北师版七年级数学下册第4章 全章热门考点整合应用.docx

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北师版七年级数学下册第4章全章热门考点整合应用

全章热门考点整合应用

名师点金：

本章主要内容是三角形及相关概念，三角形的分类，全等三角形的判定与性质，题型涉及选择题、填空题、解答题，更多的是渗透到其他内容之中，是各类考试命题的重要内容；本章的考点可概括为：

四个概念，一个关系，一个性质，三个判定，两个技巧，两种思想．

四个概念

与三角形有关概念

1．如图，

（1）图中共有几个三角形？

请分别表示出来．

（2）以∠AEC为内角的三角形有哪些？

（3）以∠ADC为内角的三角形有哪些？

（4）以BD为边的三角形有哪些？

（第1题）

三角形中重要线段

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠DAE的度数．

（第2题）

全等图形

3．下列图形中，是全等图形的有（　　）

（第3题）

A．2组B．3组C．4组D．5组

全等三角形

4．【中考·杭州】如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，试说明：

DM＝DN.

（第4题）

一个关系——三角形的三边关系

5．A，B，C，D四个工艺品厂的位置如图所示，四个点分别表示四个厂的位置，准备修建一个公共展厅来展销这四个厂家的产品，展厅建在何处，才能使四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短，并说明理由．

（第5题）

一个性质——全等三角形的性质

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝4cm.已知△BCD≌△ACE，求四边形AECD的面积．

（第6题）

三个判定

SSS

7．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，O是DB的中点，过点O的直线分别交DA和BC的延长线于点E，F.

试说明：

∠E＝∠F.

（第7题）

ASA（或AAS）

8．【中考·西安】如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.试说明：

AD＝CE.

（第8题）

SAS

9．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，三个小石凳是否在一条直线上？

说出你推断的理由．

（第9题）

两个技巧

说明线段或角相等的方法

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.试说明：

（1）BF＝BC；

（2）BD＝2CE.

（第10题）

添加辅助线的方法

11．如图，AB＝DC，∠A＝∠D.试说明：

∠ABC＝∠DCB.

（第11题）

两种思想

方程思想

12．如图，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC交CA的延长线于点D，求∠ABD的度数．

（第12题）

转化思想

13．农科所有一块五边形的试验田如图所示，已知在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝20m，求这块试验田的面积．

（第13题）

答案

1．解：

（1）图中有8个三角形，分别是△ABC，△ABD，△AEO，△AEC，△ADC，△AOC，△ODC，△EBC.

（2）以∠AEC为内角的三角形有△AEO，△AEC.

（3）以∠ADC为内角的三角形有△ADC，△ODC.

（4）以BD为边的三角形只有△ABD.

点拨：

用字母表示一个三角形时，不要漏写符号“△”．在复杂图形中数三角形个数的方法：

（1）按图形形成的过程去数（即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数）；

（2）按组成三角形的图形个数去数；（3）可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数；（4）先固定一个顶点，不断变换另外两个顶点来数．

2．解：

因为AD⊥BC，

所以∠BDA＝90°.

因为∠B＝60°，

所以∠BAD＝180°－90°－60°＝30°.

因为∠BAC＝80°，

所以∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－30°＝50°.

因为AE平分∠DAC，

所以∠DAE＝

∠DAC＝25°.

3．C

4．解：

因为AM＝2MB，AN＝2NC，

所以AM＝

AB，AN＝

AC.

又因为AB＝AC，所以AM＝AN.

因为AD平分∠BAC，

所以∠MAD＝∠NAD.

又因为AD＝AD，

所以△AMD≌△AND（SAS）．

所以DM＝DN.

（第5题）

5．解：

如图，连接AC，BD，交于点O，公共展厅应建在O处．理由如下：

在平面上任取一点P，P与O不重合，连接PA，PB，PC，PD，

则PA＋PC>AC，PB＋PD>BD，

即PA＋PC＋PB＋PD>AC＋BD＝AO＋BO＋CO＋DO，

所以建在点O处，四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短．

点拨：

将实际问题转化为数学模型，利用数学知识进行解决．

6．解：

因为△BCD≌△ACE，所以S△BCD＝S△ACE.

又因为S四边形AECD＝S△ACE＋S△ACD，

所以S四边形AECD＝S△BCD＋S△ACD＝S△ABC＝

×4×4＝8（cm2）．

点拨：

线段AC把四边形AECD分成两部分，我们把△ACE移至△BCD的位置，使之与△ACD恰好构成△ACB，进而可求面积．

7．解：

方法一：

在△ABD和△CDB中，

所以△ABD≌△CDB（SSS）．

所以∠1＝∠2.所以AD∥BC.所以∠E＝∠F.

方法二：

在△ABD和△CDB中，

所以△ABD≌△CDB（SSS）．所以∠1＝∠2.

在△EOD和△FOB中，

所以△EOD≌△FOB（ASA）．所以∠E＝∠F.

点拨：

说明线段相等或角相等时，经常考虑利用三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得出结论．

8．解：

因为AD⊥AB，AC⊥CE，

所以∠BAD＝∠ACE＝90°.

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.

因为AE∥BD，所以∠CAE＝∠ACB.

所以∠ABC＝∠CAE.

又因为BA＝AC，

所以△ABD≌△CAE（ASA）．所以AD＝CE.

（第9题）

9．解：

三个小石凳在一条直线上．

理由如下：

如图，连接EM，MF.

因为M为BC的中点，

所以BM＝MC.

又因为AB∥CD，

所以∠EBM＝∠FCM.

在△BEM和△CFM中，

所以△BEM≌△CFM（SAS）．

所以∠BME＝∠CMF.

又∠BME＋∠CME＝180°，

所以∠CMF＋∠CME＝180°.

所以E，M，F在一条直线上，即三个小石凳在一条直线上．

10．解：

（1）因为BE平分∠ABC，

所以∠FBE＝∠CBE.

因为CE⊥BE，所以∠FEB＝∠CEB＝90°.

又因为BE＝BE，

所以△FBE≌△CBE（ASA）．所以BF＝BC.

（2）因为∠BAC＝∠FAC＝90°，∠FEB＝90°，

所以∠ABD＋∠F＝∠ACF＋∠F＝90°.

所以∠ABD＝∠ACF.

又因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAF，

所以△BDA≌△CFA（ASA）．所以BD＝CF.

又因为△FBE≌△CBE，

所以EF＝EC，即CF＝2EC.所以BD＝2CE.

点拨：

解答第

（2）小题时，BD与CE不在同一条直线上，也不在同一个三角形中，要说明它们成倍数关系，就要联想到将其中一条线段转化到与另一条线段有关的直线上．

（第11题）

11．解：

如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.

在△ABN和△DCN中，

所以△ABN≌△DCN（SAS）．

所以∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.

在△NBM和△NCM中，

所以△NBM≌△NCM（SSS）．

所以∠NBM＝∠NCM.

所以∠NBM＋∠ABN＝∠NCM＋∠DCN.

所以∠ABC＝∠DCB.

点拨：

说明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策．如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，这也是几何说明中的一种常用技巧．

12．解：

设∠C＝x°，则∠ABC＝x°，∠BAC＝4x°.

在△ABC中，x＋x＋4x＝180，解得x＝30.

所以∠BAC＝120°.所以∠DAB＝60°.

因为BD⊥AC，

所以∠ABD＝90°－∠DAB＝90°－60°＝30°.

（第13题）

13．解：

如图，延长DE至点F，使EF＝BC，连接AC，AD，AF.易得CD＝FD.

在△ABC与△AEF中，

所以△ABC≌△AEF（SAS）．

所以AC＝AF.

在△ACD与△AFD中，

所以△ACD≌△AFD（SSS）．

所以五边形ABCDE的面积是2S△ADF＝2×

·DF·AE＝2×

×20×20＝400（m2）．