向量论文.docx
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向量论文
王尚志：
各位老师大家上午好，我们今天想邀请几位老师来讨论一下关于空间向量与立体几何这一部分内容的大家有哪些好的经验、有那些问题、有哪些困惑，我们做个交流。
因为我们可能空间向量与立体几何会涉及到很宽泛的一些问题，
我曾经看过一盘录像，中国学生和日本学生做几何题时，中国学生做几何题习惯用传统几何方法，而日本学生更多的是用向量的方法。
我觉得向量在这个教学当中相对一个新元素或者一个现代元素加入到数学课程里面来，使的数学课程焕发出了一种新的生命力。
我自己感觉空间向量进入咱们这个立体几何教材之后，处理立体几何的视野发生了一个特别大的变化。
要说一个平面实际说它的一个法向量就可以了，要说一条直线只要说它的方向向量就可以了。
那么直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，就可以全部转化成向量之间的关系，这种处理问题的这种角度都是前所未有的。
给学生学习或者解决几何问题提供了一个新的角度，也减轻了学生的学习负担。
我觉得另外一个是用向量的方法处理几何问题的优势。
我在处理教材的时候感觉有这两方面优势，一个就是说相对仿射坐标系，就是我只要三个不共线的向量，就可以做成空间的一个基，直接利用这三个向量做运算就把有些问题就可以说清楚了。
有些是正交系，就说咱说这个空间直角坐标系，就把这个几何问题直接就转化成代数问题了，确实减轻了学生学习负担，效果挺好。
这两年高考题立体几何评阅中，我最感觉学生的一个问题就是他自觉应用向量处理问题的意识高了，这是我教学这些年感受最深的一个地方。
我也重点表达一下，一个是说他们在处理这个立体几何与向量这部分内容的时候，他们是用平面向量类比空间向量的知识去处理的，这方面有比较成功的做法。
另外第二点就是在定性或定量这两个角度，处理问题思考问题的时候，这个度把握到什么程度？
因为刚才说到这个处理所有角的问题，它完全可以用两个向量夹角来处理。
角的处理、距离的处理、由点到线、线到线、线到面、面到面都可以用一个公式来表示。
就这个就是把握到什么难度更适宜？
因为这个必修教材没有这个东西，我就说这些。
因为高中数学加上向量的部分。
特别是在原先立体几何主要是在计算上有两个部分一个是求距离，再一个是求角。
原先求两个平面所成的角，就是必须是在两个平面相交的棱上任意取一点，在两个平面内做垂直于棱的垂线，他们所成的角是两个平面所成的角，证明非常严格。
那么现在用向量求两个平面的交角，就成了两个法向量之间的角，非常简单，证明的力度减轻了。
第二个我感觉就是老师们在做这个题的时候，最好讲的时候给学生造成这样的印象，就是能用向量解决的尽量用向量解决，要把向量解决的这个问题作为立体几何解法的第一解法。
就是有的老师讲的时候是第一解法、第二解法，最后是个向量解法，我不赞成这种观点。
我认为第一解法应该是向量解法，给学生造成这样的一个观点，就是能用向量解法我就不用别的方法来解，这是第二点。
第三点我感觉就是向量这个地方，就是学生们在解的时候还是和王老师说的用向量解，这主要是一个平时培养的问题。
怎么样帮助学生把用向量解法或者是向量思考问题，当做我们首要的东西。
我特别期待尚老师将来在你们那个地区收集一点好的经验，就是这件事我们要正面地说，就是老师这么处理就比较好。
这样我们拿出一些例子来帮助老师能够慢慢地扭转这样的一个局面。
因为老师毕竟是教了这么多年书长期都用那个，总觉得不把原来那个说出来心里有点觉得我这个能量还没发挥充分。
因为您负责那个地区，请尚老师开发一些好的案例，就是怎么样一步一步地帮着孩子形成向量的思维模式，这样处理立体几何问题，特别的重要。
学生们在做立体几何题目的时候习惯于运用传统的方法来做。
这个问题根据我的教学实践，我觉得主要就是在必修2学习立体几何的过程当中学习了一下判定定理、性质定理，我们的老师习惯运用传统的办法，在这里下工夫讲传统的办法。
因为这个时候向量还没开始介入，所以一看证明的几何题，他非常擅长的题，所以在那里下的工夫比较大。
这就是我们教学当中遇到的一个难点，就是度。
在这个地方用传统的教学方法，用传统的证明立体几何应该把握怎么样的度，才能不影响教学的进度，还能使学生能够掌握好基础的东西，判定定理、性质定理。
随着知识的螺旋上升到了必修4以后，平面向量、平面向量的用途，一个是就是用在平面几何问题的证明上，再一个应用上解析几何、直线，再一个就是物理方面的应用。
平面向量的应用方面又出这一个问题，这个度的把握。
因为用平面向量证明平面几何的问题，在我们课本当中有些比较简单的例子，但是在我们教辅材料当中习题难度就大一点。
就是这个地方结合教辅材料当中的例子，怎么来把握用平面向量证明几何问题。
也就说强调平面向量的应用这个度把握到什么程度，多了耽误时间，学生对向量感到难了，不是作为一个工具，对它有恐惧感了。
而我们实际把向量作为一个工具，然后再上升到选修课空间向量，运用空间向量解决立体几何的问题。
这个时候实际上就是目的，从基础一直到了高点，到了目的就是用空间向量来解决立体几何的问题，求角、求距离、判断平行垂直的问题。
只有到这个时候学生才理解到向量的用处，但是他在基础当中所学的知识已经在头脑当中落下了很深刻的印象，因此习惯运用传统的办法来解。
再就是我最近在必修课这个教学当中如何把握这个度的教学，这样不仅不给学生增大这个任务量，也不给学生增加一些恐惧感。
你看在这个立体几何选修2的时候用传统方法证明一下命题，所以说这个立体几何这么难，有恐惧感。
用平面向量证明平面几何的命题也觉着难，也有恐惧感，所以无形当中度把握不好就给学生增加了负担，制约着就是在选修课这方面的教学。
我就谈这些，
大多数老师还是觉得就是空间向量进入以后，就是对学生空间想象力的培养还是有所弱化的。
因为他在用向量来解决的时候，就应该说如果从解题这个目标来看的话，那引入向量绝对是好事情。
如果要是从立体几何的学习，对空间想象力能力培养来讲的话，这个实际上是一个相对比较要弱化的一个效果，这是肯定是这样一个结果。
我觉得这个东西我就是这样看，就是说在必修2的教学当中正因为有这样的一个问题，现在我接触的好多老师达成这么一个共识，就是在必修2的时候应该着重于空间想象力的培养。
因为他本身也不是像度量的性质，那么我们不要去夹杂这种内容再加进来。
而是就在平行、垂直空间图形的这种认识上，比如就是一个最简单的学生最熟悉的正方体，他能不能把正方体里边的那些东西，闭着眼睛一想能想得很清楚，这件事是很重要的。
就在必修2的时候必须要达到这样一个程度，长方体、正方体加上面对角线、体对角线这些线，然后这个四点构成的面、三点构成的面。
然后线和面之间的关系，垂直关系还是平行关系，线与线的异面关系，还是平行垂直关系都要非常清楚，至少要落实到这样的一个层面。
那么这个也是对将来对高考，从最后的目标测评来看也是非常有好处的，最后如果在必修2的时候这个方面没有加强的话，学生根本想不出这个东西来。
因为特别是到了后期整个高三的备考，那么你就放在了如何去解决立体几何的解答题。
那么解决立体几何解答题，解答题特点就是平行垂直证一下，然后就是讲角的计算，这是每年必考的内容。
所以说大量的练习就是用向量解决、一旦不能用向量来处理，这个几何问题他就傻了，就根本没有想法了，这点是很可怕的。
所以说我觉得就是在必修2教学当中一定要加强空间想象力的培养，相应的尺度上就不要去涉及必修2以外的内容。
比如说在起始课上内容模型的制作，通过模型让他去绘图，都是非常重要的一件事情，这也是花大力气去落实的。
然后后边的这种平行垂直的这种位置关系的那些定理，判定定理和性质定理的学习当中，也要更多的在这种图形当中去让他认识，想象他充当的这些位置关系。
然后在向量这一块，平面向量的学习我觉得从教材来讲，我们觉得他重点应该不在把它当成一个工具去解决平面几何问题，如果一旦那样肯定是非常难的。
最早北京市弄了那个教材就是对这方面的例题和习题特别多，学生学习起来非常困难，而且老师说实在的也不熟悉。
因为他向量这种新的工具解决问题的那个思维的角度，使用这个工具的方式跟过去的那一套东西是完全不一样的，也是很生疏。
我的第一轮教那个教材的时候就觉得不会走，完全不会用向量来学习，向量怎么样思考来解决一个平面几何问题。
因为我太熟悉综合的那种解法了，反正我就觉得用向量很复杂，但我教完一轮以后，才发现我用向量还专门有一个思考的角度，你真要掌握了它其实也很容易。
所以这一块就不应该把它放到这个位置，它就是一个工具的认识，有一个在物理上一个简单的很简单的一个应用就可以了。
另外然后有了它的一个铺垫，然后我们像青岛二中老师我觉着很好的一个经验，我们也在用。
就是空间向量的学习就变成非常容易的，就是用类比的，让学生进入类比的想法，把他一下子定理全出来了，包括它运算。
然后到立体几何这一块，它就是一个重要的解决问题的工具了，而在这个工具当中怎么让学生愿意去使这个向量？
因为会发现真正教学当中会发现这种空间想象力特别好的学生，那立体几何你往那一摆，他从那图上马上一下就想出来了，这角是在哪，然后为什么是平行的还是垂直的。
包括那种比较难的存在性问题他马上就能看到，他转到那个一滑动，滑到那个位置就平行了，滑到那个位置他就垂直了，他就不爱用向量。
他觉得我看出来了就直接我就填辅助线，完了我去推理。
那这个我觉得是需要去讲这个向量的它带来的好处，这个好处不是说仅仅停留于他的解决这种度量问题的操作性强、程序化强，不应该去强调这个。
而应该强调刚才您提的因为用向量它的好处就是，我一个平面来讲你这个平面不管在哪呆着，我当成它是法方向，法方向不够然后拿一个点，啪就定了，一个法向量一个点就定了。
所以说我如果建立系了以后，那我找一个法方向就可以了，找一个点。
然后对于线来讲那我一个方向，方向定不了按一个点啪就定了。
但是这里面的位置关系，比如说两个平面的夹角跟两个直线的成角，实际上道理是一样的，就是说他不在于他具体的位置，平行移动都不影响其实就是那个拐角定理。
两个平面一夹，我如果要考他夹个锐角，那他实际上跟两条异面直线是道理一样，你随便平行移动都不会影响那个角。
因此我就正因为这个道理，所以只需要找到法向量，根本与他具体在哪没关系。
把这种道理讲清楚，一个是他空间想象力也有好处，另外对他这个更本质的东西认识也更加到位。
他觉得这个反而是非常清晰的，也就说我建起系来以后，只要这样来计算就能够完全解决这个问题。
而且从书写方面来讲，在高三的时候刚才有一个比较，就是同样一个按照高考规范要求的一个书写过程，你用综合推理虽然你很快就想到这个是怎么回事了，空间的这种关系怎么回事，我也知道怎么证了。
但是如果严格去叙述的话，用向量写80%的题目都要短、都要简洁。
那个学生最后他就体会到，我能看出来我也用向量。
因为我们有一个中学老师应该有两方面的关注，当然更多的有老师关注到最后考试的评价，就解题的问题，考试要考出好成绩。
如果从这个角度，那我们肯定对向量这个落实要去，最重要落实到一个向量解决一个问题，特别是角的问题更是如此。
但是平常教学当中，因为我们还有一个功能就是让学生真正学会点东西，学会点对数学里边的一些希望达到对数学有更好的理解和认识，因此在平时的时候有些该关注的去落实的还是要去落实。
空间想象力这部分内容还是对学生将来也是很重要的事情。
因为通过我们同事，比如我的同事张红老师，其实有点揭短，就是她就是空间想象力相对就比较弱。
就是这个教完一轮，有些题她能够想出来，就稍微复杂一点的比如三视图那种东西、还原图里几何图形她就感觉非常非常困难。
会做的题到第二轮教的时候又不会了，她又想不出来了，她不知道怎么去想。
所以这个东西你确实是需要去训练的，那如果我们这个立体几何的这个内容放在高中里边，把这个功能如果不去重视的话，那么可能对学生就是一种压力。
这是必须要学生加强的，至少在必修2这个学段要花大力气去解决这个问题，我是这么来看的。
因为在必修2里它有个三视图，他是新教材当中加入的三视图，实际目的就是让学生培养学生的空间想象能力，通过三视图能够认识几何题，但是根据一个空间几何题也能画出他的三视图来。
第二到了高三就是立体几何，运用空间向量的立体几何，有的题目给出图形了，有的题目他就给出这个三视图或者没给出图形，需要我们同学能够画出这个空间几何题，这就需要在必修2当中必须增加加强学生空间想象力的培养。
所以在这个必修2当中你要运用判定定理、性质定理来证明一切命题，他也就需要空间想象力，刚才我谈的这个度的问题。
第一越来越多的老师认可向量的进入，并在不断的提升对向量的认识。
怎样培养学生能够把向量处理问题的方法，并当做一种主要方法，是我们需要解决的一个问题。
因为到了高等数学，无论是分析、代数、几何、方程、泛函、拓扑这些，都需要你能比较好的使用向量去解决问题。
所以这个对于将来的学习一定是非常重要的，就是老师要转变观念。
其实学生的都是老师灌输给他的，所以我们想希望在这方面积累一些好的经验，我们拿例子来和老师进行交流。
第二个大问题也是大家提出的非常好的问题，要做到这件事情我们要处理好两个关系或者两个内容的关系，一个就是空间向量与立体几何、与立体几何初步的关系，第二个要处理好空间向量与立体几何、与平面向量那一章的关系。
这个王老师和大家都提出，我觉着这两个问题也是非常重要的问题，这样我们才能整体的处理我们整个高中的几何问题。
比如说大勇提出在立体几何初步最主要的任务是帮助学生建立空间的想象力，要能把图形树起来，要能把立体的图形搁到我们这个屋子里来，要借助我们生活的这样一个长方体的空间帮助我们想象。
那么更具体地说四个载体要发挥作用，一个是常见的几何图形柱、锥、台、球，我这个东西不能白讲，我得让大家建立空间感。
第二个要能把空间图形在纸上画出来，你确实感觉他是空间的图形，我们叫直观图形。
第三个大家刚才说的是三视图的作用。
最后是点线面的位置关系。
而在点线面的位置关系，王老师和大勇提出来的这些建议，我非常的赞成。
我们没有必要过多的把我们所谓综合几何论证或者度量的问题搞得很难，我们后面还有处理这个问题的更好的工具。
我们在这搞难了就会造成大家两败俱伤，逻辑推理也达不到要求，空间想象也没有建立起来，这何苦呢。
这个建议特别的好，所以我希望我们积累这方面的经验，希望大勇和王老师到时候我们来说服我们是正确的。
第二个王老师提出来的，我觉得大勇也提到了这个，平面上两个教学目的是什么。
我们最主要的教学目的是帮助学生去了解我们的一个新的工具、新的思想、一个新的东西，向量这样一个东西。
这个东西在计算上和我们过去的计算，数的计算、多项式的运算是不一样的，而且这个东西可以帮助我们刻画几何图形，另外它有丰富的物理背景。
我们又要学会对基的认识、基底的认识等等，这些才是最重要的。
至于拿它去解决那些几何问题，如果你把重点放在这儿，我想也许是方向性的问题。
也就是说本来它是一个不难的东西，千万别把它变成一个难的东西，那么这样的话将来在空间向量的学习中就会产生障碍。
所以二位老师提出的问题以及处理问题的思路，我都觉得非常重要。
这是三个问题了，第一个问题是怎么样让学生掌握我们向量的方法，而且是作为主要方法，尚老师说得特别好。
第二个处理好空间向量与立体几何、与立体几何初步的关系。
第三个是处理好和平面向量的关系。
第四件事问题是大勇提出来的，我觉得也非常好，就是我们在讲空间向量和立体几何的时候，我们仍然要关注空间的想象力。
谁决定平面？
怎么决定平面？
怎么决定空间的直线？
不是到了向量，我们讲了向量，我们会形式化的计算就不要空间想象力了。
我们要想象什么是要清楚的，我们要想象位置关系，位置关系里头垂直和平行是最重要的想象对象。
我们要想象度量关系，当我们考虑距离的时候，我们要在法方向上去做投影，这是重要的想象，所以我觉得这样一个问题也是非常重要的。
那么第五个问题就是我们在处理这一些空间图形的度，怎么把握。
我想这个问题也是一个非常需要和老师一起进行交流的问题。
所以今天的讨论，我觉得我个人也非常受启发，那么我想我们在针对这些问题，我们再通过案例给老师一些讨论，我想会给老师的教学起一个非常好的作用。
我们想提到了这样一些比较主要的问题，一个就是向量，向量这个内容在数学中的作用是什么？
为什么我们说向量就根本改变了我们高中数学的结构？
就把向量的数学价值再突出一下。
还有就是我们在老师们疑惑比较多的就是如何依托向量来提升学习的数形结合能力。
还有就是如何把向量和算法这样的内容结合起来，来解决我们空间里头立体几何中的一些问题，特别是像距离、夹角的这样问题。
还有就是我们原来提到的向量学习、空间立体几何里头一个基本模型，就是长方体的作用。
对于这些问题我们先想听听两位老师的一个评论。
王尚志：
我想这个已经多次强调向量进入中学是我们整个数学教育的比较大的一次变化。
那么大家都可以回忆原来就是纯粹是综合几何的处理方式，特别是在立体几何这些内容中，后来发展到并存的一种方式，现在基本上就变成了以向量为主的一种方式。
那么我想这个向量是数学中一个非常重要的一个数学概念，一个数学内容，特别是在多维空间的教学中几乎离开向量是寸步难行。
比如说我们到将来数学分析、线性代数、解析几何、微分方程，后面几乎所有的数学课程，只要到二维以上就要用向量。
所以我觉得这一件事情务必我们老师应该有一个清醒的认识。
那么向量为什么重要呢？
我们也多次强调，一个他是代数的，他可以算
有加法、数乘、点乘，将来还有叉乘，还有混合积等等。
这个代数的运算实际上是要把两种不同对象的运算融合在一起，数的运算和向量的运算是两个不同的运算对象，融在一起这是一个非常重要的一个变化，所以出现了所谓线性空间的概念。
再有一个就是向量又是几何的，他可以刻画我们直线、可以刻画点、可以刻画平面，他帮助我们形成了一些非常重要的数学的一些思考。
比如说直线是有方向的，可以用方向向量来刻画直线的方向，平面也可以用法向量来刻画它的方向。
这样的一个思想直接会延续到高维平面上去，这些在处理我们几何问题中是非常重要的。
那么我们几何里无非就是讨论一个是所谓位置关系，一个是度量关系。
而位置关系又主要是平行和垂直，度量关系是距离、角度、面积、体积，在高中重点是距离和角度。
那么有了向量以后我们完全可以把处理这一些问题，找到它的一个一般的处理方式，就是一个通性通法，下面我们结合算法还会讲这件事。
向量又是代数又是几何，它就自然成为一个天然的桥梁，他把代数和几何融在对向量的理解中。
一会儿可能二位张老师还会专门强调，为什么向量是一个构建代数和几何的一个天然桥梁，是一个数形结合的一个天然载体，怎么样实现我们培养学生的空间想象力。
由于有了前面这些东西就形成了数学一个基本的研究对象和一个基本的数学模型，比如说所有的二维向量和加法构成一个所谓交换群；向量、实数、加法、数乘，就构成线性空间；如果再加上向量的模长，或者叫距离，就构成线性赋范空间。
所以它对于后面的学习，向量起到了一个非常非常基础重要的作用。
我们希望我们的老师一定要充分的认识到向量进入中学给我们带来的一些变化和给我们带来的一些好处，我觉得这一点是希望大家能够充分的认识到。
张饴慈：
就是说我想对向量来说，有人说综合几何跟向量来比向量运算都表现一个程式化的，变成一个通性通法的一个算法的问题，好像就是说因为向量简单所以就放向量。
我想向量确实是有这样一个非常好的优点，但是我们绝不仅仅是因为它是一个所谓简单，因为总是有反例的，任何一个方法他都有一定的范围的。
但是向量确实就像王老师说的，它在我们整个的数学太重要了。
比如说我们说泛函里头，那就是说我们把一个函数可以看成一个向量，那么整个的函数的结构就变成一个向量的模样了，那么函数的数列展开的就变成一个向量基本定理了。
比如说统计里头一组数据我们就可以看成是一个向量，现在统计的处理完全就是用向量来处理的。
也就是他在这个数学今后发展的地位太重要了，而且它又被我们中学生可以接受，这才是我们高中把它放在这儿作为一个最基本的一个东西来处理的问题。
而综合法老实说它后头后劲不足了。
另外我想谈谈有很多老师说，说把向量引进了这个几何以后就对培养学生的空间想象能力不利，好像综合几何有助于培养学生空间想象能力而向量就不是。
我个人我觉得不应该这么来看，我觉得向量当然最后是我们把这个几何对象变成一些向量的关系，在解这些问题的时候是用代数的方法向大家解的。
但是如何建立这些向量的关系确实需要我们把握空间想象能力。
而怎么把握空间想象能力，我觉得向量突出的好处就是它通过了这个直线的方向向量、平面的法向量，能更本质地认识这个图形。
换句话说就是我们这个长方体，我觉这个长方体这三个框架，这个直角坐标建立起来，也非常有助于我们认识空间图形的这个能力。
所以对我们来说，应该让学生把握怎么把一个几何图形砍到这个长方体里头去，这样一种能力使得我们一下就能把这个图形能够看清楚。
而且向量它可以平移的，还可以移动的。
你比方说两个直线的刚才说它的公垂线等等，你要是如果平常的话，看起来的确就觉得比较困难。
但是一旦引进了方向向量、引进了法向量以后，能够很容易的把握图形。
所以我觉得这个引进向量以后，只是我们跟以前看这图形的这个角度不太一样了，但是我觉得能够看得比以前更清楚了、更本质了。
所以我觉得希望老师能够体会我们引进向量没有降低对空间图形的把握。
王尚志：
你看我给举个例子，二面角。
那么我们二面角综合几何是这样定义的，首先在两个平面的交线上任取一点，过这一点在这两个平面上做这条直线的垂线，得到两个直线的夹角。
这样就转换成为直线的问题了，如果是二面给定的就是这两个直线的夹角，如果是两个整平面的就选一个小的作为夹角。
那么这里头从综合几何的角度来说有很多的疑惑，第一个就是任意点，我必须有一个定理来保证任意点得到的角度是一样的。
第二件事我为什么要取垂线？
那么过这一点的线好多，为什么选这个。
所有这些不很直观，那么我们有了向量以后是这样定义的，每一个平面也像直线一样有方向，那么两个方向成的角，小的那个角就是这个夹角，如果是二面角我们要判断一下。
那么这样的一种认识就加大了我们直观的力度，就这才是刻画两个平面角度最根本的、最重要的一种切入。
所以我想我们谈空间想象力不能脱离我们要研究的对象，不能脱离我们要解决的问题。
那么有一些比如说魔方的问题这一些也是空间想象力，那个不是我们几何要解决的问题。
所以我想刚才张老师强调的这一点应该重视，就是自由向量这件事情不是那么容易就建立起来的，需要我们去在教学的整个过程中不断的帮助孩子们去理解，这个向量是自由的是什么意思。
张饴慈：
所以培养空间想象能力，在这里我觉得重点就是培养他对直线方向向量和平面法向量的关系的认识，就对长方体的认识。
拿到一个图形能不能把它砍进长方体，对这样一种意识的培养这个训练，真正提高他空间图形想象力。
张思明：
还有一个我觉得是过去立体几何，老师们钻研出很多特殊的解决办法，就刚刚王老师说的半平面、二面角这个问题。
分了很细，比如说能交出一条线、交在一个点上、交不出一条线，在这个图形里没有。
这些都是细微末节的专门的技巧，比如像两个打立柱的方法，打一个立柱、打两个立柱。
在立体几何引入向量以后这个东西就变成了通性通法，不管你交不交出来。
交出一个点，他唯一的方向就决定了这个角。
而这种想象力，我觉得是我们恰好要通过数形结合让学生建立起来，在这个平面上这个法方向是他唯一确定的方向，可以游走在这个平面的任何地方。
那两个游走到一块去这是很自然的事情，就不像过去所有的异面之间的成角也是碰不着的，公垂线也是碰不着的，它的那种想象力是非常困难的，而我们现在是想象得抽象和具体非常结合。
它是可以游动的，又非常具体、又非常抽象，因为他唯一确定他存在。
这个是学数学更重要的更核心的东西。
那么可以摒弃到原来要教给学生很难理解的那些技巧，全都没有了。
张饴慈：
所以实际上对空间图形想得更清楚了看得更清楚了。
王尚志：
他抓住了最要紧的那个环节，另外我觉得有了向量提供给我们解决空间问题的一个所谓一个通性通法，一个基本思路。
就是我们下面要讨论的算法。
比如说距离问题，我们无非有这么几个距离，两点的距离、点到直线的距离、平行直线的距离、点到平面的距离、平行平面的直线到平面的距离、平行平面的距离和异面直线的距离。
有了向量以后我们处理方法就完全统一起来了。
第一个先刻画求距离的对象，点到直线的距离，先把点搞清楚，坐标搞清楚。
直线，
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