热力学统计物理汪志诚答案.docx
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热力学统计物理汪志诚答案
热力学统计物理汪志诚答案
【篇一：
热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】
xt>1.1试求理想气体的体胀系数?
压强系数?
和等温压缩系数?
解：
已知理想气体的物态方程为
?
。
pv?
nrt,
（1）
由此易得
?
?
1?
?
v?
nr1
?
?
（2）?
?
v?
?
t?
ppvt
1?
?
p?
nr1
?
?
（3）?
?
p?
?
t?
vpvt
?
?
?
t?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
.（4）
v?
?
p?
t?
v?
?
p?
p
1?
?
v?
?
1?
?
nrt?
1
1.8满足pv
n
?
c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明：
n?
?
cvn?
1
理想气体在多方过程中的热容量cn为
cn?
解：
根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
?
?
q?
?
?
u?
?
?
v?
cn?
lim?
?
?
p?
?
?
?
?
.
（1）?
t?
0?
t?
?
n?
?
t?
n?
?
t?
n
对于理想气体，内能u只是温度t的函数，
?
?
u?
?
?
?
cv,?
?
t?
n
所以
?
?
v?
cn?
cv?
p?
?
.
（2）
?
?
t?
n
将多方过程的过程方程式pvn?
c与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得
。
（3）tvn?
1?
c1（常量）
将上式微分，有
1/15
所以
v?
?
v?
?
?
.（4）?
?
（n?
1）t?
?
t?
n
代入式
（2），即得
cn?
cv?
pvn?
?
?
cv,（5）t（n?
1）n?
1
其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9试证明：
理想气体在某一过程中的热容量c
多方过程，多方指数n?
cn?
cpcn?
cv
n
如果是常数，该过程一定是
。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：
根据热力学第一定律，有
du?
?
q?
?
w.
（1）
对于准静态过程有
?
w?
?
pdv,
对理想气体有
du?
cvdt,
气体在过程中吸收的热量为
?
q?
cndt,
因此式
（1）可表为
（cn?
cv）dt?
pdv.
（2）
用理想气体的物态方程pv?
vrt除上式，并注意cp?
cv?
vr,可得
（cn?
cv）
dtdv
?
（cp?
cv）.（3）tv
将理想气体的物态方程全式求微分，有
dpdvdt?
?
.（4）pvt
式（3）与式（4）联立，消去
dt
，有t
（cn?
cv）
2/15
dpdv?
（cn?
cp）?
0.（5）pv
令n?
cn?
cpcn?
cv
，可将式（5）表为
dpdv?
n?
0.（6）pv
如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得
。
（7）pvn?
c（常量）
式（7）表明，过程是多方过程。
1.12假设理想气体的c和c之比?
是温度的函数，试求在准静态绝热过程中
p
v
t和v的关系，该关系式中要用到一个函数f?
t?
，其表达式为
lnf（t）?
?
dt
?
?
1t
解：
根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足
cvdt?
pdv?
0.
（1）
用物态方程pv?
nrt除上式，第一项用nrt除，第二项用pv除，可得
cvdtdv
?
?
0.
（2）nrtv
利用式（1.7.8）和（1.7.9），
cp?
cv?
nr,cpcv
?
?
可将式
（2）改定为
1dtdv
?
?
0.（3）?
?
1tv
将上式积分，如果?
是温度的函数，定义
lnf（t）?
?
1dt
（4）?
?
1t
可得
，（5）lnf（t）?
lnv?
c1（常量）
或
f（t）v?
c（常量）。
（6）
3/15
式（6）给出当?
是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中t和v的关系。
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：
假设在p?
v图中两条绝热线交于c点，如图所示。
设想一等温线与
两条绝热线分别交于a点和b点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程abca中，系统在等温过程ab中从外界吸取热量q，而在循环过程中对外做功w，其数值等于三条线所围面积（正值）。
循环过程完成后，系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律，有
w?
q。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
第二章均匀物质的热力学性质
2.2设一物质的物态方程具有以下形式：
p?
f（v）t,
试证明其内能与体积无关.
解：
根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
故有
4/15
p?
f（v）t,
（1）
?
?
p?
?
?
?
f（v）.
（2）?
t?
?
v
但根据式（2.2.7），有
?
?
u?
?
?
p?
?
t?
?
?
?
?
p,（3）?
?
v?
t?
?
t?
v
所以
?
?
u?
?
?
?
tf（v）?
p?
0.（4）?
v?
?
t
这就是说，如果物质具有形式为
（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.
2.3
求证：
（a）?
?
?
0;（b
?
?
p?
h
?
?
s?
?
?
s?
）?
?
?
?
?
v?
u
0.
解：
焓的全微分为
dh?
tds?
vdp.
（1）
令dh?
0，得
内能的全微分为
令du?
0，得
p?
?
s?
?
?
0.（4）?
?
?
vt?
?
u
du?
tds?
pdv.（3）
?
?
s?
v
?
?
?
0.
（2）?
?
t?
?
p?
h
2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在
节流过程中的温度降落.
解：
气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数
?
?
t?
?
?
t?
和?
?
?
?
描述.熵函数s（t,p）的全微分为?
?
p?
s?
?
p?
h
?
?
s?
?
?
s?
ds?
?
dt?
?
?
dp.?
?
t?
?
p?
?
p?
t
5/15
【篇二：
热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】
?
?
。
解：
已知理想气体的物态方程为pv?
nrt,由此易得?
?
1?
?
v?
nr1
?
?
?
?
v?
?
t?
ppvt
?
?
1?
?
p?
nr11?
?
v?
?
1?
?
nrt?
1
?
?
?
?
?
?
?
t?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
.
p?
?
t?
vpvtv?
?
p?
t?
v?
?
p?
p
11
?
t?
，试求物态方程。
tp
解：
以t,p为自变量，物质的物态方程为v?
v?
t,p?
1.2证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?
及等温压缩系数?
?
，根据下述积分求得：
lnv=
其全微分为dv?
?
?
?
v?
dv1?
?
v?
1?
?
v?
?
?
v?
v
（1）全式除以，有dt?
dp.?
dt?
?
?
?
?
dp.?
?
?
?
t?
pvv?
tv?
p?
?
p?
?
p?
?
t?
?
t
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（2）上式是以t,pv
根据体胀系数?
和等温压缩系数?
t的定义，可将上式改写为
为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnv?
?
?
?
dt?
?
t
dp?
.（3）若
?
?
?
1111?
?
t?
，式（3）可表为lnv?
?
?
dt?
dp?
.（4）选择图示的积分路线，从（t0,p0）积tpp?
?
t
vtp
?
即,v0t0p0
分到?
t,p0?
，再积分到（t,p），相应地体积由v0最终变到v，有ln
11pvp0v0
，或pv?
ct.（5）式（5）就是由所给?
?
?
t?
求得的物态方?
?
c（常量）
tptt0
程。
确定常量c需要进一步的实验数据。
1.3简单固体和液体的体胀系数?
和等温压缩系数?
t数值都很小，在一定温度范围内可以把?
和?
t看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为v（t,p）?
v0?
t0,0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
tp?
?
.解:
以t,p为状态参量，物质的物态方程为v?
v?
t,p?
.根据习题1.2式
（2），有
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在?
和?
t可以看作v
常
量
的
情
形
下
，
有
ln
v
?
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
v0
（2）或
v?
t,p?
?
v?
t0,p0?
e
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
.（3）考虑到?
和?
t的数值很小，将指数函数展开，
准确到?
和?
t的线性项，有v?
t,p?
?
v?
t0,p0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
?
?
.（4）如果取p0?
0，即有v?
t,p?
?
v?
t0,0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
tp?
?
.（5）
1.7小匣题解：
将冲入小匣的气体看作系统。
系统冲入小匣后的内能u与其原来在大气中的内能u0
由式（1.5.3）u?
u0?
w?
q
（1）确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，q?
0.过程中外界对系统所做的功可以分为w1和w2两部分来考虑。
一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由v0变为零。
由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。
过程中大气对系统所做的功为w1?
?
p0?
v?
p0v0.
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则w2?
0.因此式
（1）可表为u?
u0?
p0v0.
（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有p0v0?
nrt,（3）
u0?
u?
cv（t?
t0）?
nr
（t?
t0）?
?
1
（4）式中n是系统所含物质的量。
代入式
（2）即有t?
?
t0.（5）活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，其物态方程为p0v?
nr?
t0.（6）与式（3）比较，知v?
?
v0.（7）
1.8满足pvn?
c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明：
理想气体在多方过程中的热容量cn为cn?
n?
?
cvn?
1
解：
根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
?
?
q?
?
?
u?
?
?
v?
cn?
lim?
?
?
p?
?
?
?
?
.
（1）对于理想气体，内能u只是温度t的函数，?
t?
0?
t?
?
n?
?
t?
n?
?
t?
n?
?
u?
?
?
v?
n
所以?
c,c?
c?
pvnv?
?
?
?
.
（2）将多方过程的过程方程式pv?
c与理想气体的物
?
?
t?
n?
?
t?
n
态方程联立，消去压强p可得tvn?
1?
c1（常量）。
（3）将上式微分，有vn?
1dt?
（n?
1）vn?
2tdv?
0,所以?
vpvn?
?
?
?
v?
c?
c?
?
cv,（5）其中用了式（4）代入式
（2），即得?
?
.nv?
t（n?
1）n?
1（n?
1）t?
?
t?
n
（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9试证明：
理想气体在某一过程中的热容量
cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数
n?
cn?
cpcn?
cv
。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：
根据热力学第一定律，有du?
?
q?
?
w.
（1）对于准静态过程有?
w?
?
pdv,对
理想气体有du?
cvdt,气体在过程中吸收的热量为?
q?
c,因此式
（1）可表为ndt
（cn?
cv）dt?
pdv.
（2）用理想气体的物态方程pv?
vrt除上式，并注意cp?
cv?
vr,可
得（cn?
cv）
dtdvdpdvdt
?
（cp?
cv）.?
?
.（3）将理想气体的物态方程全式求微分，有（4）tvpvt
dt
，有t
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