届中考数学重难点几何全套第2讲共顶点模型有详细解答.docx

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届中考数学重难点几何全套第2讲共顶点模型有详细解答

第二讲共顶点模型

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下：

（1）寻找公共的顶点

（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边

（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形

*常见结论：

连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

典题探究启迪思维探究重点

例题1.以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使

得一直角边重合，连接BD、CE．

（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；

（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，

（1）、

（2）中的结论是否仍成立？

请说明理由．

变式练习>>>

1.已知：

如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）求证：

BD=AE．

（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．

例题2.如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在

△ADB内，求证：

CD与EF互相平分.

变式练习>>>

2.已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，

QAE和RAB，求证：

P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

例题3.在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF.

（1）如图1，求证：

BF=AF+FC，EF=DF+FC；

（2）如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则

（1）的结论是否成立？

若不成立，写出正确结论并证明.

例题4.【问题探究】

（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD

和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系　　　；（不必证明）

【深入探究】

（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　　　；（不必证明）

线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；

【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．

例题5.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．

①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

达标检测领悟提升强化落实

1.如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连

接GH.求证：

GH∥BE.

2.如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：

NC∥AF.

3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：

AB2+DE2=AD2+BE2.

4.如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.

5.【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以

A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那

BD与CE的数量关系是　　．

【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．

【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD的最大值．

6.已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形

ADE，直线CE交直线l于点F．

（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：

DF=CE﹣CF；

（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；

（3）在

（1）、

（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，则CF=　　．

答案

例题1.以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使

得一直角边重合，连接BD、CE．

（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；

（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，

（1）、

（2）中的结论是否仍成立？

请说明理由．

【解答】解：

（1）CE＝BD，理由如下：

∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

∴AE＝AD，AC＝AB，

在△EAC与△DAB中，

，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴CE＝BD；

（2）∵△EAC≌△DAB，

∴∠ECA＝∠DBA，

∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，

∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，

∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；

（3）成立，

∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

∴AE＝AD，AC＝AB，

在△EAC与△DAB中，

，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴CE＝BD；

∵△EAC≌△DAB，

∴∠ECA＝∠DBA，

∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，

∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，

∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．

变式练习>>>

1.已知：

如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．

（1）求证：

BD＝AE．

（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．

【解答】解：

（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD＝AE；

（2）由

（1）得：

△BCD≌△ACE，

∴∠CBD＝∠CAE，

∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，

∴∠EAC+∠APD＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴∠BAH+∠ABD＝90°，

∵∠DAE＝∠ABD，

∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，

∵AB＝8，AD＝6，

∴BD＝AE＝10，

∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．

例题2.如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在

△ADB内，求证：

CD与EF互相平分.

变式练习>>>

2.已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，

QAE和RAB，求证：

P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

【解答】解：

连接BP，

∵△ABC和△PCD都为等边三角形，

∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，

∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD＝BP，

又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，

∴R，A，Q三点共线，

又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，

∴R，B，P三点共线，

又AQ＝AE＝AD＝BP，

∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，

又∠R＝60°，

∴△PQR是等边三角形，

则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

例题3.在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.

（1）如图1，求证：

BF=AF+FC，EF=DF+FC；

（2）如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则

（1）的结论是否成立？

若不成立，写出正确结论并证明.

例题4.【问题探究】

（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD

和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系　CD＝BE　；（不必证明）

【深入探究】

（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　BC＝CE+CD　；（不必证明）

线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；

【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

【解答】解：

（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，

∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，

在△DAC和△BAE中，

∵

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴CD＝BE，

故答案为：

CD＝BE．

（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∵

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，

又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，

∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，

∴CD2+CE2＝DE2，

∵BD＝CE，DE＝

AD，

∴CD2+BD2＝2AD2．

故答案为：

BC＝CE+CD．

例题5.如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．

（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．

①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

【解答】解：

（1）AD+DE＝4，

理由是：

如图1，

∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，

∴AD+DE＝BC＝4；

（2）①补全图形，如图2，

设DE与BC相交于点H，连接AE，

交BC于点G，

∵∠ADB＝∠CDE＝90°，

∴∠ADE＝∠BDC，

在△ADE与△BDC中，

，

∴△ADE≌△BDC，

∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．

∵DE与BC相交于点H，

∴∠GHE＝∠DHC，

∴∠EGH＝∠EDC＝90°，

∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，

∴EF＝CB＝4，EF∥CB，

∴AE＝EF，

∵CB∥EF，

∴∠AEF＝∠EGH＝90°，

∵AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠AFE＝45°，

∴AF＝

＝4

；

达标检测领悟提升强化落实

1.如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连

接GH.求证：

GH∥BE.

2.如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：

NC∥AF.

3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：

AB2+DE2=AD2+BE2.

4.如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.

5.【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以

A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那

BD与CE的数量关系是　BD＝CE　．

【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．

【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．

【解答】【发现问题】

解：

延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，

在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；

连接BD、CE，如图1所示：

∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，

∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAD＝∠EAC，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE，

故答案为：

BD＝CE；

【拓展探究】

解：

BD＝CE；理由如下：

∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，

∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAD＝∠EAC，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE；

【解决问题】

解：

以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：

则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，

∵AD＝CD，∠ADC＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠CAD＝60°，AC＝AD，

∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，

即∠BAD＝∠EAC，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE；

当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，

∴BD的最大值为23．

6.已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．

（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：

DF＝CE﹣CF；

（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；

（3）在

（1）、

（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝　2或6　．

【解答】

（1）证明：

如图①中，设AD交EF于O．

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，

∵∠AOE＝∠FOD，

∴∠OFD＝∠OAE＝60°，

∵AB⊥BC，

∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，

∴∠CBF＝30°，

∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，

∴∠FBC＝∠FCB＝30°，

∴CF＝BF，

∴DF＝CE﹣CF

（2）如图图②中，结论：

DF＝CF﹣CE．图③中，结论：

DF＝CE+CF；

如图②中，∵△ABD≌△ACE，

∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，

∵∠ADB+∠ADF＝180°，

∴∠AEF+∠ADF＝180°，

∴∠DAE+∠DFE＝180°，

∴∠DFE＝120°，

∴∠FBC＝∠FCB＝30°，

∴FB＝FC，

∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．

（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，

∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，

∴x＝2∴CF＝2．

②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，

∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，

∴x＝6，∴CF＝6，

综上所述，CF＝2或6．

故答案为2或6．