统计学常用公式.docx

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统计学常用公式

公式一

1.众数【MODE]

（1）未分组数据或单变量值分组数据众数的计算

未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。

（2）组距分组数据众数的计算

对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面

的公式计算计算众数的近似值。

下限公式：

M0二L+1—i

△l+心2

式中：

Mo表示众数；L表示众数的下线；."■：

!

表示众数组次数与上一组次数之差；■"■：

2表示众数组次数与下一组次数之差；i表示众数组的组距。

上限公式：

Mo二i

式中：

U表示众数组的上限。

2.中位数【MEDIAN]

（1）未分组数据中中位数的计算

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。

设一组数

据按从小到大排序后为X1，X2,…，XN，中位数Me，为则有：

Me=X（N+1）当N为奇数

1II

Me二-Xn+Xn当N为偶数

22+1

（2）分组数据中位数的计算

分组数据中位数的计算时，要先根据公式N/2确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：

Me=L+

i=1

2

-Sm-1

式中：

Me表示中位数；L表示中位数所在组的下限；Sm-1表示中位数所在组以下各组的累计次数；fm表示中位数所在组的次数；d表示中位数所在组的组距

3.均值的计算【AVERAGE]

（1）

x=

x1+xx

未经分组均值的计算

未经分组数据均值的计算公式为:

（2）分组数据均值计算

k

fi

1

yx

分组数据均值的计算公式为:

一xifi+x2+2+Xkfk_仁i

x=k~

fi+f2+ill+fk實

i=4

4.几何平均数【GEOMEAN]

几何平均数是N个变量值乘积的

N次方根，计算公式为:

式中：

G表示几何平均数；|丨表示连乘符号

5.调和平均数【HARMEAN]

调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数,与加权调和平均数两种计算形式。

它有简单调和平均数

简单调和平均数：

H=n

H=111

++•••+—

Xix2xn

n

口

idxi

加权调和平均数：

H=mi+m2+…+mn

=凹+匹+...+m

Xix2xn

n

二mi

iT

Jm

idxi

6.极差【Range]

极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即

R二ma冬-mxin

式中：

R表示极差；maxg）和min（x.份别表示一组数据的最大值与最小值。

7.平均差【MeanDeviation】

平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

（1）根据未分组资料的计算公式：

n

送x.-X

i

AD=^-

n

（2）根据分组资料的计算公式：

AD=

Zx.-xf.

n

式中：

AD表示平均差

8.方差【Variance]和标准差【StandardDeviation]

方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。

要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为：

Jx-x2

i电

分组数据方差的计算公式为：

'x._~x

i=1

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为:

未分组数据:

分组数据:

式中：

二表示标准差。

9.离散系数

离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。

其计算公式为：

v.-一=—

x

式中：

v；「表示离散系数。

10.偏态【SKEW]

偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。

利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。

显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。

EXCEL中偏态系数的计算公式为:

n£円

（njn-2二.s一

WF£日]

nTYn-2In-3）gisj

11.峰值【KURT]

EXCEL中峰值系数的计算公式为:

2

3（n-1）

n-1n-3

公式二

（1）样本均值的标准差

样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差，它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。

样本均值的抽样平均误差计算公式为:

重复抽样方式:

不重复抽样方式：

；「2N-n

\nN-1

通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：

在公式中，二是总体标准差。

但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。

（2）大样本均值的极限误差*二Z：

.2二x

（3）大样本下总体均值的区间估计

总体均值的置信度为

（1）的置信区间：

x一乙云x」—xz2二x

_CT_CT

即X-Z-.2xz，2

Un寸n

（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计

总体均值的置信度为（1-：

）的置信区间：

X—t：

边二x

-J-xt：

.2

2.比例估计

（1）样本比例的抽样平均误差

样本比例的抽样平均误差为:

重复抽样下：

“pfJ.PQ-P）

上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替

不重复抽样下：

口p）=j型—n

YnIN—1丿YnVNJ

（2）样本比例的抽样极限误差

p=Z仃P

（3）总体比率的区间估计

总体比例P的置信度为（1-:

）的置信区间为：

P-Z-.2-P乞PPJ2p

3.总体均值检验

（1）单一总体均值检验

①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验

检验统计量Z为:

②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验

检验统计量t为：

（2）两个总体的均值检验

①两个正态总体均值检验一一两个总体方差已知或大样本

Z检验统计量为：

大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。

②两个正态总体均值检验（小样本）一一两个总体方差未知但相等

T检验统计量为:

ni

其中:

Sp

22

□-1S“2-1S2

n「n2-2

n2

S2

x2

i=1

4.总体比例检验

（1）单一总体的比例检验

Z检验统计量：

P—Po

（2）两个总体比例的检验

检验的统计量为：

?

~?

2

01-？

.01-？

n1n2

其中：

?

-0P,0为当P1-P2时P1和P2的联合估计值。

5.

总体方差假设检验

F=s2.「s；

其中:

2

Si

i4

口-1

2

S2二

n2

'xi-x

i4

-i

（1）单一正态总体方差的假设检验

2

检验统计量为：

2=门一1S

%

n2

s（Xi-x）

其中：

s2=厘为匚2的估计量

n—1

（2）两个正态总体的方差假设检验

检验统计量为:

公式三

1•单因素方差分析

设总体共分为k种处理进行观察，第

种处理试验了容量为nj的样本

（1）计算各项离差平方和

误差项

在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和,离差平方和以及水平项离差平方和。

总离差平方和，用SST（SumofSquaresforTotal）代表:

njk

SST=EE（州

idjd

式中：

X表示全部样本观测值的总均值。

其计算公式为:

误差离差平方和，用SSE（SumofSquaresforErro）代表:

njk

nj

式中：

Xj表示第j种水平的样本均值,

xj

Xij

i丄

nj

水平项离差平方和。

为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。

于是水

平项离差平方和可以用SSA（SumofSquaresforFactorA表示。

njk

SSA的计算公式为:

SSA"'Xj-x

ij

（2）计算平均平方

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。

对SST来说，其自由度为（n-1）;对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（n-r）。

与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：

n-1=（r-1）+（n-r）

对于

SSA，其平均平方

MSA（组间均方差）为：

MSA^^^A

r-1

对于

SSE，其平均平方

MSE（组内均方差）为：

MSE泄

n—r

（3）

检验统计量F

MSAF二

MSE

2.两因素方差分析

设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。

（1）计算各项离差平方和

在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项

离差平方和以及水平A、B项离差平方和。

2

总离差平方和，用SST（SumofSquaresforTotal代表：

SST八'xi^x

1nk

式中：

x表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为：

X二丄wXij

nki=ij=t

水平项离差平方和可以分别用SSA（SumofSquaresforFactorA）和SSB（SumofSquaresforFactorB）表示。

nk_2

SSA的计算公式为：

SSA：

二二，:

Xj-X

yj二

式中：

1n

XjXij

ny

nk

SSB的计算公式为：

SSB=vvXj.-X

i4j4

式中：

1k

XiXij

kj二

误差离差平方和，用SSE（SumofSquaresforErro）代表:

nk

SSE：

二二-Xij

i4j4

_2

-Xi*-Xjx

（2）计算平均平方

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare。

对SST来说，其自由度为

（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。

这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：

MSA

SSAk-1

MSB举

MSE

SSE

n-1

（3）检验统计量F

F（A）二

MSA

MSE

F（B）二

MSB

MSE

公式四

1.拟合优度的检验统计量:

k

=送

i£

式中：

fi表示类别i的观察频数；fe表示假设H。

为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数注意：

当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的2分布