综上，m的取值范围是（－∞，4]．
（2）A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）·（－2）＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）·（－2）＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.
答案
（1）（－∞，4]
（2）1或2
规律方法
（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
【训练2】
（1）已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．A＝BB．A∩B＝∅
C．A⊆BD．B⊆A
（2）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．
解析
（1）A＝{x|x＞－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：
B⊆A.
（2）由log2x≤2，得0＜x≤4，
即A＝{x|0＜x≤4}，
而B＝{x|x＜a}，
由于A⊆B，如图所示，则a＞4.
答案
（1）D
（2）（4，＋∞）
考点三 集合的基本运算
【例3】
（1）（2014·新课标全国Ⅱ卷）已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{2}
C．{0}D．{－2}
（2）（2014·江西卷）设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．（－3,0）B．（－3，－1）
C．（－3，－1]D．（－3,3）
解析
（1）B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，
∴A∩B＝{2}．
（2）∵A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，
B＝{x|－1＜x≤5}，
∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}，
∴A∩（∁RB）＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．
答案
（1）B
（2）C
规律方法
（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.
【训练3】
（1）已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（ ）
A．{1,2,4}B．{2,3,4}
C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}
（2）（2014·四川卷）已知集合A＝{x|（x＋1）（x－2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（ ）
A．{－1,0}B．{0,1}
C．{－2，－1,0,1}D．{－1,0,1,2}
解析
（1）∁UA＝{0,4}，∴（∁UA）∪B＝{0,2,4}．
（2）∵A＝{x|－1≤x≤2}，B为整数集，
∴A∩B＝{－1,0,1,2}．
答案
（1）C
（2）D
微型专题 集合背景下的新定义问题
以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力．解决此类问题，要从以下两点入手：
（1）正确理解创新定义．分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．
（2）合理利用集合性质．运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．
【例4】（2014·青岛质检）设集合M＝
，N＝
，且M，N都是集合{0|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ）
A.
B．
C.
D．
点拨 先理解集合的“长度”，然后求M∩N的“长度”的最小值．
解析 由已知，可得
即0≤m≤
；
即
≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝
，N＝
.所以M∩N＝
∩
＝
.此时集合M∩N的“长度”的最小值为
－
＝
.故选C.
答案 C
点评 本题的难点是理解集合的“长度”，解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联系，把此类问题转化成熟悉的问题进行求解.
[思想方法]
1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．
2．求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意的是：
首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集（真子集）个数的好方法，使用时应做到不重不漏．
3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图，这是数形结合思想的又一体现．
[易错防范]
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．
2．空集不含任何元素，但它是存在的，在利用A⊆B解题时，若不明确集合A是否为空集时应对集合A的情况进行分类讨论．如例2
（1）“错解1：
由
解得－3≤m≤4；错解2：
由
解得2＜m≤4，错因都是对集合B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}”认识不清．
3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
基础巩固题组
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．（2014·湖北卷）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝（ ）
A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}
C．{2,4,7}D．{2,5,7}
解析 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}＝{2,4,7}．
答案 C
2．（2014·广州综合测试）已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2－x＝0}，则集合A∩B的子集个数为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析 ∵B＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，
∴A∩B＝{0,1}，
∴A∩B的子集个数为4.
答案 B
3．（2015·贵阳监测）若集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则集合A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1,2}
C．{－1,1,2}D．{－1,1，－2}
解析 ∵A＝{－1,1}，B＝{1,2}，
∴A∪B＝{－1,1,2}．
答案 C
4．（2014·山东卷）设集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．（0,2]B．（1,2）
C．[1,2）D．（1,4）
解析 ∵A＝{x|x2－2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}∩{x|1≤x≤4}＝{x|1≤x＜2}．
答案 C
5．（2014·武汉检测）设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是（ ）
A．P⊆QB．Q⊆P
C．P＝QD．P∪Q＝R
解析 由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以P⊆Q，故选A.
答案 A
6．设集合A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，则A∩B＝（ ）
A．（2,3]B．（－∞，－1）∪（0，＋∞）
C．（－1,3]D．（－∞，0）∪（2，＋∞）
解析 借助数轴得：
∴A∩B＝（2,3]．
答案 A
7．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（ ）
A．{－1,0,1}B．{－1,1}
C．{－1,0}D．{0,1}
解析 因为A＝{1，－1}，当a＝0时，B＝∅，适合题意；当a≠0时，B＝{
}⊆A，则
＝1或－1，解得a＝1或－1，所以实数a的取值集合为{－1,0,1}．
答案 A
8．（2015·长沙模拟）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：
{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.
答案 D
二、填空题
9．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则集合（∁UB）∩A＝__________.
解析 ∵∁UB＝{x|x≤1}，∴（∁UB）∩A＝{x|0＜x≤1}．
答案 {x|0＜x≤1}
10．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__________．
解析 由题意得a＋2＝3，则a＝1.此时A＝{－1,1,3}，B＝{3,5}，A∩B＝{3}，满足题意．
答案 1
11．（2013·山东卷改编）已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩（∁UB）＝__________.
解析 由题意知A∪B＝{1,2,3}，
又B＝{1,2}，∴∁UB＝{3,4}，
∴A∩（∁UB）＝{3}．
答案 {3}
12．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为__________．
解析 根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
答案 4
能力提升题组
（建议用时：
15分钟）
13．（2015·皖南八校联考）设集合M＝{（x，y）|y＝lgx}，N＝{x|y＝lgx}，则下列结论中正确的是（ ）
A．M∩N≠∅B．M∩N＝∅
C．M∪N＝ND．M∪N＝M
解析 因为M为点集，N为数集，所以M∩N＝∅.
答案 B
14．已知集合A＝{（x，y）|y＝log2x}，B＝{（x，y）|y＝x2－2x}，则A∩B的元素有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析 在同一直角坐标系下画出函数y＝log2x与y＝x2－2x的图象，如图所示：
由图可知y＝log2x与y＝x2－2x图象有两个交点，则A∩B的元素有2个．
答案 B
15．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（ ）
A．（0,1]B．[1，＋∞）
C．（0,1）D．（1，＋∞）
解析 A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2＞0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}＝（0，c），因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.
答案 B
16．已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝{y|y＝
，x＞2}，则∁UP＝__________.
解析 ∵U＝{y|y＝log2x，x＞1}＝{y|y＞0}，
P＝{y|y＝
，x＞2}＝{y|0＜y＜
}，
∴∁UP＝{y|y≥
}．
答案 {y|y≥
}
17．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}，若C∩A＝C，则a的取值范围是__________．
解析 因为C∩A＝C，所以C⊆A.
①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－
；
②当C≠∅时，要使C⊆A，则
解得－
＜a≤－1.
答案 （－∞，－1]
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