XixAyAz也t
（2—2—4）
（2—2—5）
设（为立方体内土壤含水率，则在At时间内立方体内质量变化又可写为
也m=P—也X也gz也t
Ct
根据质量平衡原理（流入量—流出量=储存量变化量），式（3—2-4）、式（3—2—5）
应相等，即
ct
氐丿
根据达西定律得:
vxhW焊
cx
Vy
一k®焊
cy
Vz=—k（8）—
cz
（2-2-7）
式中k（e--土壤水力传导度，为含水率的函数；
H--总士水势，为基质势与重力势之和（H=h+Z）。
因此，式（2—2—6）可以写作以下形式：
Jk帕芒H
cx
cH
&
cz
（2-2-8）
上式可以简写为
（2-2-9）
式（2—2—8）或式（2—2—9）为土壤水分运动基本方程。
在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。
水力传导度也为常量，程（2—2—8）可写为
常称渗透系数，则方
ex2
c2H
虽。
cz2
（2—2-10）
或写作
V2H
=0
（2—2—10）
-2朋
厶+丄+旦
-.2_2_2
exdycz
（2—2—11）
式中：
▽2拉普拉斯算子。
式（2—2—10）或式（2—2—10‘）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。
、基本方程的不同形式
为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。
为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。
（一）以含水率伪变量的基本方程
由式（2—2—8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为
Ct
（2—2—12）
式中：
H--总士水势；
Z--为水流方向坐标，
因为H=h十Z,所以上式可写作
取z向上为正。
我dz自」cz
式（2—2—13）为以（为变量的基本方程，将
——代入式（2—2—13）得:
唸cz
盘在L胡也」也
令k（&）—=Dp），则式（2—2—13）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程）：
C0
色丄be）织+凹
戲<2L&」沆
（2—2—14）
尸9
在水平运动的情况下，重力项等于0,所以Vx=-D（£，其形式与
ex
同。
式（2—2—14）具有扩散方程的形式，故将D（0）称为扩散度。
Fick扩散定律相
（2—2—14
Fick定律：
自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick定律：
._CC
J=—D—
ex
式中：
J为溶质的扩散通量；
D为溶质的扩散系数；
点c
为溶质的浓度梯度。
ex
（二）以基质势
coCO
ch
由于
h为变量的基本方程
也=c（h弹
a-
则式（2—2—14）
可以写成:
式中：
c
c（h严
如）
Ctcz[_L
（2—2—15）
（h）--比水容量（也称容水度），c（h）
詈，表示单位基质势变化时含
水率变化。
（三）以参数V为因变量的基本方程
h
采用Kirchhoff变换，令v=「k（i『k（TM=1
'hc/札V'hc
hc
h
fk（idi
cv1.
——=—k（h）chV
V=广k（td
‘hc
由式（2-2-15）得：
胡由
cz
胡ch点v
chcvct
点〔k（h）色仝1
Lcv<5z」來（h）和刃
十dzchcvcz
geVcv和k（h）戲
「Vcv
*r）kg
冰（h）V3dhk（h）&
Y吩
ct
-.2-
Cv,,cv
十X（v）-
CZCZ
（2—2-16）
式中hc--土壤的进气值，即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值。
話喘;XW由響
在非饱和区:
1h
v=fk（tJdT<0
Vhc
在饱和区:
且因为c（h）="=0
ch
冰6）=0
ch
所以
Y（v）=O;X（v）=O
-2
则方程式（2—2—16）为：
牟=0
CZ
（四）以位置坐标Z为变量的土壤水运动方程
以Z为变量，则Z为0t的函数，Z（0,t）为未知函数。
已知0=0（乙t）,当兰K0
CZ
处，可以解出Z=Z（0,t）,即[14]
Z-z（6（z,t）0=0
对Z,t分别求导数:
CZ少
1=0,
coCZ
CZ创CZ
———=0
C0ct可
于是
cZCZ
ct
cZ
C0
将以上式子代入方程（2-2-14）得:
C0
ge1十ck（e）
cz
Lz」
cZ
Sz
胡严/書
ck前
+
C日点Z
C0
d（Z
£「D（卅亘〕潞+來胡
/cQ}CZcQCZ
cQV
cz
（2—2—17）
（五）以参数u为因变量的土壤水运动方程
日/s1
定义u「£D（8d9/.bD（Td「='
式中：
q--初始含水率;
U諾D^d日；
日S—饱和含水率。
由式（2-2-14）得:
C0
Ct
CZ
cu
cu
Ct
忘b（日严
cz^cu
CZ
ck
c0
cocu
r\---I
cuct
将"u
ce
1
=D（8代入上式得:
「旦宀旦1+空
cu
L、J--.2■_!
L、
所以
^=D^屮+空Q
—**C2L.f、.-.
Ctczcocz
以上各式中式（2—2—14）、式（2—2—15）是二种经常米用的形式，形式的选定取决
于要解决问题的边界条件和初始条件。
以含水率0为因变量的基本方程常用于求解均质土层
或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或求解饱和一非饱和流问题不适
用；以负压水头h为因变量的基本方程是应用较多的一种形式，可适用于饱和一非饱和水流求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率k（h）及容水度c（h）,
受滞后影响较大，计算中参数选取不当会造成较大误差；以V,u为因变量基本方程实际上分
别相当于以负压水头h和含水率0为因变量的基本方程，在某些情况下由于经代换后方程较为简单，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动问题。
求解某些土壤水分运动问题时，采用柱
以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程，
坐标系可能更方便。
第二节柱坐标系中土壤水分运动基本方程
在推导柱坐标系中的基本方程时，方法同直角坐标系，同样可用达西定律与连续方程相
结合的方法导出。
若以z轴为轴的柱坐标系，根据达西定律，在此坐标系中可表示为：
q^-k^）—
cr
qz=_k（e）型cz
式中：
r、0、z—分别表示柱半径，角坐标和垂直坐标（图qr、q0、qz--相应于r、/z三个方向的通量；H——总水势。
呼；*m
a*FAfl,
黒2-2-2柱坐标系中单元怵（以Z为轴）
F面利用质量守恒来推导连续方程。
△t时段内，在r方向的流入量为qrrz△t,流出量为
qr+—iririWiz总tIer丿
（2-2-19）
同理，在0方向流入流出量之差为
（2-2-20）
在z方向土壤水分流入流出量之差为
（2-2-21）
qr
X
+旦-Ari（r+Ar④Azit，则流入与流出量之差（忽略高阶无穷小量）为次丿
上述三个方向流入和流出单元体的水量差总计为
-qr+r
X
Fr靜cz丿
（2-2-22）
单元体体积应为Ir
+—IrAMz，略去高阶无穷小量后为
2丿
内单元体内水分增量为
c0
一ir也®卫z也t
a
根据质量守恒原理武（3—2—22）应与式（3—2—23）相等，即
（2-2-23）
色一I+零丄空+JqJ
aIr"crr5®Wz丿
（2-2-24）
式（2—2—24）为柱坐标系中土壤水分运动的连续方程。
将式（即得柱坐标系中土壤水分运动基本方程：
2-2—18）代入上式,
卩半詈+mk和計訂
（2-2-25）
以总水势H=h+z，水容度c=—，以及导水率k（0）,扩散度D（0）等代入，基本方dh
程可表示为
C0
（2-2-26）
1点「f拒农日"［丄1点「f加I胡1丄令「Ia—1环严⑴石］”药严）亦J刁
对于平面轴时称问题，上式可改写为
同理可推得以x（或y）轴为轴的柱坐标系的基本方程:
竺二耳恥）苗」上U）幻盘rdr[cr」r2郃P「丿严-
1+cos申
即」cr
冰（8）Sin®冰（日）+gTp伶止
c0
（2-2-27）
关于球坐标系中的基本方程应用较少，推导方法同上，这里不再论述。
第三节土壤水分运动基本方程的定解条件
土壤水运动基本方程的定解条件包括初始条件和边界条件，为了简单起见，标系中基本方程常用形式为例进行论述。
（一）初始条件
相应于前式（2—2—14）、式（2—2—15）的初始条件分别以下式表达:
将以直角坐
9（z,0）=9j（z）
（2-2-28）
h（z,0）=hi（z）
（2-2-29）
脚标“i”表示初始已知量。
初始条件：
t=0时剖面上B、h的分布已知。
（二）边界条件
边界条件一般有一类边界、二类边界、三类边界三种。
1•一类边界条件（变量已知的边界ri）
对干式（2-2—14）、式（2—2—15）的一类边界的表达式为
日（zo,t）=To（t）
（2-2-30）
h（zo,t）=ho（t）
（2-2-31）
脚标“0”均表示一类边界上的值；Z0为一类边界的坐标。
在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生在压力入渗
表含水率达到饱和含水率，或当强烈蒸发时，表土达到风干土含水率的情况。
2•二类边界条件（边界r2上水流通量已知的情况）相应于式（2—2—14）、式（2—2—15）表达式为
C0—D®）-+ke）|i2=s（t）cz
cz
式（2—2—32）及式（2—2—33）中，均假设垂直坐标z
（地表形成水层）时，地
（2-2-32）
（2-2-33）
向下为正。
在一维垂向土壤水分运动中，这种情况常发生在降雨、灌水入渗或蒸发强度已知的边界。
在降雨或灌水入渗时，£（t）为正值，在蒸发时£（t）为负值。
在不透水边界和无蒸发入渗的边界，£（t）=0,则式（2—2—32）、式（2—2—33）
分别为
F日
（2-2-33
D®）J=ke）k（h）学=k（h）
cz
3.三类运界条件［相当于水流通量随边界r3上的变量（0或h）值而变化的情况］
三类边界的一般形式为
吋丄£a1—十a?
f=83
cz
式中，f为变量。
在土壤蒸发强度为表土含水率或表土负压的函数的情况下，式（—15）的三类边界条件表达式为
D（T）——-k（日）=a£+bdz
3h..
k（h）-k（h）=aW（h）+b
cz
（2-2-34）
2-2-14）、式（2—2
（2-2-35）
（2-2-36）
方程式（2—2—35）右端的a0+b表示三类边界上水流通量为表土含水率0的线性函数。
方程式（2—2—36）右端的ayh）+b表示三类边界上水流通量为表土负压的函数。
例如、
土壤的下部有弱透水层阻隔，边界受顶托补给，其补给强度决定于下部弱透水层的导水率k2,弱透水层上、下的压力hi、h2，其厚度为
5，方程的三类边界条件可写成:
k（hP-k（h）=k2（h2—
CZ0
-5）
（2-2-36）
上述的二种边界条件是经常遇到的情况。
知的运动边界，此时可将地下水面处h=0
（t），则
在野外实际情况下，有时还存在地下水位为已
作为边界条件。
如在任一时间，地下水埋深为d
Z=d（t,h（d,t）=0
（2-2-37）
d（t）表示t时刻的地下水面所在位置,
如地下水位是等速下降的，则
d（t）=vt+d0
（2-2-38）
式中：
V--地下水位下降的速度。
如地下水位是由于水井抽水引起下降
的，则
d（t）=do中-Q
I4at丿
（2-2-39）
式中：
do--下水初始埋深；
Q--井的抽水流量；
T--地下水含水层的导水系数;a--地下水含水层的导压系数;
广2
--井函数（见泰斯公式
）；
r
r—计算点离抽水井
若地下水位变化规律未知，不能作动边界处理。
第四节土壤水分运动参数
土壤水分运动中的主要参数有土壤水力传导度k（又称导水率），比水容量C（也称容水度）及扩散度D（也称扩散率）等。
这些参数的变化决定了土壤水分运动状态，所以了解和掌握这些参数的特性及其变化规律是十分重要的。
、土壤水力传导度k
•般在饱和土壤中导
土壤水力传导度是反映土壤水分在压力水头差作用下流动的性能。
水率称为渗透系数。
它是土壤
常量。
在非饱和土壤中，因土壤孔导水率低于饱和土壤水情况，而且导水率是负压或含水由于在吸力作用下，土壤水首先从大孔隙中排除，随着所以，土壤从饱和到非饱和将引起导水率的急剧降低。
1/
土壤水力传导度为在单位水头差作用下，单位断面面积上流过的水流通量。
含水率或土壤负压的函数。
饱和土壤孔隙中都充满水，导水率达到最大值，且为
隙中部分充气，导水孔隙相应减少，率的函数，随着含水率降低而减小。
吸力增加，水流仅能在小孔隙中流动。
当吸力由零增至1X105pa时，导水率可能降低好几个数量级，有时降低到饱和导水率的100000。
对于不同结构土壤，饱和与非饱和土壤水导水性能的相对关系是不同的。
饱和土壤导水
性能最好的是粗粒砂性土壤，导水最差的土壤是细质粘土，但非饱和土壤在较大负压情况下
则情况可能相反。
具有大孔隙粗质土壤，在吸力作用下孔隙中水分很快排除，导水率迅速下
降；而粘质细颗粒土壤，在较高吸力下，许多小孔隙仍充满水，仍具有一定的导水性能，因此，导水率下降较缓慢。
所以，细颗粒粘质土壤在同一吸力条件下可能较大孔隙粗质土壤具有较高导水率［15］。
所以，导水率与含水率（或负压）关系是较复杂的，目前还不能用理论分析方法推导它们之间关系式，需通过试验测定。
图2-2-3为非饱和土壤水在负压水头作用下流动的模型。
在水平土柱两端有多孔板，分别由平水箱保持一定水位，使其负压为hi和h2,在负压梯度
△h/△x的作用下，立柱中土壤水从1端向2端运移。
土壤水通量q可由1端补给量或2端溢出量测得，两者相等时，水流处于稳定状态。
非饱和土壤水力传导度可由达西定律求得。
由于水平土柱沿程负压（或含水率）是变化的，求得的导水率k也应是变化的，若距离较小,可以平均负压（或含水率）确定平均土壤水力传导度。
在不同的平均负压（吸力）值下，通量与负压梯度成正比，如图2—2—4所示［15］。
两者呈直线关系，但其斜率（即水力传导度）随平均负压而变。
此外，土壤水力传导度还与土质有关，如图2—2—5所示，砂性土壤饱和导水率高于粘性土壤，随着土壤吸力增加，砂性土壤导水率降低速率较粘性土壤快，所以吸力增大时，粘
质土壤导水率反大于砂质土壤。
非饱和土壤水力传导度k与土壤负压h或含水率0的关系通常由试验资料拟合成经验公式，一般有以下几种形式。
（1）土壤水力传导度与负压（吸力）
h的关系式:
k（h）=kseqh|
（2-2-40）
k（h）=a|h|」
（2-2-41）
k2|h|n+b
（2-2-42）
式中：
ks--饱和土壤水导水率，或称渗透系数;b--经验常数；n--经验指数。
a,
c,
m不同水势了时.水流通駁与负压梯度关系4：
意图（引白丈猷［15］＞
国2-2-5不同应地土壇的导
水率时吸力的关系"寸数对数
比尺）〔引自文献［I5J）
（2）土壤水力传导度与土壤含水率0的关系式:
k®）=kse呻切
（2-2-43）
k（日）=k^m
（2-2-44）
…f0-0
Eks二
Vsr丿
（2-2-45）
1
Wr¥
k®isL^i7-
®®丿
式中：
0r--某一特征含水率，通常采用最大分子持水率;
0s--饱和含水率；
m11
（2-2-46）
C,m,n--均为经验指数，在式（2-2-46）中，m=1--,0其他符号意义同前。
k值的量纲单位为［LT-1］。
由于土壤负压与含水率的关系曲线
传导度随负压的变化同样也存在滞后现象
高于湿润过程中的土壤水力传导度。
但
小。
--土壤水分特征曲线有滞后现象，所以，土壤水力,即在同一负压下，干燥过程中的土壤水力传导度土壤水力传导度与含水率关系受滞后作用的影响较
二、土壤水分扩散度D
通过单位面积的土壤水流量，其值为土壤含水率的
土壤水扩散度为单位含水率梯度下，
函数，即D（日）=k（日）—。
C0
扩散度与土壤含水率的关系如图2-2-6所示，这种关系有时可用以下经验公式表示：
Dp）=aeb日
（2-2-47）
式中：
a,b--经验常数，D的量纲为［以上公式仅能用于含水率较高的阶段。
大，使扩散度随土壤含水率降低而增大。
散率趋向于无限大。
l2t-1］。
在土壤含水率很低时，由于土壤水汽扩散速度增
在土壤含水率很高的情况下，土壤接近于饱和，扩
■JV水率■■悼积比眉O
图2-宀fi扩散率与含水率
关系曲钱（引自丈献Lisj）
、容水度c
容水度表示压力水头减小一个单位时，自单位体积土壤中所能释放出来的水体体积，量
纲为［L7］。
容水度可以用下式表示:
de
dh
它是负压的函数，为水分特征曲线上任一特定含水率0值时的斜率（导数），并随土壤
水分特征曲线而变化，所以它取决于土壤含水率和土壤质地等。
第五节考虑水汽热耦合关系的土壤水分运动基本方程
长期以来，人们都采用等温模型研究土壤水分运动。
在自然条件下，日夜温差很大，地
表以下不同深度处温度的差异和变化影响土壤水分的转化和运移，用等温模型来研究土壤水
分运动常带来一定误差。
一些学者根据能量平衡和热传导理论，提出了考虑水、汽、热耦合
关系的土壤水运动基本方程。
根据Philip、DeVries和Milly的理论
[16〜18]
，多孔介质中的水分质量通量可以表示为
qm=qL+qv
（2-2-48）
式中：
qm—水分总质量通量（kg/s）;
qL--水流质量通量（kg/s）；
qV--水汽质量通量（kg/s）。
在入渗速率不很大的情况下，土壤中水和汽之间存在局部热动力学平衡时,
qL及qv可
表示为
qLR=-pLk（Nh+1）
（2-2-49）
qv=—PvDtv可T+PvDhv可h
（2-2-50）
式中：
PL--士壤水密度（kg/cm3）;
、.3
h--士壤水压力水头（cmH20,1cmH2O=9.8X10Pa）;
T--绝对温度（C）;
Dtv热蒸汽扩散系数；
Dhv蒸汽传导率；
R--水蒸汽气体常数，R=4.615X106erg/（gC）（1erg=10^'J）。
在水汽和多孔介质中水体达到局部平衡时，两者之间的自由能相等，贝y
hg
巴=p0（TbxpART+273）丿
式中：
Pv--绝对湿度（g/cm3）;
P0（T）--水汽饱和状态下的绝对湿度（g/cm3）,根据Camilo等［19］研究表明:
P0CT）=expR0-R1/（T+2739
（2-2-51）
（2-2-52）
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