高中学年度最新北师大版数学选修23教学案第一章1分类加法计数原理和分步乘法计数原理.docx
《高中学年度最新北师大版数学选修23教学案第一章1分类加法计数原理和分步乘法计数原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中学年度最新北师大版数学选修23教学案第一章1分类加法计数原理和分步乘法计数原理.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中学年度最新北师大版数学选修23教学案第一章1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
§1
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理
1．李娜为了备战2014年澳大利亚网球会开赛，需要从北京到A地进行封闭式训练，每天有7次航班，5列动车．
问题1：
李娜从北京到A城的方法可分几类？
提示：
两类，即乘飞机、乘动车．
问题2：
这几类方法都能完成“从北京到A城”这件事吗？
提示：
都能．
问题3：
李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
提示：
7＋5＝12（种）．
2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名同学担任班长．
问题4：
不同的选法的种数为多少？
提示：
26＋24＝50.
分类加法计数原理（加法原理）
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn种方法.
分步乘法计数原理
1．李娜从北京到A城需在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有5列动车．
问题1：
李娜从北京到A城需要经历几个步骤？
提示：
两个，即从北京到B城，从B城到A城．
问题2：
这几个步骤中的某一步能完成“从北京到A城”这件事吗？
提示：
不能．必须“从北京到B城”“从B城到A城”这两步都完成后才能完成“从北京到A城”这件事．
问题3：
李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
提示：
7×5＝35（种）．
2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名男生和一名女生担任班长．
问题4：
不同的选法的种数为多少？
提示：
26×24＝624.
分步乘法计数原理（乘法原理）
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有
N＝m1×m2×…×mn种方法．
1．分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情．
2．分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．
分类加法计数原理
[例1] 高二·一班有学生50人，男生30人；高二·二班有学生60人，女生30人；高二·三班有学生55人，男生35人．
（1）从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高二·一班、二班男生中，或从高二·三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
[思路点拨]
（1）完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席；
（2）完成的一件事是从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解．
[精解详析]
（1）选一名学生任学生会主席有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班选一名，有50种不同的方法；
第二类，从高二·二班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法．
故任选一名学生任学生会主席的选法共有
50＋60＋55＝165种不同的方法．
（2）选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班男生中选，有30种不同的方法；
第二类，从高二·二班男生中选，有30种不同的方法；
第三类，从高二·三班女生中选，有20种不同的方法．
故选一名学生任学生会体育部长共有
30＋30＋20＝80种不同的方法．
[一点通] 如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总种数．
1．上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有（ ）
A．500种 B．5000种
C．55种D．10种
解析：
选法为10＋20＋25＝55种．
答案：
C
2．（福建高考）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A．14 B．13
C．12D．10
解析：
因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：
①当a＝0时，b可能为－1或0或1或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，（a，b）的个数共有4＋4＋3＋2＝13.
答案：
B
3．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？
解：
依据“十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数字为m，个位数字为n，则有
当m＝1时，n＝0，有1个；
当m＝2时，n＝0,1，有2个；当m＝3时，n＝0,1,2，有3个；……
当m＝9时，n＝0,1,2,3…8，有9个．
所有这样的两位数共有1＋2＋3＋…＋9＝45个.
分步乘法计数原理
[例2]
（1）（山东高考）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
（ ）
A．243B．252
C．261D．279
（2）有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，有不同的取法________种．
[思路点拨]
（1）先排百位，然后排十位，最后排个位．注意百位数字不能为0.
（2）要从盒子里任取红、白、黄小球各一个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故须采用乘法原理．
[精解详析]
（1）十个数字组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有9×9×8＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
（2）完成这件事可分三步：
第一步：
取红球，有6种不同的取法；
第二步：
取白球，有5种不同的取法；
第三步：
取黄球，有4种不同的取法．
根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120种不同的取法．
[答案]
（1）B
（2）120
[一点通] 利用分步乘法计数原理计数的一般思路：
首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完成后，才能完成这件事．
4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为（ ）
A．7B．12
C．64D．81
解析：
要完成长裤与上衣配成一套，分两步：
第一步：
选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；
第二步：
选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．
故共有4×3＝12种不同的配法．
答案：
B
5．将3封信投到4个邮筒，所有投法有（ ）
A．24种B．4种
C．64种D．81种
解析：
分三步完成投信这件事．第一步投第1封信有4种方法，第二步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N＝4×4×4＝64种方法．
答案：
C
6．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
（1）三位数；
（2）三位数的偶数．
解：
（1）三位数有三个数位：
百位，十位，个位，故可分三步完成：
第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；
第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
（2）分三步完成：
第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；
第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数.
两个计数原理的应用
[例3] （12分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．
[思路点拨] 本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类．
[精解详析] 法一：
分为两类：
第一类：
当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种；
第二类：
当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48种．
共有36＋48＝84种．
法二：
分为四步：
第一步：
考虑A，有4种；
第二步：
考虑B，有3种；
第三步：
考虑C，有两类：
一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．
共有4×3×（1×3＋2×2）＝84种．
[一点通] 综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．
7．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为（ ）
A．18B．16
C．14D．10
解析：
分为两大类：
第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标．
由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．
第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标．
由分步乘法计数原理，有4×2＝8个不同的点．
由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N＝6＋8＝14个．
答案：
C
8．有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本．若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有________种不同的选法．
解析：
分为三类，每一类再分两步．
第一类选中文、英文书各一本有7×5＝35种选法，第二类选中文、法文书各一本有7×3＝21种选法，第三类选英文、法文书各一本有5×3＝15种选法，所以总共有35＋21＋15＝71种不同的选法．
答案：
71
9．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：
确定幸运观众可分两类：
第一类：
幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17400种结果；
第二类：
幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有20×30×19＝11400种结果．
根据分类加法计数原理，共有17400＋11400＝28800种不同的结果．
1．两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事有n类不同的办法，关键词是“分类”
完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
升级会员 