江苏省南京市六校联合体学年高二下学期期末考试数学文含答案.docx

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江苏省南京市六校联合体学年高二下学期期末考试数学文含答案

南京市六校联合体高二期末试卷

数学（文科）2018.6

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合A＝{1，3}，B＝{1，4，5}，则A∪B＝▲．

2.已知复数＝（4＋3i）2（i为虚数单位），则的实部为▲．

3.一个原命题的逆否命题是“若＝1，则2－2＜0”，那么该原命题是▲命题．（填“真”或“假”）．

4.函数f（）＝的定义域是▲．

5.以双曲线－y2＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为▲．

6.函数f（）＝2（0＜＜1），其值域为D，在区间（－1，2）上随机取一个数，则∈D的概率是▲．

输出s

7.某地区为了了解居民每天的饮水状况，采用分层抽样的方法随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，则[30，40）年龄段应抽取的人数为▲．

N

Y

第7题

第7题

8.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于▲．

9.观察下列各式：

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a8＋b8等于▲．

10.从集合A＝{－2，－1，1，2}中随机取一个数为m，从集合B＝{－1，1，2，3}中随机取一个数为n，则方程＋＝1表示双曲线的概率为▲．

11.设椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，

PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝θ，若cosθ＝，则椭圆C的离心率为▲．

12.函数f（）满足f（＋2）＝f（）（∈R），且在区间[－1，1）上，f（）＝，

则f（f（2019））＝▲．

13.已知函数f（）是定义在R上的奇函数，当≥0时，f（）＝（|－1|＋|－2|－3）．若函数g（）＝f（）－a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围为▲．

14.已知函数f（）＝（∈R），其中e为自然对数的底数，g（）＝－2＋2a－2（a∈R）,

若A＝{|f（g（））＞e}＝R，则a的取值范围是▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小

题满分14分）

已知二次函数f（）满足f

（1）＝1，f（－1）＝5，且图象过原点．

（1）求二次函数f（）的解析式；

（2）已知集合U＝[1，4]，B＝{y|y＝，∈U}，求

．

16.（本小

题满分14分）

已知命题p：

指数函数f（）＝（a－1）在定义域上单调递减，

命题q：

函数g（）＝lg（a2－2＋）的定义域为R.

（1）若q是真命题，求实数a的取值范围；

（2）若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围.

17.（本小

题满分14分）

已知函数f（）＝a－（－1）a－（a＞0且a≠1）是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若f

（1）＜0，解关于的不等式f（2＋2）＋f（－4）＜0．

18.（本小

题满分16分）

某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是cm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、cm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．

（1）求包装盒的容积V（）关于的函数表达式，并求函数的定义域；

（2）当为多少cm时，包装盒的容积最大？

最大容积是多少cm3？

19.（本小

题满分16分）

已知离心率为的椭圆＋＝1（a＞b＞0），经过点A（1，），过A作直线

与椭圆相交于另一点B，与

轴相交于点D，取线段AB的中点P，以线段DP为直径作圆与直线OP相交于点Q.

（1）求椭圆的方程；

（2）若P点坐标为（，），求直线DQ的方程；

（3）求证：

直线DQ过定点，并求出该定点坐标.

20.（本小

题满分16分）

已知函数f（）＝a＋ln的图象在（1，f

（1））处的切线与直线2－y＋1＝0平行．

（1）求实数a的值；

（2）若f（）≤（2＋－1）2对任意＞0恒成立，求实数的取值范围；

（3）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：

n＞m．

高二期末考试

数学试题答案

1、{1，3，4，5}2、73、真4、[－5，1]5、y2＝﹣46、

7、358、－39、4710、11、3－212、2

13、（﹣1，1）14、（﹣1，1）

15．解：

（1）设f（）＝a2＋b＋c（a≠0），因为f

（1）＝1，f（﹣1）＝5，且图象过原点，所以……………………………………………………………………………3分

解得所以f（）＝32﹣2.………………………………………………………7分

（2）y＝＝3﹣，当∈[1，4]时，函数y＝3﹣是增函数，当＝1时，y取得最小值1，当＝4时，y取得最大值，所以B＝[1，]，………………………………………………11分

＝（，4]………………………………………………………………………………14分

16解：

（1）若命题q是真命题，则有①当a＝0时定义域为（﹣∞，0），不合题意………1分

②当a≠0时，由已知可得………………………………………………4分

解得：

a＞，故所求实数a的取值范围为（，＋∞）．…………………………………6分

（2）若命题p为真命题，1＜a＜2……………………………………………………………8分

若p为真q为假，则，得到1＜a≤………………………………………10分

若p为假q为真，则得到a≥2．………………………………………12分

综上所述，

的取值范围是1＜a≤或a≥2．………………………………………14分

17解：

（1）因为f（）是奇函数，且f（0）有意义，所以f（0）＝0，所以1－（－1）＝0，

＝2．…………………………………………………………………………………………………2分

当＝2时，f（）＝a－a－，f（－）＝a－－a，f（）＋f（－）＝0，所以f（）是奇函数，

＝2符合题意．…………………………………………………………………………………4分

（2）因为f

（1）＜0，所以a－＞0，即0＜a＜1，………………………………………………6分

f（）＝alna＋a－lna，因为0＜a＜1，所以f（）＜0，所以f（）是R上的单调减函数．…9分

由f（2＋2）＜－f（－4）＝f（4－），得2＋2＞4－，即2＋3－4＞0，…………………12分

解得＜－4或＞1，故所求不等式的解集为（－∞，－4）∪（1，＋∞）．…………………14分

18．

（1）因为包装盒高h＝，底面矩形的长为60－2，宽为30－，

所以铁皮箱的体积V（）＝（60－2）·（30－）·＝23－1202＋1800．……………………………4分

函数的定义域为（0，30）．……………………………………………………………………6分

（2）由

（1）得，V（）＝62－240＋1800＝6（－10）（－30），

令V（）＝0，解得＝10．……………………………………………………………………8分

当∈（0，10）时，V（）＞0，函数V（）单调递增；

当∈（10，30）时，V（）＜0，函数V（）单调递减．………………………………………12分

所以函数V（）在＝10处取得极大值，这个极大值就是函数V（）的最大值．

又V（10）＝8000cm3．…………………………………………………………………………15分

答：

切去的正方形边长＝10cm时，包装盒的容积最大，最大容积是8000cm3．……16分

19．

（1）因为所以：

a＝2，b＝1椭圆的方程为：

＋y2＝1……………………4分

（2）因为点P的坐标为（，），所以AB的方程为：

y＝－＋，

所以D点坐标为（0，）………………………………………………………………………5分

又因为以DP为直径的圆与OP交于Q，所以DQ⊥OP又OP＝，所以DQ＝－2…7分

所以DQ的方程为：

y＝－2＋…………………………………………………………8分

（3）由题意知直线l的斜率存在，可设l的方程为：

y－＝（－1），

所以D点坐标为（0，－）……………………………………………………………………9分

又消去y后得：

（42＋1）2＋4（－2）＋4（－）2－4＝0

所以：

A＋B＝－，………………………………………………………………10分

所以P＝，yP＝，所以OP＝－………………………………………12分

又DQ⊥OP，所以DQ＝4……………………………………………………………………14分

所以DQ的方程为：

y－＋＝4，即y－＝（4－1）………………………………15分

所以直线DQ恒过定点（，）……………………………………………………………16分

20.解：

（1）求导数，得f′（）＝a＋ln＋1．

由已知，得f′

（1）＝2，即a＋ln1＋1＝2∴a＝1．………………………………………3分

（2）由

（1）知f（）＝＋ln，

∴f（）≤（2＋－1）2对任意＞0成立⇔2＋－1≥对任意＞0成立．…………5分

令g（）＝，则问题转化为求g（）的最大值．…………………………………………6分

求导得g′（）＝－，令g′（）＝0，解得＝1.……………………………………………7分

当0＜＜1时，g′（）＞0，∴g（）在（0，1）上是增函数；

当＞1时，g′（）＜0，∴g（）在（1，＋∞）上是减函数．

∴g（）在＝1处取得最大值g

（1）＝1．

∴2＋－1≥1即≥1或≤－2为所求．………………………………………………9分

（3）证明：

令h（）＝，则h′（）＝…………………………………………11分

由

（2）知，≥1＋ln（＞0），∴h′（）≥0，∴h（）是（1，＋∞）上的增函数．

∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即＞，………………………………………………14分

∴mnlnn－nlnn＞mnlnm－mlnm，即mnlnn＋mlnm＞mnlnm＋nlnn，

∴lnnmn＋lnmm＞lnmmn＋lnnn，即ln（mnn）m＞ln（nmm）m，∴（mnn）m＞（nmm）m。

∴n＞m．…………………………………………………………………………16分