第二章土壤水分运动基本方程2汇总.docx

1、第二章土壤水分运动基本方程2汇总如前所述，达西定律是由达西(Darcy , Henry 1856)通过饱和砂柱渗透试验 得出，后 由Richards( 1931)将其扩伸至 非饱和水流 中，并规定 导水率为土壤负压 h的函数，即q =k(h FH(2-2-1)式中：7 H 为水势梯度；k( h)为导水率，是土壤负压 h的函数; q 为水流通量或流速。Richards方程垂向一维方程为qz k(8)殂CZch =-k(日)(丁 1)CZ注意：H=h 乙垂直坐标向上为“由于k ( h)受滞后影响较大， 积含水率函数，即以k ( 0 )代替人k (h)，则可避免滞后作用的影响。一般说来达西定律对饱和

2、与非饱和水流均可适用， 即水流通量与势能梯度成正比 。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的 静水压力(正值)和相对于基准面高度来确定的 位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和 ，水由总水头高处向低处流动。 在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气 压势时，只包括 重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和 来表示。一维Richards方程的几种形式：根据 k(日)一=) (K=C X D)得：+”；向下时为“-。上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。 若将导水率作为容qx = -kp)也exqx一 Dp) exqyqyqz一

3、k(8)(色 1)czqz 一De)ke) CZ、基本方程的推导碍2-2-1言甫坐标系屮单丿亡协(2-2-2)第一节直角坐标系中土壤水分运动基本方程土壤水分运动一般遵循 达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。土壤水分运动基本方程可 通过达西定律和连续方程进行推导 。如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh,其体积为AxAyAz，由于该立方体很小,在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设 其流速为Vx、Vy、vz，在tt+ A t时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：口入=PVxy 比 zt + PVyixAzAt + PVz 也 xAyit流出立方体的质量为（3个面流出

4、）：点V 、Vx + Tix Ayiz也tJ 澈丿4t*vz科) I+ 畫心Z kxigtcz 丿(2-2-3)式中：P -水的密度;x,也y, Az 分别表示微分体X、y、Z方向长度;处 Ax，竺 Ay，竺 Az -分别表示水流经微分体后，其流速在 x、y、z方向的变x cy cz化值。由式（2一2 2）、式（2 2 3）之差可求得 流入和流出立方体的质量差:m = m入m出=-P厂- 几， - 、仏+ QVy十叫I x cy cz 丿X ixAyAz也t(22 4)(2 2 5)设（为立方体内土壤含水率，则在A t时间内立方体内质量变化又可写为也m = P也X也gz也tCt根据质量平衡原理

5、 （流入量流出量=储存量变化量 ），式（3 2 -4）、式（32 5）应相等，即ct氐丿根据达西定律得:vx hW 焊cxVy一k焊cyVz = k(8 )cz(2-2-7)式中k （ e -土壤水力传导度，为含水率的函数；H -总士水势，为基质势与重力势之和（ H = h+ Z）。因此，式（2 2 6）可以写作以下形式：Jk帕芒HcxcH&cz(2-2-8)上式可以简写为(2-2-9)式（2 2 8）或式（2 2 9）为土壤水分运动基本方程。在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。水力传导度也为常量， 程（2 2 8）可写为常称渗透系数，则方ex2c2H虽。cz2(2 2- 10)或写作V2H

6、=0(2 2 10 )-2 朋厶+丄+旦-.2 _ 2 _ 2ex dy cz(2 2 11)式中： 2 拉普拉斯算子。式（2 2 10）或式（2 2 10）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程 。、基本方程的不同形式为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。 为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。（一）以含水率伪变量的基本方程由式（2 2 8）可得一维垂向土壤水分运动 的基本方程为Ct(2 2 12)式中：H -总士水势；Z-为水流方向坐标，因为H=h十Z,所以上式可写作取z向上为正。我 dz 自 cz式（2 2 13）为以（为变量的基

7、本方程，将代入式(2 2 13)得:唸 cz盘 在L 胡也 也令k（& ） = Dp ），则式（22 13）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程 ）：C0色丄be）织+凹戲 2 L & 沆(2 2 14)尸9在水平运动的情况下，重力项等于0,所以Vx = -D（ ，其形式与ex同。式（2 2 14）具有扩散方程的形式，故将D （ 0）称为扩散度。Fick扩散定律相(2 2 14Fick定律：自由水中溶质的分子扩散通量符合 Fick定律：. _ CCJ = D ex式中：J为溶质的扩散通量；D为溶质的扩散系数；点c为溶质的浓度梯度。ex（二）以基质势co COch由于h为变量的基本方程也=c（h弹

8、a -则式(2 2 14)可以写成:式中：cc(h严如)Ct cz _ L(2 2 15)（h）-比水容量（也称 容水度），c （ h）詈，表示单位基质势变化时含水率变化。（三）以参数V为因变量的基本方程h采用 Kirchhoff 变换，令 v =k(i k(T M = 1hc / 札 V hchchf k(i dicv 1 .=k(h) ch VV =广k(t dhc由式(2-2-15 )得：胡由cz胡ch点vch cv ct点k(h)色仝1L cv 5z來(h )和刃 十 dz ch cv czge V cv 和k(h )戲 V cv*r)kg冰(h) V 3 dh k(h) &Y吩ct-

9、.2 -C v ,cv十 X(v)-CZ CZ(2 2- 16)式中hc -土壤的进气值，即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值 。話喘;XW由響在非饱和区:1 hv = f k(t JdT 0V hc在饱和区:且因为c(h)= =0ch冰 6)=0ch所以Y(v)=O; X(v)=O-2则方程式(2 2 16)为：牟=0CZ(四)以位置坐标Z为变量的土壤水运动方程以Z为变量，则Z为0 t的函数，Z ( 0, t)为未知函数。已知 0= 0 (乙t),当兰K 0CZ处，可以解出Z= Z ( 0, t),即14Z-z(6(z,t )0 = 0对Z, t分别求导数:CZ少1 =0 ,co CZC

10、Z 创 CZ =0C0 ct 可于是cZ CZctcZC0将以上式子代入方程（2-2- 14）得:C0ge 1 十 ck(e)czLzcZSz胡严/書ck前+ C日点ZC0d (ZD(卅亘潞+來胡/ cQ CZ cQ CZcQ Vcz(2 2 17)（五）以参数u为因变量的土壤水运动方程日 / s 1定义 uD(8d9/.bD(Td=式中：q-初始含水率;U諾Dd日；日S 饱和含水率。由式（2-2-14）得:C0CtCZcucuCt忘b(日严cz cuCZckc0co cur -Icu ct将uce1=D（8代入上式得:旦宀旦1+空cuL、 J-.2 _! L、所以 = D屮+空Q * * C

11、 2 L. f、.-.Ct cz co cz以上各式中式（2 2 14）、式（2 2 15）是二种经常米用的形式，形式的选定取决于要解决问题的边界条件和初始条件。 以含水率0为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或 求解饱和一非饱和流问题不适用；以负压水头h为因变量的基本方程 是应用较多的一种形式，可适用于饱和一非饱和水流 求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率 k (h)及容水度c(h),受滞后影响较大，计算中参数选取不当会造成较大误差； 以V, u为因变量基本方程实际上分别相当于以负压水头h和含水率0为因变量的基本方程，

12、在某些情况下由于经代换后方程较为 简单，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动 问题。求解某些土壤水分运动问题时， 采用柱以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程，坐标系可能更方便。第二节柱坐标系中土壤水分运动基本方程在推导柱坐标系中的基本方程时， 方法同直角坐标系，同样可用达西定律与连续方程相结合的方法导出。若以z轴为轴的柱坐标系，根据达西定律，在此坐标系中可表示为：q-k) crqz = _k(e )型 cz式中：r、0、z分别表示柱半径，角坐标和垂直坐标(图 q r、q 0、qz-相应于r、/ z三个方向的通量； H总水势。呼；* ma* F Afl,

13、黒2-2-2柱坐标系中单元怵(以Z为轴)F面利用质量守恒来推导连续方程。 t时段内，在r方向的流入量为qrr z t ,流出量为qr + ir iriWiz总t I er丿(2-2-19)同理，在0方向流入流出量之差为(2-2-20)在z方向土壤水分流入流出量之差为(2-2-21 )qrX+旦-Ar i(r +Ar Azit，则流入与流出量之差(忽略高阶无穷小量)为 次丿上述三个方向流入和流出单元体的水量差总计为-qr +rXFr 靜 cz丿(2-2-22)单元体体积应为 I r+ IrAMz，略去高阶无穷小量后为2丿内单元体内水分增量为c0一ir也卫z也ta根据质量守恒原理武(3 2 22)

14、应与式(3 2 23)相等，即(2-2-23)色一I +零丄空+JqJa Ir cr r 5 Wz 丿(2-2-24)式(2 2 24)为柱坐标系中土壤水分运动的连续方程。将式( 即得柱坐标系中土壤水分运动基本方程：2-2 18)代入上式,卩半詈+mk和計訂(2-2-25)以总水势H=h+z，水容度c=，以及导水率k ( 0),扩散度D ( 0)等代入，基本方 dh程可表示为C0(2-2-26)1点f拒农日丄1点f加I胡1丄令I a 1环严石”药严)亦J刁对于平面轴时称问题，上式可改写为同理可推得以x (或y)轴为轴的柱坐标系的基本方程:竺二耳恥)苗上U)幻 盘r dr crr2郃P丿严-1

15、+ cos 申即 cr冰(8 ) Sin冰(日)+ g Tp伶止c0(2-2-27)关于球坐标系中的基本方程应用较少，推导方法同上，这里不再论述。第三节 土壤水分运动基本方程的定解条件土壤水运动基本方程的 定解条件包括 初始条件和边界条件，为了简单起见， 标系中基本方程常用形式为例进行论述。(一)初始条件相应于前式(2 2 14)、式(2 2 15)的初始条件分别以下式表达:将以直角坐9(z,0 )=9j(z)(2-2-28)h(z, 0)=hi(z)(2-2-29)脚标“ i”表示初始已知量。初始条件：t=0时剖面上B、h的分布已知。(二)边界条件边界条件一般有一类边界、二类边界、三类边界三

16、种。1一类边界条件 (变量已知的边界 ri)对干式(2-2 14)、式(2 2 15)的一类边界的表达式为日(zo,t )=To(t )(2-2-30)h(zo,t )= ho(t)(2-2-31)脚标“ 0”均表示一类边界上的值； Z0为一类边界的坐标。在一维垂向土壤水分运动中， 一类边界的情况发生在压力入渗表含水率达到饱和含水率，或当强烈蒸发时，表土达到 风干土含水率的情况。 2二类边界条件 (边界r 2上水流通量已知的情况) 相应于式(2 2 14)、式(2 2 15)表达式为C0 D)- +ke)|i2 = s(t) czcz式(2 232)及式(2 2 33)中，均假设 垂直坐标z(

17、地表形成水层)时，地(2-2-32)(2-2-33)向下为正。在一维垂向土壤水分运动中，这种情况常发生在降雨、灌水入渗或蒸发强度已知的边界。 在降雨或灌水入渗时， (t)为正值，在蒸发时 (t)为负值。在不透水边界和无蒸发入渗的边界 ， (t) =0,则式(2 2 32)、式(2 2 33)分别为F日(2-2-33D)J =ke) k(h )学=k(h )cz3.三类运界条件 相当于 水流通量随边界 r 3上的变量(0或h)值而变化 的情况三类边界的一般形式为吋丄 a1 十 a? f =83cz式中，f为变量。在土壤蒸发强度为表土含水率或表土负压的函数的情况下，式( 15)的三类边界条件表达式

18、为D(T )-k(日)=a +b dz3h .k(h ) -k(h )=aW(h )+bcz(2-2-34)2-2- 14)、式(2 2(2-2-35)(2-2-36)方程式(2 2 35)右端的a0 +b表示三类边界上 水流通量为表土含水率 0的线性函数。方程式(2 2 36)右端的ayh)+b表示三类边界上 水流通量为表土负压的函数 。例如、土壤的下部有弱透水层阻隔，边界受顶托补给，其补给强度决定于下部弱透水层的导水率 k2,弱透水层上、下的压力 hi、h2，其厚度为5，方程的三类边界条件可写成:k(h P -k(h ) = k2(h2 CZ 0-5)(2-2-36 )上述的二种边界条件是

19、经常遇到的情况。 知的运动边界，此时可将地下水面处 h=0(t)，则在野外实际情况下，有时还存在 地下水位为已作为边界条件。如在任一时间，地下水埋深为 dZ = d(t, h(d,t )=0(2-2-37)d (t)表示t时刻的地下水面所在位置,如地下水位是等速下降的，则d(t )=vt +d0(2-2-38)式中：V-地下水位下降的速度。如地下水位是由于水井抽水引起下降的，则d(t )=do 中-QI4at 丿(2-2-39)式中：do -下水初始埋深；Q -井的抽水流量；T -地下水含水层的导水系数; a -地下水含水层的导压系数;广 2-井函数(见泰斯公式)；rr 计算点离抽水井若地下水

20、位变化规律未知，不能作动边界处理。第四节 土壤水分运动参数土壤水分运动中的主要参数有土壤 水力传导度k （又称导水率），比水容量C （也称容水 度）及扩散度D （也称扩散率）等。这些参数的变化决定了土壤水分运动状态，所以了解和 掌握这些参数的特性及其变化规律是十分重要的。、土壤水力传导度 k般在饱和土壤中导土壤水力传导度是反映土壤水分在压力水头差作用下流动的性能。 水率称为渗透系数。它是土壤常量。在非饱和土壤中，因土壤孔 导水率低于饱和土壤水情况，而且导水率是负压或含水 由于在吸力作用下，土壤水首先从大孔隙中排除，随着 所以，土壤从饱和到非饱和将引起导水率的急剧降低。1 /土壤水力传导度为在单

21、位水头差作用下，单位断面面积上流过的水流通量。 含水率或土壤负压的函数 。饱和土壤孔隙中都充满水，导水率达到最大值，且为隙中部分充气，导水孔隙相应减少， 率的函数，随着含水率降低而减小。 吸力增加，水流仅能在小孔隙中流动。当吸力由零增至1X105 pa时，导水率可能降低好几个数量级，有时降低到饱和导水率的 100000。对于不同结构土壤，饱和与非饱和土壤水导水性能的相对关系是不同的。 饱和土壤导水性能最好的是粗粒砂性土壤， 导水最差的土壤是细质粘土， 但非饱和土壤在较大负压情况下则情况可能相反。具有大孔隙粗质土壤，在吸力作用下孔隙中水分很快排除， 导水率迅速下降；而粘质细颗粒土壤，在较高吸力下

22、，许多小孔隙仍充满水，仍具有一定的导水性能，因 此，导水率下降较缓慢。 所以，细颗粒粘质土壤在同一吸力条件下可能较大孔隙粗质土壤具 有较高导水率15。所以，导水率与含水率（或负压）关系是较复杂的，目前还不能用理论分析方法推导它 们之间关系式，需通过试验测定。图2-2-3为非饱和土壤水在负压水头作用下流动的模型。 在水平土柱两端有多孔板，分别由平水箱保持一定水位，使其负压为 hi和h2,在负压梯度 h/ x的作用下，立柱中土壤水从 1端向2端运移。土壤水通量 q可由1端补给量或2端 溢出量测得，两者相等时，水流处于稳定状态。非饱和土壤水力传导度可由达西定律求得。由于水平土柱沿程负压 （或含水率）

23、是变化的，求得的导水率k也应是变化的，若距离较小, 可以平均负压（或含水率）确定平均土壤水力传导度。在不同的平均负压（吸力）值下，通 量与负压梯度成正比，如图 2 2 4所示15。两者呈直线关系，但其斜率（即水力传导度） 随平均负压而变。此外，土壤水力传导度还与土质有关， 如图2 2 5所示，砂性土壤饱和导水率高于粘 性土壤，随着土壤吸力增加，砂性土壤导水率降低速率较粘性土壤快， 所以吸力增大时，粘质土壤导水率反大于砂质土壤。非饱和土壤水力传导度 k与土壤负压h或含水率0的关系通常由试验资料拟合成经验公 式，一般有以下几种形式。（1） 土壤水力传导度与负压（吸力）h的关系式:k(h)=kseq

24、h|(2-2-40)k(h)=a|h|(2-2-41)k2|h|n+b(2-2-42)式中：ks-饱和土壤水导水率，或称渗透系数; b -经验常数； n -经验指数。a,c,m 不同水势了时.水流通駁与负压梯度 关系4：意图（引白丈猷15国2-2-5不同应地土壇的导水率时吸力的关系寸数对数比尺）引自文献I5J）（2） 土壤水力传导度与土壤含水率 0的关系式:k )=kse呻切(2-2-43)k(日)=km(2-2-44) f 0 -0Eks 二Vs r丿(2-2-45)1Wr k is Li 7 - 丿式中：0r -某一特征含水率，通常采用最大分子持水率;0 s -饱和含水率；m 11(2-2

25、-46)C, m, n -均为经验指数，在式（2-2-46）中，m =1 -,0 m c1 n其他符号意义同前。k值的量纲单位为LT-1。 由于土壤负压与含水率的关系曲线传导度随负压的变化同样也存在滞后现象高于湿润过程中的土壤水力传导度。但小。-土壤水分特征曲线有滞后现象 ，所以，土壤水力 ,即在同一负压下，干燥过程中的土壤水力传导度 土壤水力传导度与含水率关系受滞后作用的影响较二、土壤水分扩散度 D通过单位面积的土壤水流量， 其值为土壤含水率的土壤水扩散度为单位含水率梯度下，函数，即D（日）=k（日）。C0扩散度与土壤含水率的关系如图 2-2-6所示，这种关系有时可用以下 经验公式表示：Dp

26、 ) = aeb日(2-2-47)式中：a, b-经验常数，D的量纲为 以上公式仅能用于含水率较高的阶段。大，使扩散度随土壤含水率降低而增大。 散率趋向于无限大。l2t-1。在土壤含水率很低时，由于土壤水汽扩散速度增在土壤含水率很高的情况下， 土壤接近于饱和，扩JV水率悼积比眉 O图2-宀fi扩散率与含水率关系曲钱（引自丈献Lisj）、容水度c容水度表示压力水头减小一个单位时， 自单位体积土壤中所能释放出来的水体体积 ，量纲为L7 。容水度可以用下式表示:dedh它是负压的函数，为 水分特征曲线上任一特定含水率 0值时的斜率（导数），并随土壤水分特征曲线而变化，所以它取决于土壤含水率和土壤质地

27、等。第五节考虑水汽热耦合关系的土壤水分运动基本方程长期以来，人们都采用 等温模型研究土壤水分运动。在自然条件下， 日夜温差很大，地表以下不同深度处温度的差异和变化影响土壤水分的转化和运移， 用等温模型来研究土壤水分运动常带来一定误差。 一些学者根据能量平衡和热传导理论，提出了考虑水、汽、热耦合关系的土壤水运动基本方程。根据 Philip、De Vries 和 Milly 的理论16 18，多孔介质中的 水分质量通量 可以表示为qm =qL +qv(2-2-48)式中：qm 水分总质量通量（kg/s）;qL -水流质量通量（kg/s）；qV -水汽质量通量（kg/s）。在入渗速率不很大的情况下，

28、土壤中水和汽之间存在局部热动力学平衡时,qL及qv可表示为qLR = -pLk(Nh+1)(2-2-49)qv = PvDtv 可T +PvDhv 可 h(2-2-50)式中：PL - - 士壤水密度（kg/cm3）;、. 3h - - 士壤水压力水头（cmH20, 1cmH2O=9 . 8X 10 P a）;T -绝对温度（C）;Dtv 热蒸汽扩散系数；Dhv 蒸汽传导率；R -水蒸汽气体常数， R= 4. 615 X10 6 erg/（ gC）（ 1erg=10 J）。在水汽和多孔介质中水体达到局部平衡时，两者之间的自由能相等，贝yhg巴=p0（T bxp ART+273）丿式中：Pv -绝对湿度（g/ cm3）;P0 （T）-水汽饱和状态下的绝对湿度（g / cm3）,根据Camilo等19研究表明:P0CT ）=expR0 -R1/（T +2739(2-2-51)(2-2-52)