直接开平方法.docx

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直接开平方法

“直接开平方法解一元二次方程”

教学教案

姓名：

季耀亮

单位：

宜兴市桃溪中学

学科：

初中数学

直接开平方法解一元二次方程”教学教案

一、教案内容说明：

我所讲的“直接开平方法解一元二次方程”属于苏教版义务教育课程标准实验教材九年级上册第一章的内容，共8课时。

本节为一元二次方程解法的起始课。

一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。

首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。

因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。

二、本节课的指导思想：

新课标指出：

数学教学应该实现人人学必需的数学，人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展。

同时数学教学活动应建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，提高数学学习兴趣和问题解决能力。

三、教学目标设计知识与技能目标：

1、使学生知道形如x2=a（a>0）的一元二次方程可以用直接开平方法求解；

2、使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；

3、使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。

过程与方法目标：

在学习与探究中使学生体会“化归”、“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法。

情感、态度、价值观：

使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值。

重点:

使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。

难点：

探究（x—m）2=a的解的情况，培养分类讨论的意识。

四、教学方法和教学手段的选择

教学方法：

教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、

分层评价

说明：

基于学生对数的平方根”及一元二次方程的概念”掌握较好，本节以教师引导，学生合作探究、分层教学、分层评价的学习方式为主。

为了保证交流与探究的有效性，我首先将学生以6人一组分为6

个小组，每组中均照顾了优中低各个水平的学生，任命优类同学或组

织能力较强的同学为组长，便于学生在交流中相互启发，互相帮助。

教学手段：

计算机及计算器辅助教学

五、教学过程设计：

激趣引入-复习诊断-探究新知-巩固应用-深化提高-学习小结

—分层检测—分享收获

六、教学过程：

（1）激情引趣：

市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，请问这块绿地的边长增加了多少米？

（结果保留一位小数）你能通过一元二次方程解决这个问题吗？

解：

设这块绿地的边长增加了x米。

根据题意得：

（15+x）2=300

设计意图：

这里从学生身边的实际问题引出学习内容，让学生体会数学与生活的紧密联系，同时明确本

节课的学习任务。

（2）复习与诊断

1、如果有则x叫a的平方根，也可以表示为x=。

2、将下列各数的平方根写在旁边的括号里

A:

9（）;5（）;49（）；

B:

8（）;24（）;3（）；

C：

3（）；1.2（）

3、x2=4,则x=.

想一想：

求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？

（3）探究新知

探究

（1）：

1、解一元二次方程x2=5,m2=16,x2-121=0。

2、你能求出一元二次方程-x2+3=0和x2+仁0的解吗？

若能请写出求解迏程，若不能说明为什么。

3、观察前面可以求解的一元二次方稏皆二次项系数与常数项的符号有何共同规律？

设计意图：

笼1题是基础，同时练习了方程的求解；2题是关键；3题是本环节探究的目纄。

通过实践、观察渎交浃使孧生体会当丈元二次方笋二次项系数与常数？

的符号互为异号时，方程有解，且有两个解，且这样的方程都可以化帺x=a（a>0）的形式。

探究，2）:

9x2=16都可以怎样求解？

你们小组认为哪种解法更简便？

设计意图：

使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式；培养学生思维的灵活性、决策能力以及善于思考、勇于质疑的精神。

说明：

在探究中要给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相

碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融。

在探究过程中教师应适当巡视，适时指导点播，保

证各小组探究学习的有效性。

同时，教师应及时评价。

如在学生出现了不同解法时教师首先

都应给予表扬和肯定，有的学生可能会出现第3种解法，教师应给予鼓励并恰当引导，从而激发学生学习的积极性，培养思维的灵活性和开放性。

最后教师可引导学生此种方程用方法

1更简便。

学生出现了以下解法：

解法1:

9x2=16

216

X=—

9

44

X1=,X2=-.

33

2

解法2:

9x=16

2

（3x）=16

3x=±4

44

X1=—,X2=

33

当3x-4=0时，X2=

3

探究（3）:

1、一元二次方程（a-8）2=25与x2=4的形式有何联系？

2、对比x2=4的求解过程，一元二次方程（a-8）2=25该如何求解?

试解出此方程。

设计意图：

通过对（a-8）2=25的探究帮助学生体会换元的数学思想及类比的学习方法；同时更加深入而准确的理解直接开平方法适用的一元二次方程x2=m（m>0）的形式。

小结：

直接开平方法适用于x2=a（a>0）形式的一元二次方程的求解。

这里的x既可以是字母，

单项式，也可以是含有未知数的多项式。

换言之：

只要经过变形可以转化为x2=a（a>0）形式

的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。

（4）巩固应用

例：

解一元二次方程

1、2（X-8）2=50

2、（2x-1）2-32=0

设计意图：

师生一起解方程，一方面帮助学生掌握并巩固一元二次方程的解法，同时通过教师规范

的板书引导学生不仅要会解方程还要注意正确的解题格式。

（五）深化提咼

1、小试身手：

判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并说明理由

（1）

x2=2

（

）

（2）

p2-49=0

（

）

（3）

6x2=3

（

）

（4）

（5x+9）2+16=0

（

）

（5）

121-（y+3）2=0

（

）

让学生选择上题中的一两个

兀二次方程进行求解，

在小组中互相交流。

教师在来回巡

查。

设计意图：

通过本环节的练习，深化学生对直接开平方法使用范围的正确理解，为学生在其它方程

解法学习后做出正确选择奠定基础；

同时让学生自主选题，分层练习，分层指导，既巩固了新知，又让每个学生都有所发展；以小组形式互批互改，互帮互助，便于更好的发挥学生资源及合作精神.

2、明察秋毫。

下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他

解的对吗？

如果有错，指出具体位置并帮他改正。

（-y+1）2-5=0

3

解：

（丄y+1）2=5

3

-y+1—5（）

3

1

y=5-1

3

y=3亦-1（）

3、实力比拼

探究（x-m）2=a的解的情况。

（x—m）2=a

当av0时,此一元二次方程无解.

当a>0时，x—m=±a

X1=m+aX2=m-a

设计意图：

通过合作探究使学生

1•深刻理解直接开平方法的使用条件，培养分类讨论的数学思想

2.进一步提高问题解决能力

4、完成课前的实际问题

经城市规划，需扩大

市区内有一块边长为15米的正方形绿地,

绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块

绿地的边长增加了多少米？

（结果保留一位小数）

解：

设这块绿地的边长增加了x米。

根据题意得：

（15+x）2=300

解方程得x=1OV3,x~2.3

答：

这这块绿地的边长增加了2.3米。

在解决问题中体会学习的价值，感受学习的快乐与成功

（六）小结:

想想以上我们主要学习了什么内容？

你觉得在解决问题中我们都应该注意什么？

1.直接开平方法的概念及依据；

2•直接开平方适合的一元二次方程的形式；

3•直接开平方法解一元二次方程应注意的问题如计算的准确性，有分类讨论的意识等；

4•转化、化归、分类、类比的数学思想和方法

（七）桃溪中学数学学科导学案

课题：

1.2一元二次方程的解法

（1）直接开平方法设计人：

季耀亮

姓名：

班级：

评价

课前参与：

（一）知识复习：

1、如果，则x叫做a的平方根，可以表示为x=。

2、将下列各数的平方根写在旁边的括号里

9（）；5（）；詈（）；

8（）；24（）；136（）；

3、x2=4,贝Ux=.

想一想：

求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？

（二）尝试练习：

利用直接开平方法，求下列方程的解

2222

（1）x=4

（2）x=2（3）2x-5=1（4）（x-1）=0

（三）知识归纳：

1、如果一个一元二次方程具有的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

2、用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化成一个式,

右边

化为。

3、解题思想：

（四）通过预习，你学到了那些知识？

还有什么疑惑吗？

（二）课中参与：

例1•解方程

（1）X23=28⑵

2

3x—27=0

2

（3）2y=0

（4）（x5）2=3

练习：

解方程：

（1）4x2=9

（4）（x2）2_16二0

（5）2（x-3）2=8

2

（2）（2X-1）=4

⑸2（x■2）2-16=0

例2.已知关于x的一元二次方程

值。

（6）〕（3x—1）2一8=0

2

2

（3）3（y-3）=147

（6）（5-2x）2=9（x3）2

22

（m-1）x3xm-1=0=0有一根为0,求m.的

课后练习：

1.在实数范围内定义一种运算“*”其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,

方程

（x-4）*4=0的解为

2、（2014枣庄）x2是一元二次方程

2

3（x-1）二15的两个解，且X1：

：

：

X2，下列说法正

是1

（）

A

X1小于-1，

X2大于3

C

x1>x2在-1

和3之间

3、

若a2b2

-12=16，则a

A

5B

、-3

4、

已知关于

X的一元二次方程

确的

B

D

2

C

、X1小于-2，X2大于

x1、x2都小于3

的值为（

、-3或5

、-7或9

5、（2014济宁）若一元二次方程

2

（x-1）■m=0有两个实数根，则

m的取值范围是

2

ax=b（ab-0）的两个根分别是

m+1与2m-4，则m=-

6、（2014内江）若关于x的方程mx2亠k=0

X2=2，则方程m（x_3（