录7）
（4）产生种群
计算完了入选概率后，就将入选概率大的个体选入种群，淘汰概率小的个体，并用入选概率最大的个体补入种群，得到与原群体大小同样的种群（Matlab程序参见附录8、附录11）．
要说明的是：
附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitistmodel），具体内容将在后面给出介绍．
由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3，再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop
（1）如下：
newpop
（1）={
<1101011101001100011110>，%%a1
<1000011001010001000010>，%%a2
<1000011001010001000010>，%%a2
<0110101001101110010101>}%%a4
（5）交叉
交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．
我们把之前得到的newpop
（1）的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）
<1101011101001100011110>，<1101011101010001000010>
交叉得：
<1000011001010001000010>，<1000011001001100011110>
<1000011001010001000010>，<1000011001010010010101>
交叉得：
<0110101001101110010101>，<0110101001101101000010>
通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体jchpop
（1）如下：
jchpop
（1）={
<1101011101010001000010>，
<1000011001001100011110>，
<1000011001010010010101>，
<0110101001101101000010>}
这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，这里就不着重介绍了．
（6）变异
变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．
现把刚得到的jchpop
（1）中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop
（2）如下：
pop
（2）={
<1101011101010001000010>，
<1000011001001100011110>，
<1000011011010010010101>，
<0110101001101101000010>}
然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止．
（7）终止条件
遗传算法的终止条件有两类常见条件：
（1）采用设定最大（遗传）代数的方法，一般可设定为50代，此时就可能得出最优解．此种方法简单易
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