数学复习课分析讲评方法探究.docx
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数学复习课分析讲评方法探究
数学复习课分析讲评方法探究
数学复习课的分析讲评是教师的常规工作，成效如何，却不一定被认为是常规的思考了，为了改进复习课的成效，探究尽量切合学生需求和特征的分析讲评方法，就数学问题分析的复习讲评提出九种分析方法。
分析讲评的方法可以因人（老师、学生）而异，举例说明。
1寻求突破口分析法
一个问题的解决，有的时候取决于问题中隐含的一些关键信息的启发，合理运用好这些关键信息，深入发现问题的核心，往往就是找到了解决问题的突破口，问题会随之迎刃而解。
而寻找突破口的困难在于对问题的表面信息不断深入探微，与数学定理、公式等重要规律产生直接的联系，直到发现解决问题的通道，其中直接的联系往往就是突破口。
例1
分析
AC=4是已知的，CE是所求的对象，所以关注AE的位置和大小是很重要的。
判断AE⊥AB'出后，所谓关注E的位置，由于E、B'的位置是关联的，故需要转去关注的B'的位置。
观察发现DA=DB=DB'，产生直角三角形斜边上中线性质的逆命题的联想，联结BB'后可以证明BB'⊥AE，这是思维的突破口。
为了搞清楚点E的位置，光有BB'∥AE还不够，还要关注AE与CD的位置关系，其实就成了BB'和CD的位置关系，所以要进一步关注点B'的位置，实际上点B、B'关于直线CD对称，最后发现CD⊥AE。
分析到这里，突然发现，E的位置与所有辅助线都没关系了，只是△ABC中过A作中线CD的垂线即可。
进一步收缩思维，就是求Rt△ADC斜边上的高AE而已。
2
标注信息分析法
有些问题数据比较多、条件比较多，信息之间关联的逻辑性并不一目了然，因此在分析求解过程中发现，已知信息之间的条理关系不是很明示的，相互的关联不清晰，不易产生有条理的求解思路，很多信息写在一起，要求做出合理的“处理”，需要很强的联想能力，这时可以采用标注信息分析法，将所有已知信息、可知信息、欲知信息都在图上直观标注。
事实上，解决问题的思路不完全是主动可控的，有的时候需要灵感帮助，因此信息标注可以将信息直观化，其实是将信息连贯起来了，丰富的信息直观表示，成了图形的一部分，触发思路和灵感的可能性也会大大提高，对抽象思维的要求大大降低。
例2
分析
先把所有条件都标注在图上，在标注过程中，还要随时标上能够自然求得出的量。
（1）要求反比例函数解析式，实际上只要已知双曲线上一个点即可。
当求出AC=√5，可以有好几种方法求A的坐标，选择几何方法可能最简单，得到A（1，6）。
（2）构造直角三角形来求三角比是直接的想法，最好看的图形可能是过O作DC的垂线。
（3）要有想象力，这样的平行四边形有几种情况。
还要有条理性思维，AB是一条边的情况，MN也是平行四边形的一条边，只要将AB平移即可；AB是对角线的情况，AB的中点就是平行四边形的中心，M、N都在直线x=–1上。
借助图形直观，先画出可能的草图，再计算，图可以标得很清楚。
3
围绕核心分析法
虽然问题的已知条件都可以被运用，但有的条件有时特别重要，而且这一条件还包含着不同的变化，包含着几方面的信息要素，所以在解决问题的过程中需要被反复运用。
实际上，我们可以围绕一条信息，虽究其本质是统一的，但是可以从不同的角度去认识或运用，就能够得到多种不一样的理解和解释，得出更深入的结论。
例3
分析
这是一种图形生成法的命题方式，因此要伴随试题阅读，逐步画出图形，比在现成图形上标注信息要更加有助于题意的理解。
（1）对于条件OA^2=OP×OD，观察式中三条线段，所以可以求出OP=1/（a-1）=1。
这时其实发现OE=2，然后求BE时与圆弧没有关系了，“等效替代”的方法简化了图形。
这时发现图中都是直角三角形和等腰三角形，启发我们的辅助线方法，比如过O作BE的垂线即可。
（2）两圆位置关系的图形不太好画，实际上，要研究两圆的相切关系，可以用数量来表示，不画图也没有什么影响，关键是找到两个半径以及圆心距即可，两个半径为PC和CD，圆心距是PC，因为相切，所以PC=PC+CD（不可能），PC=PC–CD（不可能），PC=CD–PC，所以CD=2PC。
接下来的思考进入一个思维瓶颈。
一方面不清楚所得结论CD=2PC对求a有什么作用，另一方面求a的下一步思路也不清晰，主要有一段探索思考：
注意到OA^2=OP×OD，这是一个很强的条件。
实际上OA是圆弧的半径，那么同样的半径OB、OC都是。
所以得到△OPC与△OCD相似，而且相似比为2。
这里有了突破，问题得到解决。
而遭遇这个思维瓶颈的根本在于，以为条件OA^2=OP×OD在前面已经被运用过了，就从别处寻找解题思路，而忽略了将同一条件再做进一步深入分析的挖掘思考。
（3）其实这时的图形又回到了特殊情况，B、C、D在同一条直线上，重新画个图，标上跟a有关的线段。
最困难的时刻就是这两个式子：
OA^2=OP×OD，PC×OA=BC×OP
一直干扰着我们的思维，怎么用好它们成了关键点。
好在有了第
（2）题的经验，OA^2=OP×OD可以把OA换做OB、OC，发现两组相似三角形。
然后需要我们追根究底挖掘相似三角形的性质，找到PC与BC垂直，进一步发现△BOP与△BCP全等，再追下去，△BOC是等边三角形，最后得到△OBD是含30°内角的直角三角形，终于求出a。
4
尝试求解分析法
命题者给出的问题信息有自己的意图和解决问题的方法，解题者不一定会了解这些意图和方法，一方面命题者不一定有能力传递这些意图和方法的信息，另一方面也不一定愿意传递这些信息，希望考验解题者的理解和分析能力。
可是解题者往往又很希望通过分析得到这些信息，所以经常可以通过多次尝试的方法去发现这些信息。
事实上，在尝试的过程中可能会发现命题者的意图和方法，也有可能尝试过程中找到了自己的解决问题的方法，这都是尝试带来的好处。
例4
分析
自定义的方法命题，先把题目中确定不变的图形条件记录下来，再对变化运动的点和线段的关系加以尝试思考。
三角形的高总是2不变，所以只要想办法使得点F要离开B尽量远。
尝试从几何画板动画可以看出，B经折叠与D重合时BF最大，就可求出此时AE=1.5。
但是学生不会去用几何画板解题的，何况几何画板的直观也不能成为理由，所以要动脑筋求出什么时候BF最大。
可以尝试猜想，对于B’折叠在AD上不同的位置，画出相应的点F的位置，观察发现B’逐步向右移动，点F也逐步向右移动，得到猜想，点B'在点D位置时，BF最大。
直观不能为据，几何方法又觉得说不清楚，考虑用代数方法计算BF的长，设B’（x，2），过E作EH垂直于BC，则可求出BF=（x/2）-（4/x），可以看出，x越大，则BF越大，所以B’与D重合时BF最大。
5
批注解读分析法
数学问题的文字经常是很严谨、很概括，所以在简练的文字中包含着丰富的内涵，还会包含着可引申的、可拓展的、可解释的、可启发的等等很多意义，这些意义不是我们可以通过问题加以概略后整体理解的，而需要我们逐字逐句分析得到，所以，耐心、深入对于问题进行解读分析，一一给予耐心认真的批注，往往会起到事半功倍的成效，因为解读批注的过程，既有理解题意的分析，又有解决方法思路的分析，其实是具有思维的整体性特征的。
例5
分析
问题中的大多数文字都有更多的内涵，需要逐句分析解读，在解读的同时加以批注，批注的过程就有解释和理解的成分，然后可能也会有解决问题的思路从中产生
6
数形结合分析法
运用数形结合的方法需要学生有两方面的能力，一是能以代数计算或论证的方法解决问题，或者能以几何直观描述计算论证的方法解决问题，二是能够在代数方法和几何方法中合理选择合适的方法解决问题，有的时候还要考验对于几何图形的代数刻画，或者对于代数表达的几何解释。
运用数形结合方法的困难，主要表现在经常需要克服自己的思维习惯，在代数方法和几何方法中作出判断，选出更合适的方法。
例6
分析
（1）EA=ED，所以可以确定E的位置。
（2）一开始画不出F的位置，只好等一等，看了
（2）以后，才画出F、G的草图。
注意到，解析式是有相似三角形的基本模型的，所以辅助线不难，但是定义域有点难，而且定义域与辅助线（过E作AC垂线）直接关联，希望受到启发。
（3）这时很容易上当，就在
（2）的基础上解（3），却遗漏了G在BC延长线上的情况。
所以要讨论，而且每种情况下还要讨论。
相似和两圆关系结合问题，重点是相似，至于两圆关系，实际是数量关系，无需画图，排除复杂图形的干扰。
7
引申研究分析法
有些数学问题本身并没有太大困难，但是所研究的主题具有丰富性、可延展性，而且很有意义，那么解决这个问题之后，学习和研究并没有结束，值得我们深入研究，甚至成为一个主题研究，这种生成性的研究符合学习中自然联想的规律，指导鼓励学生的学习能力，比如追根究底的能力，归纳能力和发现规律的能力。
例7
分析
图形的生成和运动相结合。
慢慢画出图形，将运动的性质转化为画图的步骤。
比较会想到的方法是直接在△AEG中考虑。
过G作AE垂线，画出直角三角形，求出三角比。
实际上图中还有角与∠AEG是相等的，比如∠ABG，∠BFC，所以可以转换去求等角的正切，不过方法差不多。
题目做完后再看看这张图，发现，其实是一个光线反射图形，所以存在好几对等角，还有好几个相似三角形，所以这道题还可引申去要求证明一些比例线段。
8
寻求自然思维分析法
学生解决问题的方法和思路，不一定是刻意得到的，绝大多数情况下，其思维过程中是带有一定的或然性的，所以绝不合适要求学生按照既定的套路或模式去思考分析，如果能够尽量根据自己的理解去分析领会，产生思路的机会将会更多，这种顺应学生自身的特点去逐字逐句分析，油然产生思路的指导方法，称为自然思维分析法。
例8
分析
（1）由点A坐标可以求出b；然后求D坐标来求出∠DAB。
能否顺利自然求解第
（1）题，就看学生是不是两个能力过关，一是由二次函数解析式的形式（参数个数）作出需要几个条件才能求出解析式的判断，二是草图画得是不是合理，是不是标注足够多的信息量。
（2）画图时发现E只能在线段AD的上方的抛物线上，所以m的范围已经确定了，实际上，确定m的范围不难，难的是想到要确定m的范围。
数与形的结合是很紧密的。
如果真的去求△EFG的周长，那就要分别求三条边长后相加，但是有了第
（1）小题，发现△EFG的特殊形状，计算就简化了。
所以第
（1）小题是有暗示作用的，把暗示改为明示才有效果。
（3）学生已经学会了这类问题的讨论方法。
现在主要研究在讨论的每一种情况下的计算，到底用对边相等，还是邻边垂直，还是对角线相等，等等。
确定尽量简便的计算是我们思维的良好表现，比如，两条对角线的中点重合，按照这样的想法，就使得步骤明显简捷。
9
提取要点分析法
课程标准对于数学学习的知识点有明确的分布，学习的基本要求就是知识点的学习能够把握，而在把握知识点的过程中伴随着学习思维、能力、方法等的学习。
所以对于每一个问题，能够清晰提取出所有的知识点、主要方法等要点，有助于把握这些要点的实质以及把握问题的知识结构，会得到分析解决问题的思路。
例7
分析
（1）复杂图形的读图能力要求很高，能够联结PA后构造含半径的直角三角形。
考查了垂径定理、三角比概念、勾股定理。
（2）△AOC为直角三角形时，能判断只有一种情况，要紧的事情是知道要说明只能点O是直角顶点。
然后就是反复运用垂径定理、勾股定理，中间还要夹杂三角比或者相似法。
这一题的重要阅卷特征就是检测边说理由边做计算，这叫做有条理的计算，否则即使计算正确，求解的过程也是不严谨的。
（3）因为图中直角三角形比较多，之前已经求出了不少线段的表示，所以，这里主要是考查相似三角形方法。
定义域没有能力要求。
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