第十章第1讲 机械振动.docx

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第十章第1讲机械振动

第1讲　机械振动

[考试标准]

知识内容

必考要求

加试要求

说明

简谐运动

b

1.不要求理解“相位”的概念.

2.不要求定量讨论速度和加速度的变化.

3.不要求根据简谐运动回复力的表达式证明物体做简谐运动.

4.不要求掌握证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动的方法.

5.不要求解决钟表快慢的调整问题.

简谐运动的描述

c

简谐运动的回复力和能量

b

单摆

c

外力作用下的振动

b

一、简谐运动的描述

描述简谐运动的物理量

物理量

定义

意义

位移

由平衡位置指向质点所在位置的有向线段

描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移

振幅

振动物体离开平衡位置的最大距离

描述振动的强弱和能量

周期

振动物体完成一次全振动所需时间

描述振动的快慢，两者互为倒数：

T＝

频率

振动物体单位时间内完成全振动的次数

二、简谐运动的回复力和能量

1.回复力

（1）方向：

总是指向平衡位置.

（2）来源：

属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.

2.能量特点

弹簧振子运动的过程就是动能和势能相互转化的过程.

（1）在最大位移处，势能最大，动能为零.

（2）在平衡位置处，动能最大，势能最小.

（3）在简谐运动中，振动系统的机械能守恒.

自测1

　（多选）下列有关简谐运动的说法正确的是（　　）

A.做简谐运动的物体，受到的回复力的方向总是指向平衡位置

B.平衡位置就是加速度为零的位置

C.弹簧振子振动过程中动能和弹性势能相互转化，系统总机械能守恒

D.弹簧振子振动过程中，弹性势能增加时，弹簧的长度可能变短

答案　ACD

三、简谐运动的两种模型

弹簧

弹簧振子

单摆

示意图

简谐运动条件

（1）弹簧质量可忽略

（2）无摩擦等阻力

（3）在弹簧弹性限度内

（1）摆线为不可伸缩的轻细线

（2）无空气阻力

（3）最大摆角很小

回复力

弹簧的弹力提供

摆球重力沿圆弧切线方向的分力

平衡位置

弹簧处于原长处

最低点

周期

与振幅无关

T＝2π

能量转化

弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒

重力势能与动能的相互转化，机械能守恒

自测2

　（多选）发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大（　　）

A.增大摆球质量

B.增大摆长

C.减小单摆振幅

D.将单摆由山下移至山顶

答案　BD

四、自由振动、受迫振动和共振的关系比较

　振动　

项目　　

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回复力　

受驱动力作用

受驱动力作用

振动周期或频率

由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0

由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱

T驱＝T0或f驱＝f0

振动能量

振动物体的机械能不变　　

由产生驱动力的物体提供　

振动物体获得的能量最大

自测3

　（多选）研究单摆受迫振动规律时得到如图1所示的共振曲线，下列说法正确的是（　　）

图1

A.其纵坐标为振动位移

B.其横坐标为固有频率

C.单摆的固有周期为2s

D.图象的峰值表示单摆共振时的振幅

答案　CD

命题点一　简谐运动的规律

1.运动学特征：

简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反.

2.对称性特征：

（1）如图2所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP＝OP′）时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等.

图2

（2）振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tOP＝tOP′.

3.能量特征：

振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒.

例1

　（多选）如图3所示，在光滑地面上一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知该振子的固有频率为f＝2Hz.振子在振动过程中，下列说法正确的是（　　）

图3

A.振子在O位置，动能最大，势能最大

B.振子由A位置向O位置运动，加速度减小，速度增大

C.振子由A位置向O位置运动，振幅减小，机械能减小

D.如果施加一个f＝2Hz的驱动力，该弹簧振子将发生共振现象

答案　BD

解析　振子在O点时弹簧的弹性势能是0，动能最大，故A错误；振子从A位置向O位置运动过程中，位移减小，由a＝－

可知加速度减小，振子的速度增大，所以动能逐渐增大，但振幅不变，机械能不变，故B正确，C错误；该振子的固有频率为f＝2Hz，如果施加一个f＝2Hz的驱动力，根据共振的条件可知，该弹簧振子将发生共振现象，故D正确.

变式1

　（多选）做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，一定相同的物理量是（　　）

A.相对平衡位置的位移B.速度

C.回复力和加速度D.动能

答案　ACD

变式2

　（多选）如图4所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法中正确的是（　　）

图4

A.振子从B经O到C完成一次全振动

B.振动周期是2s，振幅是5cm

C.经过两次全振动，振子通过的路程是20cm

D.从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm

答案　BD

解析　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A＝BO＝5cm.故A错误，B正确；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20cm，所以两次全振动中通过的路程为40cm，3s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30cm.故C错误，D正确.

变式3

　（多选）某处一单摆做简谐运动的振动方程为x＝0.04cos3.14t（m），关于该单摆的叙述下列说法正确的是（　　）

A.该单摆的摆长约为1m

B.若该单摆被考察队携至珠穆朗玛峰的顶端，则其摆动变慢

C.在t＝1.2s时摆球正沿正方向做加速运动，加速度正在减小

D.在0.25s时刻和1.25s时刻摆球沿相反方向经过同一位置

答案　ABC

解析　单摆做简谐运动的振动方程为x＝0.04cos3.14t（m），则ω＝3.14rad/s，该单摆的周期：

T＝

＝

s＝2s.由T＝2π

得l＝

＝

m≈1m，故A正确；若该单摆被考察队携至珠穆朗玛峰的顶端，重力加速度减小，根据周期公式T＝2π

可知，该单摆的周期增大，其摆动变慢，故B正确；根据单摆做简谐运动的振动方程为x＝0.04cos3.14t（m），可知开始时摆球在正的最大位移处，在t＝1.2s时，

T

T，摆球正沿正方向做加速运动，加速度正在减小，故C正确；0.25s＝

T，而1.25s＝

T，二者相差半个周期；由于开始时质点位于最大位移处，所以在0.25s时刻和1.25s时刻摆球不在同一位置，故D错误.

变式4

　（多选）物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin100tm，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin100tm.比较A、B的运动（　　）

A.振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10m

B.周期是标量，A、B周期相等，都为100s

C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D.A、B的周期都为6.28×10－2s

答案　CD

解析　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别为3m、5m，A错；A、B的周期均为T＝

＝

s＝6.28×10－2s，A、B的频率均为f＝

＝

Hz，B错，C、D对.

命题点二　简谐运动的图象

1.振动图象提供的信息

（1）由图象可以看出质点振动的振幅、周期.

（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.

（3）可以确定各时刻质点的振动方向.

（4）可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向.

（5）能够比较不同时刻质点的速度、加速度的大小.

2.振动图象的分析方法

（1）首先，要理解位移—时间图象的意义，明确切线斜率的大小等于速度的大小，切线斜率的正负表示速度的方向.

（2）其次，要把位移—时间图象与质点的实际振动过程联系起来，图象上的一个点表示振动中的一个状态（位置、振动方向等），图象上的一段对应振动的一个过程.

（3）解题关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向，读出振幅、周期，算出简谐运动的路程和位移.

例2

　（多选）（2016·浙江4月选考·15）摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同，其振动图象如图5所示.选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面，由图可知（　　）

图5

A.甲、乙两单摆的摆长之比是

B.ta时刻甲、乙两单摆的摆角相等

C.tb时刻甲、乙两单摆的势能差最大

D.tc时刻甲、乙两单摆的速率相等

答案　AC

解析　由题图可知

＝

＝

，又因为T＝2π

，所以摆长之比为

，A正确；由于两摆线长度不同，在ta时刻离开平衡位置位移相等的位置，两个单摆的摆角不相等，B错误；因为甲的摆线短、摆幅大，所以甲上升的最大高度大于乙的，在tb时刻，乙在平衡位置（最低处），而甲在最高处，因此两者的势能差是最大的，C正确；由于甲偏离平衡位置高度差大于乙的，所以甲经过平衡位置时的速度大于乙的，所以D错误.

变式5

　（多选）如图6所示，弹簧振子在M、N点之间做简谐运动.以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴的正方向.若振子位于N点时开始计时，则其振动图象和v－t图象正确的是（　　）

图6

答案　AD

解析　N点在O点的右侧，而本题以平衡位置O为原点，向右为x轴的正方向，振子位于N点开始计时，故0时刻振子在正向最大位移处，将向左运动，即向负方向运动，位移减小，故A正确.而位移最大时速度为零，故D正确.

变式6

　（多选）某单摆做小角度摆动，其振动图象如图7所示，则以下说法正确的是（　　）

图7

A.t1时刻摆球速度最大，摆球向心加速度最大

B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

C.t3时刻摆球速度为零，摆球所受回复力最大

D.t4时刻摆球速度为零，摆球处于平衡状态

答案　BC

解析　由题图读出t1、t3时刻位移最大，回复力最大，速度为零，A错误，C正确；t2、t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，B正确，D错误.

变式7

　（多选）如图8甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动.取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

图8

A.t＝0.8s时，振子的速度方向向左

B.t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处

C.t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度完全相同

D.t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐增大

答案　AD

解析　由题图乙知t＝0.8s时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向左，A正确；t＝0.2s时，振子远离平衡位置运动，速度逐渐减小，应在O点右侧大于6cm处，B错误；t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度大小相同，方向相反，C错误；t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，D正确.

变式8

　（多选）小明在实验室做单摆实验时得到如图9甲所示的单摆振动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置.小明根据实验情况绘制了单摆的振动图象如图乙所示，若图中单摆向右摆动为正方向，g＝π2m/s2，则下列选项正确的是（　　）

图9

A.此单摆的振动频率是0.5Hz

B.根据图乙可知开始计时摆球在C点