课时分层作业十六 向量的数乘与向量共线的关系.docx

课时分层作业十六 向量的数乘与向量共线的关系.docx

《课时分层作业十六 向量的数乘与向量共线的关系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课时分层作业十六 向量的数乘与向量共线的关系.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

课时分层作业十六向量的数乘与向量共线的关系

课时分层作业（十六）　向量的数乘与向量共线的关系

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．下列说法中正确的个数是（　　）

①λa与a的方向不是相同就是相反

②当且仅当a与b共线时，a与a＋b共线

③若|b|＝2|a|，则b＝±2a，

④若b＝±2a，则|b|＝2|a|

A．1　　　　　　　　  B．2

C．3  D．4

B　[②④正确．]

2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形　　　　　　  B．平行四边形

C．梯形  D．以上都不对

C　[由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2.

∴∥，又与不平行，

∴四边形ABCD是梯形．]

3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于（　　）

A．a  B．b

C．c  D．0

D　[∵a＋b与c共线，∴存在实数λ1，使得a＋b＝λ1c.①

又∵b＋c与a共线，

∴存在实数λ2，使得b＋c＝λ2a.②

由①得，b＝λ1c－a.

∴b＋c＝λ1c－a＋c＝（λ1＋1）c－a＝λ2a，

∴即

∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.]

4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是（　　）

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段AB的反向延长线上

D．点P在直线AB外

C　[∵＝2－，

∴－＝－，

∴＝，

∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C．]

5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R），那么A，B，C三点共线的充要条件是（　　）

A．λ＋μ＝2  B．λ－μ＝1

C．λμ＝－1  D．λμ＝1

D　[由＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R）及A，B，C三点共线得：

＝t，所以λa＋b＝t（a＋μb）＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D．]

二、填空题

6．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于________．

－4　[由a，b共线知，m∈R，使得a＝mb，

于是2e1－3e2＝m（λe1＋6e2），即（2－mλ）e1＝（6m＋3）e2，

由于e1，e2不共线，所以所以λ＝－4.]

7．若＝e，＝－2e，则四边形ABCD是________．

 梯形　[由题意知＝－2，所以∥，且||≠||.]

8．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.（用、表示）

－　[＝－，＝＋.

∵E为BC的中点，F为AE的中点，

∴＝，＝，

∴＝－＝－＝（＋）－＝＋－，

又＝，∴＝－.]

三、解答题

9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，用a、b表示.

[解]　＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，

∴＝＋＝λa＋b，

∵与共线且a、b不共线，

∴＝，解得λ＝，

∴＝a＋b.

10．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．求证：

M，N，C三点共线. 

[证明]　设＝a，＝b，

则由向量减法的三角形法则可知：

＝－＝－＝a－b.

又∵N在BD上且BD＝3BN，

∴＝＝（＋）＝（a＋b），

∴＝－＝（a＋b）－b＝a－b＝，

∴＝，又∵与的公共点为C，

∴M，N，C三点共线．

11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心  B．内心

C．重心  D．垂心

B　[原式可化为－＝λ（e1＋e2），其中e1，e2分别是，方向上的单位向量．

∴＝λ（e1＋e2），（λ≥0），

因此，AP平分∠BAC，

∴P点必落在∠A的平分线上，即P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B．]

12．给出下列两个命题：

①若a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；

②若不存在实数λ，使a＝λb，则a与b不共线．

对这两个命题判断正确的是（　　）

A．①是真命题，②是假命题

B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题

D．①、②都是假命题

D　[当a≠0，b＝0时，a与b共线，但不存在实数λ使a＝λb，故①为假命题；

当a≠0，b＝0时，不存在实数λ使a＝λb，但a与b共线，故②也为假命题．]

13．（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：

＋＋＝，则下列结论错误的是（　　）

A．P在CA上，且＝2

B．P在AB上，且＝2

C．P在BC上，且＝2

D．P点为△ABC的重心

BCD　[＋＋＝

＋＝－

＋＝

＝2

∥

P在CA上．]

14．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.

－1　[∵＝a＋b，＝a－2b，

∴＝＋＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴，共线．

设＝λ，

∴2a＋pb＝λ（2a－b），

∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]

15．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设＝a，＝b.

（1）用向量a，b表示，；

（2）若＝λ，求实数λ的值．

[解]　

（1）由＝（＋），得＝2－＝2a－b，＝－＝－＝2a－b.

（2）∵D，E，C三点共线，

∴可设＝m＝2ma－mb.①

在△ODE中，＝－＝λ－＝λa－b.②

由①②得2ma－mb＝λa－b，即（2m－λ）a＝b.

又a，b不共线，

∴∴λ＝.

课时分层作业（十六）　向量的数乘与向量共线的关系

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．下列说法中正确的个数是（　　）

①λa与a的方向不是相同就是相反

②当且仅当a与b共线时，a与a＋b共线

③若|b|＝2|a|，则b＝±2a，

④若b＝±2a，则|b|＝2|a|

A．1　　　　　　　　  B．2

C．3  D．4

B　[②④正确．]

2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形　　　　　　  B．平行四边形

C．梯形  D．以上都不对

C　[由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2.

∴∥，又与不平行，

∴四边形ABCD是梯形．]

3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于（　　）

A．a  B．b

C．c  D．0

D　[∵a＋b与c共线，∴存在实数λ1，使得a＋b＝λ1c.①

又∵b＋c与a共线，

∴存在实数λ2，使得b＋c＝λ2a.②

由①得，b＝λ1c－a.

∴b＋c＝λ1c－a＋c＝（λ1＋1）c－a＝λ2a，

∴即

∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.]

4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是（　　）

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段AB的反向延长线上

D．点P在直线AB外

C　[∵＝2－，

∴－＝－，

∴＝，

∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C．]

5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R），那么A，B，C三点共线的充要条件是（　　）

A．λ＋μ＝2  B．λ－μ＝1

C．λμ＝－1  D．λμ＝1

D　[由＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R）及A，B，C三点共线得：

＝t，所以λa＋b＝t（a＋μb）＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D．]

二、填空题

6．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于________．

－4　[由a，b共线知，m∈R，使得a＝mb，

于是2e1－3e2＝m（λe1＋6e2），即（2－mλ）e1＝（6m＋3）e2，

由于e1，e2不共线，所以所以λ＝－4.]

7．若＝e，＝－2e，则四边形ABCD是________．

 梯形　[由题意知＝－2，所以∥，且||≠||.]

8．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.（用、表示）

－　[＝－，＝＋.

∵E为BC的中点，F为AE的中点，

∴＝，＝，

∴＝－＝－＝（＋）－＝＋－，

又＝，∴＝－.]

三、解答题

9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，用a、b表示.

[解]　＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，

∴＝＋＝λa＋b，

∵与共线且a、b不共线，

∴＝，解得λ＝，

∴＝a＋b.

10．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．求证：

M，N，C三点共线. 

[证明]　设＝a，＝b，

则由向量减法的三角形法则可知：

＝－＝－＝a－b.

又∵N在BD上且BD＝3BN，

∴＝＝（＋）＝（a＋b），

∴＝－＝（a＋b）－b＝a－b＝，

∴＝，又∵与的公共点为C，

∴M，N，C三点共线．

11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心  B．内心

C．重心  D．垂心

B　[原式可化为－＝λ（e1＋e2），其中e1，e2分别是，方向上的单位向量．

∴＝λ（e1＋e2），（λ≥0），

因此，AP平分∠BAC，

∴P点必落在∠A的平分线上，即P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B．]

12．给出下列两个命题：

①若a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；

②若不存在实数λ，使a＝λb，则a与b不共线．

对这两个命题判断正确的是（　　）

A．①是真命题，②是假命题

B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题

D．①、②都是假命题

D　[当a≠0，b＝0时，a与b共线，但不存在实数λ使a＝λb，故①为假命题；

当a≠0，b＝0时，不存在实数λ使a＝λb，但a与b共线，故②也为假命题．]

13．（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：

＋＋＝，则下列结论错误的是（　　）

A．P在CA上，且＝2

B．P在AB上，且＝2

C．P在BC上，且＝2

D．P点为△ABC的重心

BCD　[＋＋＝

＋＝－

＋＝

＝2

∥

P在CA上．]

14．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.

－1　[∵＝a＋b，＝a－2b，

∴＝＋＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴，共线．

设＝λ，

∴2a＋pb＝λ（2a－b），

∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]

15．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设＝a，＝b.

（1）用向量a，b表示，；

（2）若＝λ，求实数λ的值．

[解]　

（1）由＝（＋），得＝2－＝2a－b，＝－＝－＝2a－b.

（2）∵D，E，C三点共线，

∴可设＝m＝2ma－mb.①

在△ODE中，＝－＝λ－＝λa－b.②

由①②得2ma－mb＝λa－b，即（2m－λ）a＝b.

又a，b不共线，

∴∴λ＝.