浙教七上第二章《有理数的加减》word案.docx
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浙教七上第二章《有理数的加减》word案
数学：
第二章《有理数的加减》学案（浙教版七年级上）
本章的重点难点内容总结如下：
一、重点：
有理数的加法法则，利用有理数加法的运算律简化运算。
难点：
正确掌握有理数的加法运算法则，特别注意异号两数相加时的方法。
知识梳理
1、有理数的加法运算法则：
先确定类型，再确定符号，最后确定绝对值。
（1）同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
若a＞0且b＞0，则a＋b＝＋（︱a︱＋︱b︱）；
若a＜0且b＜0，则a＋b＝－（︱a︱＋︱b︱）。
（2）异号的两数相加
①若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
若a＞0、b＜0且︱a︱＞︱b︱，则a＋b＝＋（︱a︱－︱b︱）；
若a＞0、b＜0且︱a︱＜︱b︱，则a＋b＝－（︱b︱－︱a︱）。
②若绝对值相等，则和为0，也就是互为相反数的两个数的和为0
若a＞0、b＜0，且︱a︱＝︱b︱，则a＋b＝0。
（反过来，若a＋b＝0，说明a与b互为相反数。
）
（3）一个数与0的和仍得这个数，即a＋0＝a。
2、运用运算律对有理数的加法进行简便运算
（1）加法交换律：
a＋b＝b＋a；
（2）加法结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
典型例题
知识点一：
有理数的加法
例1：
计算：
（1）（＋3）＋（＋6）；
（2）（－4）＋（－9）；（3）（－4）＋（＋6）；
（4）
思路分析：
1）题意分析：
本题考查有理数的加法法则。
2）解题思路：
按照法则先分清类型，再确定和的符号和绝对值。
解答过程：
（1）（＋3）＋（＋6）＝＋（3＋6）＝＋9＝9；
（2）（－4）＋（－9）＝－（4＋9）＝－13；
（3）（－4）＋（＋6）＝＋（6－4）＝＋2＝2；
解题后的思考：
运用有理数的加法法则，进行有理数加法运算要遵循的一般步骤为“一观察，二确定，三求和”，即第一步先观察两个加数的符号是同号还是异号，有没有零；第二步确定用哪条法则进行运算；第三步求出结果。
例2：
填空题：
（1）若a＜0，b＜0，则a＋b_____0；
（2）若a＞0，b＞0，则a＋b_____0；
（3）若a＞0，b＜0，且︱a︱＜︱b︱，则a＋b_____0；
（4）若a＞0，b＜0，且︱a︱＞︱b︱，则a＋b_____0；
（5）若a＞0，b＜0，且︱a︱＝︱b︱，则a＋b_____0。
思路分析：
1）题意分析：
根据有理数加法法则填空。
2）解题思路：
先根据两个加数的符号确定和的符号，再判断和是大于0还是小于0。
解答过程：
（1）因为a＜0，b＜0，则和的符号不变，所以a＋b＜0；
（2）因为a＞0，b＞0，则和的符号不变，所以a＋b＞0；
（3）因为a＞0，b＜0，且︱a︱＜︱b︱，所以取b的符号，所以a＋b＜0；
（4）因为a＞0，b＜0，且︱a︱＞︱b︱，所以取a的符号，所以a＋b＞0；
（5）因为a＞0，b＜0且︱a︱＝︱b︱，所以a、b互为相反数，所以a＋b＝0。
解题后的思考：
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，而不是取较大的加数的符号。
小结：
两个有理数相加，和的符号由两个加数的符号共同确定。
两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数；绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同；互为相反数的两个数相加，和为0，结果前没有符号。
知识点二：
运用有理数的加法运算律化简计算
例3：
计算：
（4）7.2＋0.5＋5.6＋2.3；
（5）3＋（－2.3）＋（－5）＋6＋7.2。
思路分析：
1）题意分析：
在有理数的运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。
2）解题思路：
（1）中－2与2互为相反数，先相加；
（2）中把－3和－4两个负数先相加；（3）中－7和2分母相同，先相加；（4）中把7.2、0.5、2.3相加可得到一个整数，先相加；（5）中3、－5、6都是整数，－2.3和7.2都是小数，分别相加。
解答过程：
（1）
＋5.5＋
＝（
＋
）＋5.5＝0＋5.5＝5.5；
（2）－3＋5＋（－4）＝－3＋（－4）＋5＝－7＋5＝－2；
（3）
（4）7.2＋0.5＋5.6＋2.3＝（7.2＋0.5＋2.3）＋5.6＝10＋5.6＝15.6；
（5）3＋（－2.3）＋（－5）＋6＋7.2＝＋＝4＋4.9＝8.9。
解题后的思考：
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的。
例4：
计算：
思路分析：
1）题意分析：
本例算式中含有多个加数，且加数有正数，有负数，有小数，也有分数，计算时应进行合理的分类，正确运用运算律。
2）解题思路：
（1）
互为相反数，
与7.75互为相反数，可利用互为相反数之和为0的性质进行计算；
（2）将代分数变为小数，凑整进行计算；
（3）
－1.07的和为整数且是0；
（4）
的和为整数，其余三数的和也为整数。
解答过程：
解题后的思考：
（1）做带分数加法时，可将带分数化为整数和分数两部分，然后分别相加，再把结果相加，但要注意分开的整数部分和分数部分都要保持原带分数的符号。
（2）运算符号和性质符号要区分开。
如2－（－4）中前一个“－”号是运算符号，后一个“－”号是性质符号。
运算中不要出现符号错误。
小结：
运用有理数的加法运算律时，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加—“同号结合法”；③分母相同的数先相加—“同分母结合法”；④几个数相加得整数，则这几个数先相加—“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加—“同形结合法”。
知识点三：
有理数加法运算的综合运用
例5：
若︱x︱＝3，︱y︱＝2，且x＜y，求x＋y的值。
思路分析：
1）题意分析：
先根据已知条件确定x和y的值，再求和。
2）解题思路：
由绝对值的意义可知x＝±3，y＝±2，要分情况计算x＋y的值。
解答过程：
因为︱x︱＝3，︱y︱＝2，
所以x＝±3，y＝±2，又因为x＜y，
所以x＝－3，y＝2，或x＝－3，y＝－2。
当x＝－3，y＝2时，x＋y＝－3＋2＝－1；
当x＝－3，y＝－2时，x＋y＝－3＋（－2）＝－5。
所以x＋y的值是－1或－5。
解题后的思考：
由于绝对值等于正数的数有两个，所以关于绝对值的运算问题一定要分情况讨论。
例6：
某摩托车厂本周计划每日生产450辆摩托车，由于工人实行轮休制，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的辆数记为正，减少的辆数记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
产量（辆）
－5
＋7
－3
＋4
＋10
－9
－25
（1）根据记录可知，本周三生产了多少辆摩托车？
（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少了？
增加或减少了多少？
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？
思路分析：
1）题意分析：
表格中的正、负数表示该厂每日实际生产摩托车的数量与计划生产摩托车的数量的差值情况，正数表示比计划生产的多，负数表示比计划生产的少。
2）解题思路：
（1）每天生产的摩托车数量等于计划每天生产的数量加实际每天的误差。
本周三生产的数量为450＋（－3）＝447（辆）。
（2）计算出实际每天的误差和就可知道本周总生产量与计划生产量相比是增加还是减少，即误差和为正表示本周总生产量增加，误差和为负表示本周总生产量减少，误差和的绝对值就是增加或减少的数量。
（3）由表中数据可知，周五的生产量最大，为450＋（＋10）＝460（辆）；周日的生产量最小为450＋（－25）＝425（辆）。
周五比周日多生产了460－425＝35（辆）。
解答过程：
（1）450＋（－3）＝447（辆），
即本周三生产了447辆摩托车。
（2）（－5）＋（＋7）＋（－3）＋（＋4）＋（＋10）＋（－9）＋（－25）＝－21（辆），即本周总生产量与计划生产量相比减少了，减少了21辆。
（3）450＋（＋10）＝460（辆），
450＋（－25）＝425（辆），460－425＝35（辆），
即产量最多的一天（周五）比产量最少的一天（周日）多生产了35辆。
解题后的思考：
遇到实际生活问题，要从题意出发，分析题目，寻找解决问题的切入点，在利用有理数加法进行计算时也要注意使用运算律使计算简便。
小结：
有理数加法运算贯穿于整个数学运算过程中，可以说它是解决各类问题的一种工具，有时可以进行多种数学知识的综合运用，也可以用来解决一些实际问题。
提分技巧
有理数的加法是在小学算术四则运算的基础上，将数的领域扩充到有理数以后学习的。
它与小学的算术运算既有联系又有区别，小学的加法运算不需要确定和的符号，运算简单，而有理数的加法，既要确定和的符号，又要计算和的绝对值。
实质上，有理数的加法运算，在确定了和的符号后，进行的是算术的加减运算，这里包含有数学的化归思想。
二、有理数的减法。
1、有理数减法的意义
（1）有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同．已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法．减法是加法的逆运算．
（2）有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数．
2、有理数的加减混合运算
对于加减混合运算，可以根据有理数的减法法则，将加减混合运算转化为有理数的加法运算。
然后可以运用加法的交换律和结合律简化运算。
重点难点：
重点：
①有理数的加法法则和减法法则；②有理数加法的运算律．难点：
①异号两个有理数的加法法则；②将有理数的减法运算转化为加法运算的过程．（这一过程中要同时改变两个符号：
一个是运算符号由“－”变为“＋”；另一个是减数的性质符号，变为原来的相反数）
【典型例题】
例1.计算：
（1）（－2）＋（－5）
（2）（－6）＋4
（3）（－3）＋0 （4）－3－（－5）
解：
（1）（－2）＋（－5）（同号两数相加）
＝－（2＋5）（取________的符号，并把绝对值相加）
＝－7
（2）（－6）＋4（异号两数相加）
＝－（6－4）（取_____________加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）
＝－2
（3）（－3）＋0（一个数同零相加）
＝－3（仍得__________）
（4）－3－（－5）（减去一个数）
＝－3＋5（等于加上这个数的__________）
＝2
评析：
进行有理数的加减运算时，注意先确定结果的符号，再计算绝对值．
例2.计算（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）．
分析：
这个式子中有加法，也有减法．可以根据有理数减法法则，把它改写成（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7），使问题转化为几个有理数的加法．
解：
（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）
＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）
＝＋
＝（－27）＋（＋8）
＝－19
评析：
先将加减混合运算统一成加法，再写成省略加号的形式，形成清晰、条理的解题思路，减少出差错的机会．
例3.有10名学生参加数学竞赛，以80分为标准，超过80分记为正，不足80分记为负，评分记录如下：
＋10，＋15，－10，－9，－8，－1，＋2，－3，－2，＋1，问这10名同学的总分比标准超过或不足多少分？
总分为多少？
分析：
此题用具有相反意义的量来表示各个同学的得分在标准之上还是在标准之下，我们也可以把这些数值相加来表示总分是超出还是不足．
解：
（＋10）＋（＋15）＋（－10）＋（－9）＋（－8）＋（－1）＋（＋2）＋（－3）＋（－2）＋（＋1）
＝＋＋＋（＋15）＋
＝0＋0＋0＋15＋（－20）
＝－5
80×10－5＝795（分）
答：
这10名同学的总分比标准不足5分，总分为795分．
评析：
这10个数中有3对相反数，在运算时我们应先把它们相加，这样可以大大降低运算难度．另外，把实际问题转化为数学问题来解决是学习数学的目的．
评析：
灵活运用运算律，使运算简化，通常有下列规律：
（1）互为相反数的两数可先相加；
（2）符号相同的两数可以先相加；（3）分母相同的数可以先相加；（4）几个数相加能得到整数的可以先相加．
例5.已知︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3，求a－b的值．
分析：
要求a－b的值，首先必须确定a、b的值．因为绝对值等于一个正数的数有两个，一个正、一个负，并且这两个数互为相反数，即︱x︱＝m（m＞0），则x＝m，或x＝－m．也就是说求出的a、b的值分别有两个．
解：
因为︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3
所以a＋5＝1或a＋5＝－1，b－2＝3或b－2＝－3
所以a＝－4或a＝－6，b＝5或b＝－1
当a＝－4，b＝5时，a－b＝－4－5＝－9
当a＝－4，b＝－1时，a－b＝－4－（－1）＝－3
当a＝－6，b＝5时，a－b＝－6－5＝－11
当a＝－6，b＝－1时，a－b＝－6－（－1）＝－5
评析：
（1）已知一个数的绝对值，求这个数的时候，要格外注意解有正负两个值，不要漏掉负值．
（2）当确定出a、b的值后，求a－b时，应考虑到可能出现的情况，使解题思维严密．
例6.依次排列4个数：
2，11，8，9．对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差排在这两个数之间得到一串新的数：
2，9，11，－3，8，1，9．这称为一次操作，作二次操作后得到一串新的数：
2，7，9，2，11，－14，－3，11，8，－7，1，8，9．这样下去，第100次操作后得到的一串数的和是（ ）
A.737 B.700 C.723 D.730
分析：
根据题意，解决问题的方法有两种：
一是作100次操作，得到第100次操作后的一串数字，然后求和；二是经过前几次操作，推测第100次操作后的结果．显然应该用第二种方法．
解：
D
评析：
一些问题看上去非常复杂，是因为我们没有找到解决问题的办法，多动脑、多思考、找到问题的内在规律才是解决问题的根本方法．
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