数学复习课分析讲评方法探究.docx
《数学复习课分析讲评方法探究.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学复习课分析讲评方法探究.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![数学复习课分析讲评方法探究.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-7/23/b905f64e-b52e-4769-9f21-0f273f8a6fc8/b905f64e-b52e-4769-9f21-0f273f8a6fc81.gif)
数学复习课分析讲评方法探究
数学复习课分析讲评方法探究
数学复习课的分析讲评是教师的常规工作,成效如何,却不一定被认为是常规的思考了,为了改进复习课的成效,探究尽量切合学生需求和特征的分析讲评方法,就数学问题分析的复习讲评提出九种分析方法。
分析讲评的方法可以因人(老师、学生)而异,举例说明。
1寻求突破口分析法
一个问题的解决,有的时候取决于问题中隐含的一些关键信息的启发,合理运用好这些关键信息,深入发现问题的核心,往往就是找到了解决问题的突破口,问题会随之迎刃而解。
而寻找突破口的困难在于对问题的表面信息不断深入探微,与数学定理、公式等重要规律产生直接的联系,直到发现解决问题的通道,其中直接的联系往往就是突破口。
例1
分析
AC=4是已知的,CE是所求的对象,所以关注AE的位置和大小是很重要的。
判断AE⊥AB'出后,所谓关注E的位置,由于E、B'的位置是关联的,故需要转去关注的B'的位置。
观察发现DA=DB=DB',产生直角三角形斜边上中线性质的逆命题的联想,联结BB'后可以证明BB'⊥AE,这是思维的突破口。
为了搞清楚点E的位置,光有BB'∥AE还不够,还要关注AE与CD的位置关系,其实就成了BB'和CD的位置关系,所以要进一步关注点B'的位置,实际上点B、B'关于直线CD对称,最后发现CD⊥AE。
分析到这里,突然发现,E的位置与所有辅助线都没关系了,只是△ABC中过A作中线CD的垂线即可。
进一步收缩思维,就是求Rt△ADC斜边上的高AE而已。
2
标注信息分析法
有些问题数据比较多、条件比较多,信息之间关联的逻辑性并不一目了然,因此在分析求解过程中发现,已知信息之间的条理关系不是很明示的,相互的关联不清晰,不易产生有条理的求解思路,很多信息写在一起,要求做出合理的“处理”,需要很强的联想能力,这时可以采用标注信息分析法,将所有已知信息、可知信息、欲知信息都在图上直观标注。
事实上,解决问题的思路不完全是主动可控的,有的时候需要灵感帮助,因此信息标注可以将信息直观化,其实是将信息连贯起来了,丰富的信息直观表示,成了图形的一部分,触发思路和灵感的可能性也会大大提高,对抽象思维的要求大大降低。
例2
分析
先把所有条件都标注在图上,在标注过程中,还要随时标上能够自然求得出的量。
(1)要求反比例函数解析式,实际上只要已知双曲线上一个点即可。
当求出AC=√5,可以有好几种方法求A的坐标,选择几何方法可能最简单,得到A(1,6)。
(2)构造直角三角形来求三角比是直接的想法,最好看的图形可能是过O作DC的垂线。
(3)要有想象力,这样的平行四边形有几种情况。
还要有条理性思维,AB是一条边的情况,MN也是平行四边形的一条边,只要将AB平移即可;AB是对角线的情况,AB的中点就是平行四边形的中心,M、N都在直线x=–1上。
借助图形直观,先画出可能的草图,再计算,图可以标得很清楚。
3
围绕核心分析法
虽然问题的已知条件都可以被运用,但有的条件有时特别重要,而且这一条件还包含着不同的变化,包含着几方面的信息要素,所以在解决问题的过程中需要被反复运用。
实际上,我们可以围绕一条信息,虽究其本质是统一的,但是可以从不同的角度去认识或运用,就能够得到多种不一样的理解和解释,得出更深入的结论。
例3
分析
这是一种图形生成法的命题方式,因此要伴随试题阅读,逐步画出图形,比在现成图形上标注信息要更加有助于题意的理解。
(1)对于条件OA^2=OP×OD,观察式中三条线段,所以可以求出OP=1/(a-1)=1。
这时其实发现OE=2,然后求BE时与圆弧没有关系了,“等效替代”的方法简化了图形。
这时发现图中都是直角三角形和等腰三角形,启发我们的辅助线方法,比如过O作BE的垂线即可。
(2)两圆位置关系的图形不太好画,实际上,要研究两圆的相切关系,可以用数量来表示,不画图也没有什么影响,关键是找到两个半径以及圆心距即可,两个半径为PC和CD,圆心距是PC,因为相切,所以PC=PC+CD(不可能),PC=PC–CD(不可能),PC=CD–PC,所以CD=2PC。
接下来的思考进入一个思维瓶颈。
一方面不清楚所得结论CD=2PC对求a有什么作用,另一方面求a的下一步思路也不清晰,主要有一段探索思考:
注意到OA^2=OP×OD,这是一个很强的条件。
实际上OA是圆弧的半径,那么同样的半径OB、OC都是。
所以得到△OPC与△OCD相似,而且相似比为2。
这里有了突破,问题得到解决。
而遭遇这个思维瓶颈的根本在于,以为条件OA^2=OP×OD在前面已经被运用过了,就从别处寻找解题思路,而忽略了将同一条件再做进一步深入分析的挖掘思考。
(3)其实这时的图形又回到了特殊情况,B、C、D在同一条直线上,重新画个图,标上跟a有关的线段。
最困难的时刻就是这两个式子:
OA^2=OP×OD,PC×OA=BC×OP
一直干扰着我们的思维,怎么用好它们成了关键点。
好在有了第
(2)题的经验,OA^2=OP×OD可以把OA换做OB、OC,发现两组相似三角形。
然后需要我们追根究底挖掘相似三角形的性质,找到PC与BC垂直,进一步发现△BOP与△BCP全等,再追下去,△BOC是等边三角形,最后得到△OBD是含30°内角的直角三角形,终于求出a。
4
尝试求解分析法
命题者给出的问题信息有自己的意图和解决问题的方法,解题者不一定会了解这些意图和方法,一方面命题者不一定有能力传递这些意图和方法的信息,另一方面也不一定愿意传递这些信息,希望考验解题者的理解和分析能力。
可是解题者往往又很希望通过分析得到这些信息,所以经常可以通过多次尝试的方法去发现这些信息。
事实上,在尝试的过程中可能会发现命题者的意图和方法,也有可能尝试过程中找到了自己的解决问题的方法,这都是尝试带来的好处。
例4
分析
自定义的方法命题,先把题目中确定不变的图形条件记录下来,再对变化运动的点和线段的关系加以尝试思考。
三角形的高总是2不变,所以只要想办法使得点F要离开B尽量远。
尝试从几何画板动画可以看出,B经折叠与D重合时BF最大,就可求出此时AE=1.5。
但是学生不会去用几何画板解题的,何况几何画板的直观也不能成为理由,所以要动脑筋求出什么时候BF最大。
可以尝试猜想,对于B’折叠在AD上不同的位置,画出相应的点F的位置,观察发现B’逐步向右移动,点F也逐步向右移动,得到猜想,点B'在点D位置时,BF最大。
直观不能为据,几何方法又觉得说不清楚,考虑用代数方法计算BF的长,设B’(x,2),过E作EH垂直于BC,则可求出BF=(x/2)-(4/x),可以看出,x越大,则BF越大,所以B’与D重合时BF最大。
5
批注解读分析法
数学问题的文字经常是很严谨、很概括,所以在简练的文字中包含着丰富的内涵,还会包含着可引申的、可拓展的、可解释的、可启发的等等很多意义,这些意义不是我们可以通过问题加以概略后整体理解的,而需要我们逐字逐句分析得到,所以,耐心、深入对于问题进行解读分析,一一给予耐心认真的批注,往往会起到事半功倍的成效,因为解读批注的过程,既有理解题意的分析,又有解决方法思路的分析,其实是具有思维的整体性特征的。
例5
分析
问题中的大多数文字都有更多的内涵,需要逐句分析解读,在解读的同时加以批注,批注的过程就有解释和理解的成分,然后可能也会有解决问题的思路从中产生
6
数形结合分析法
运用数形结合的方法需要学生有两方面的能力,一是能以代数计算或论证的方法解决问题,或者能以几何直观描述计算论证的方法解决问题,二是能够在代数方法和几何方法中合理选择合适的方法解决问题,有的时候还要考验对于几何图形的代数刻画,或者对于代数表达的几何解释。
运用数形结合方法的困难,主要表现在经常需要克服自己的思维习惯,在代数方法和几何方法中作出判断,选出更合适的方法。
例6
分析
(1)EA=ED,所以可以确定E的位置。
(2)一开始画不出F的位置,只好等一等,看了
(2)以后,才画出F、G的草图。
注意到,解析式是有相似三角形的基本模型的,所以辅助线不难,但是定义域有点难,而且定义域与辅助线(过E作AC垂线)直接关联,希望受到启发。
(3)这时很容易上当,就在
(2)的基础上解(3),却遗漏了G在BC延长线上的情况。
所以要讨论,而且每种情况下还要讨论。
相似和两圆关系结合问题,重点是相似,至于两圆关系,实际是数量关系,无需画图,排除复杂图形的干扰。
7
引申研究分析法
有些数学问题本身并没有太大困难,但是所研究的主题具有丰富性、可延展性,而且很有意义,那么解决这个问题之后,学习和研究并没有结束,值得我们深入研究,甚至成为一个主题研究,这种生成性的研究符合学习中自然联想的规律,指导鼓励学生的学习能力,比如追根究底的能力,归纳能力和发现规律的能力。
例7
分析
图形的生成和运动相结合。
慢慢画出图形,将运动的性质转化为画图的步骤。
比较会想到的方法是直接在△AEG中考虑。
过G作AE垂线,画出直角三角形,求出三角比。
实际上图中还有角与∠AEG是相等的,比如∠ABG,∠BFC,所以可以转换去求等角的正切,不过方法差不多。
题目做完后再看看这张图,发现,其实是一个光线反射图形,所以存在好几对等角,还有好几个相似三角形,所以这道题还可引申去要求证明一些比例线段。
8
寻求自然思维分析法
学生解决问题的方法和思路,不一定是刻意得到的,绝大多数情况下,其思维过程中是带有一定的或然性的,所以绝不合适要求学生按照既定的套路或模式去思考分析,如果能够尽量根据自己的理解去分析领会,产生思路的机会将会更多,这种顺应学生自身的特点去逐字逐句分析,油然产生思路的指导方法,称为自然思维分析法。
例8
分析
(1)由点A坐标可以求出b;然后求D坐标来求出∠DAB。
能否顺利自然求解第
(1)题,就看学生是不是两个能力过关,一是由二次函数解析式的形式(参数个数)作出需要几个条件才能求出解析式的判断,二是草图画得是不是合理,是不是标注足够多的信息量。
(2)画图时发现E只能在线段AD的上方的抛物线上,所以m的范围已经确定了,实际上,确定m的范围不难,难的是想到要确定m的范围。
数与形的结合是很紧密的。
如果真的去求△EFG的周长,那就要分别求三条边长后相加,但是有了第
(1)小题,发现△EFG的特殊形状,计算就简化了。
所以第
(1)小题是有暗示作用的,把暗示改为明示才有效果。
(3)学生已经学会了这类问题的讨论方法。
现在主要研究在讨论的每一种情况下的计算,到底用对边相等,还是邻边垂直,还是对角线相等,等等。
确定尽量简便的计算是我们思维的良好表现,比如,两条对角线的中点重合,按照这样的想法,就使得步骤明显简捷。
9
提取要点分析法
课程标准对于数学学习的知识点有明确的分布,学习的基本要求就是知识点的学习能够把握,而在把握知识点的过程中伴随着学习思维、能力、方法等的学习。
所以对于每一个问题,能够清晰提取出所有的知识点、主要方法等要点,有助于把握这些要点的实质以及把握问题的知识结构,会得到分析解决问题的思路。
例7
分析
(1)复杂图形的读图能力要求很高,能够联结PA后构造含半径的直角三角形。
考查了垂径定理、三角比概念、勾股定理。
(2)△AOC为直角三角形时,能判断只有一种情况,要紧的事情是知道要说明只能点O是直角顶点。
然后就是反复运用垂径定理、勾股定理,中间还要夹杂三角比或者相似法。
这一题的重要阅卷特征就是检测边说理由边做计算,这叫做有条理的计算,否则即使计算正确,求解的过程也是不严谨的。
(3)因为图中直角三角形比较多,之前已经求出了不少线段的表示,所以,这里主要是考查相似三角形方法。
定义域没有能力要求。