声学基础答案.docx
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声学基础答案
声学基础（南京大学出版社）
习题1
1-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待，其固有频率为f,质量为m,求它的弹性系数。
解：
由公式fo丄m得：
2VMm
Km（2f）m
2
1-2设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：
（1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产
生？
并应怎样表示？
（2）当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？
（答:
f021,g，g为重力加速度）
图习题1—2
解：
（1）如右图所示，对Mm作受力分析：
它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿
绳方向的拉力T，这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sin
dt
2
gi
这就是小球产生的振动频率
受力分析可得：
FMmgsinMmgl
动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：
2
FMmd
dt2
（2）外力去掉后（上述拉力去掉后），小球在F作用下在平衡位置附近产生摆
则
Mmd
2
g0,
i
1-
Mm，如图所示，试问:
图习题1-3
3有一长为I的细绳，以张力T固定在两端，设在位置X。
处，挂着一质量
（1）当质量被垂直拉离平衡位置时，它
所受到的恢复平衡的力由何产生？
并应怎样
表示？
（2）当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应
如何表示?
（3）当质量置于哪一位置时，振动频率最低?
解:
首先对Mm进行受力分析，见右图,
Fx
IX0
TX（IX0）22
X0，X0
Fy
2
\（IX。
）22
X0,（|X0）22（I
2
7X0
X0）
2
。
）
TIX0TX。
Tl
X0（lX0）
可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量MMm,弹性系数
Xo（lTXo）
（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为Fxo（lTlxo）,
方向为竖直向下
（2）振动频率为K_[Tl
M'■X0（lX0）Mm
（3）对分析可得，当X0
l时，系统的振动频率最低
2
1-4设有一长为I的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。
设在绳的xo位
置处悬有一质量为M的重物。
求该系统的固有频率。
提示：
当悬有M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置0的振动位移很小，
满足。
条件
图习题1—4
2TcosMg
解：
如右图所示，受力分析可得
cos
Mg
0
又0，T'T，可得振动方程为
2T0Md__
1dt2
2
Md^_dt2
4T14T_0
ll
—*~M~冇矿2
1-5有一质点振动系统，已知其初位移为o,初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。
解：
设振动位移aCOS（0t），
速度表达式为v:
oasin（ot）。
由于too，Vto0，
代入上面两式计算可得:
oCOSot；
voosinot
振动能量E1Mmv2
a
22
1-6有一质点振动系统,
Vo，试求其振动位移、
已知其初位移为0,初速度为
a
2
速度、和能量。
解：
如右图所示为一质点振动系统,
弹簧的弹性系数为
Km,质量为Mm，
取正方向沿X轴，位移为。
则质点自由振动方程为；2
o,（其中o
解得
aCOS（oto）,
vd0aSin（ot0）0acos（otdt
aCOSo
too，V
tovo时,
Vo
aCOS（
o
o
1,
oovo
o
222
arctan—vo-
00
质点振动位移为
1—影2o2vocos（otarctan
质点振动速度为V
V0COS（t
V0
arctanoo
质点振动的能量为E1MmV21Mm（0
2a0vo）
222
1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加sint1sin21，试问：
2
（1）在什么时候位移最大？
（2）在什么时候速度最大?
解：
sint1
sin2t，
2
d_
cost
cos2t
dt
ddt2
:
sint
2
2
2
令d
0,
得：
t
2k或stin22。
dt
3
经检验后得：
t2k3时，位移最大。
则AcostBsint=A-J2B2cos（t）
（其中arctan（B））
A
又A2B2i2coS2i22coS222i2cosicos2
1221222
1sinsin2212sin1sin2
122212（cos1cos2sin1sin2）
1222212cos（21）
arctan（B）arctan（1cd®n2cosin2
A
B12212cos（21）
1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示
则acos（t1cosW1t2cosW2t（W2W1）
试证明
其中a222212cos（wt）,
arctan=22吧隠臨）-,wW1W2.
acos（W1t）,
2
22212cos（W2tW1t）
1222212cos（wt）
解：
因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。
由余弦定理知,
其中，wW2W1。
由三角形面积知，
112sinwt11asin
22
sin2sinwt得
得tg
2Sin2
wt
2sinwt
2coswt）
2sinwt
12coswt
2sinwt
i2Coswt
即可证。
1-10有一质点振动系统，其固有频率fo为已知，而质量Mm与弹性系数Km
待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m,并测得由此而引起的弹簧伸长0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证由胡克定理得mg=Km01Km=mg/0
由质点振动系统固有频率的表达式
Mm4Y需24—mg_.
fo1
纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m,并测得由此而引起的系统固有频率变为fo'于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。
解：
由
由
fo
得
Km（2fo）Mm
（2f）2（Mm
m,）
联立两式，求得Mm
mfo22,
fo2fo
Km
0
Km42mf02fo
1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧博接和并接两种系统，试分别写
出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。
图1-2-3
图1-2-4
解：
串接时，动力学方程为Mmd2KKimK2m
——1mK2m
dt2
0,等效弹性系数为
KKim1m#2m
0
并接时，动力学方程为Mmd（K1mK2m）0,等效弹性系数为
df2
KK1mK2m。
1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。
此秤已在
地球上经过校验，弹簧压缩0〜100mm可称0〜1kg。
宇航员取得一块岩石，利
用此秤从刻度上读得为0.4kg,然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s.
试问月球表面的重力加速度是多少？
而该岩石的实际质量是多少?
解：
设该岩石的实际质量为
球表面的重力加速度为g
由虎克定律知FmKx,又
M，地球表面的重力加速度为g9.8ms
2，月
FmMg则KMg1g10g
x0.1
104g2109.8
x0.04m
2.5kg
又xx1则
0.4
MgKx则g
420.041.58m&
故月球表面的重力加速度约为1.58ms,而该岩石的实际质量约为2.5kg
1-14试求证
acostacos（t
）acos（t2）
acos（t（n1））
sinn
asin2cost
（n1）
2
证
江aejtaej（t）aej（t2）
aej（t（ni））
aejt（1ej）
aejt
1ejn
1ej
jt1ae
cosnjsinn
1cosIjsin
aejt
2n2sin
2
2sin22jsin
aejt
sinnj（」_）
—722
2e
sinj（1一）
2e22
sinnjsinn
_aejt2
sin
2
sinn
aejt2
sin
2
sinnjcosn
~2~
sinjcos
22
sinn
n1
a2ej（t2）
sin
2
同时取上式的实部，结论即可得证。
1-15有一弹簧Km在它上面加一重物
Mm,构成一振动系统，其固有频率为
f°.
（1）假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并
怎样联接？
（2）假设重物要加重一倍，而要求固有频率f。
不变，试问应该添加几只相同
的弹簧，并怎样联接?
（1）fo
（2）
解：
固有频率fo
0
宁，故应该另外串接三根相同的弹簧;
Km2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。
1-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。
现已知其总质量为Mm,弹性系数为Km。
试求该扬声器的固有频率。
解：
该扬声器的固有频率为
1-17原先有一个0.5kg的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡
中，后来又将一个0.2kg的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m,当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5kg质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e
倍，试计算:
（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0'
（2）当0.2kk的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量;
（3）在经过1s后，系统具有的平均能量。
解：
（1）由胡克定理知，Km=mg/£
所以Km=0.2X9.8/0.04=49N/m
e1/e1
J2
1
491
1.57Hz
W0'wo
f0'
2
'、0.5
（2）系统所具有的能量
E
1Km2149
0042
0.0420.0392J
2
2
Rm
2Mnm
Rm1N
s/m
（3）平均能量E12Km
02e2t5.31103
1-18试求当力学品质因素Qm0.5时，质点衰减振动方程的解。
假设初始
时刻0，vv0，试讨论解的结果
解：
系统的振动方程为：
进一步可转化为，设
df2
RmddK0
Rm
2Mm
设:
于是方程可化为:
解得：
j（
d2dt1
2）ejt0
0
02）t
方程一般解可写成:
存在初始条件:
代入方程计算得:
解的结果为:
et（Ae
202t
100,
V0
22
0
t（Ae202t
!
2'2t
0）
V0
V0
22
0
2
Be
t0
B
22t
Be
0）
其中A:
2j
V0
2,202
1-19有一质点振动系统,
其固有频率为
fl,如果已知外力的频率为f2,试
求这时系统的弹性抗与质量抗之比。
解：
质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为K
，质量抗为MM
M
已知f050Hz,f300Hz
贝U（Km）（Mm）=宜空_0242f。
2（5O0）21‘MM42f36
1-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的
弹簧上，试问：
（1）这系统的固有频率为多少？
（2）如果系统中引入5kg/S的力阻，则系统的固有频率变为多少？
（3）当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？
（4）相应的速度与加速度共振频率为多少？
解：
⑴考虑弹簧的质量，fo丄」K“丄甲一2.76Hz.
2YmmMs/32V0.40.3/3
（2）考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质
量Mm'为Mm+Ms/3.
Rm5
I
2Mm20.5
（3）品质因素Qm
（4）
5,
f0-
21
、1505
2
2
2.64Hz
2
0.40.3/3
'0M
m16.580.5
1.66，
Rm
5
1
2Qm2
位移共振频率:
fr
2.39Hz.
加速度共振频率:
1
2Qm2
2.92Hz.
1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系
统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于
解：
系统每个周期损耗的能量
2。
Qm
EWfT
1RmV
速度共振频率：
frf02.64Hz，
发生速度共振时,
f0。
Rm
2_
Qm
0Mm
Rm
1-22试证明：
（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就
等于系统的无阻尼固有频率fo；
（2）假定fl与f2为在f。
两侧，其平均损耗功率
比f0下降一半时所对应的两个频率，则有Qm
f2
fo
f1
证明：
（1）平均损耗功率为
T
WR
Wdt1RmV
2
质点强迫振动时的速度振幅为
（Rm为力阻，Va为速度振幅）
FaQmZ
VaoMm
（Fa为外力振幅，o为固有频
V'Z2（z21）2Qm
率，Mm为质量，Qm为力学品质因素，频率比Z
f）
当Z=1即ff。
时，发生速度共振,
Va取最大值,
产生最大的平均损耗功率。
（2）WR:
1RmV2
a
WRmax1RmV
2
2=1Rm
amax
2
Fa2Qm
m2
02M
WR=1WRmax则
2
1RmV
1Rm
22
FaQm
o2M2n）即
2—FaQm
（1）
2Vao2Mm
把VaoMm
FaQmZ
v'z2（z21）2Qm,带入式（
1），则2Z
（z2
i）2Qm
（2）
由式
（2）
得z（z2
1）Q解得z
m
1
2Qm
14Qm取Z1
2Qm
（z2
1）Qm解得Z
2
m
2Qm
取Z2114Q
则Z2Z1
1即
Qm
f1
fofo
f2f1
f"
1
Qm
Qmf2
fo
f1
1-23有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的
弹簧上，设系统的力阻为2N-s/m，作用在重物上的外力为Ff5COS&N
（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；
（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？
如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少?
解：
（1）由强迫振动方程Mmd22RmddKmFf，得
0.4cr2d1605cos8t
dt2dT
则位移振幅a
则位移振幅
J（KmW2Mm）
2W2Rm2
/a0.296m/s
w2
2
P:
坐2364柚.0876（w）
2
frf01
'2彳
fKm（R
Rm
Fa
2M
速度振幅Va
加速度振幅aa
a
平均损耗功率
（2）速度共振时
Fa
m）3.158Hz
I
2
（KmW2Mm）2W2Rm2
0.0369m
0.126m
速度振幅V
a2.495m/s
加速度振幅
aa
平均损耗功率
1Rmva49.6225Sw）
2
1-24试求出图
1-4-1所示单振子系统，在t0,
初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论
0两种情形下，当0时解的结果。
解：
对于强迫振动，解的形式为:
v0
oetcos（0t0）acos（t）
初始条件：
0,v0,
代入得：
0COS0aCOS0
I
0cos000sin0asin0
解得:
0
0
（cos）
22
（sin）
22cossin0,2（cos）2
0]|arccos
\2（cos）2
0cos
2sin）22cossin0,2（cos）2
令G、、2（cos）2（sin）22cossin0,2（cos）
得：
0时，Rm
0'，_
2
0a，
一勺Getcos（0'
t0）
0，00arctanXRmm
acos（t
acos（0t）acos（t）
2
a（sin0tcost）o
0时,
A达到位移共振。
1-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力
21
sin-0t的作用，试
2
求其稳态振动的位移振幅。
解：
此单振子系统的强迫振动方程为
Mmd2RmddtKm
dt2
FF（t）sin290t）
1&S0t
22
则
Mmd2dt2
RmddtKm1
2
Mmd2
Rmddt
Km1COSot
dt2
2
由式
（1）得
1
2Km
（2）
（1）
令Fejt代入式
（2）得f
0Rmj（0Mm-Km）
0
orm（ommKm）
0
1
2
1—
1
2
20Rm
11
A
2Km2oRm
1-26试求如图所示振动系统，质量块
M的稳态位移表示式
解：
对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为:
M（R1R2）（K1K2）Faejwt
该方程式稳态解的一般形式为
aejwt，将其代入上式可得:
Fa
jw[（R1R2）j（M:
K1K2）]|
j（0）
2
Fa
oarctan
R1R2
故质量块的稳态位移表示式可以写为:
|a|COSWt0）.
2
Ml的振动通过耦合弹簧K12引起
1-27设有如图所示的耦合振动系统，有一外力F1Faejt作用于质量M1上。
M2也随之振动，设Mi和M2的振动位移与振动
图1-4-1
速度分别
为1,V1与
2，w。
试分别写出
Mi和M2的振动方程，并求解方程而证明当稳
态振动时
Z2Z12
V11
ZZ2
F1与V2
（Z1Z2）Z12
Z12
乙Z2（Z1Z2）Z12F1。
其中
乙j（Mi
Ri,
Z2j（M2
K2）
R2,
jKi2
'A/lr
o
图习题1-27
解：
对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程:
M1d1R1ddt1K11K12（12）F1
dt2
2
M2d2R2
dt2
d2
dtK22K12（21）0
设:
Aejt，2Bejt
V1V1ejt，v2V2ejt
于是方程可化为:
A（M12jRlKiK12）BK12Fa
B（M22jR2K2K12）AK120
设:
乙j（MiK1Ri，Z2j（M2K2）R2,
乙2]jK12
P。
对上面的两个方程整理并求解可得
Z2乙2
v1F1
Z1Z2（Z1Z2）Z12
Zi2
V2Z12F1
Z1Z2（Z1Z2）Z12
1-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用
力振幅为：
FaApa,
其中A为常数，Pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采
用电动换能方式（动圈式），并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？
为什么？
解：
压差式传声器产生的作用力振幅为FaApa,
其中A，pa为常数，则
Fa随变化。
电动换能方式传声器，其开路电压输出为E
则要V恒定
Blv,要使E均匀恒定,
系统处在质量控制区时％巴伫，
此时Va与频率无关，故
在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。
1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式（电容式），其他要求与
上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？
为什么?
解：
传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系:
只有在力阻控制区,
即在此控制区，输出电压E与频率无关传声器的振动系统应工作在力阻控制区。
1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为S0的振膜前面加一声号筒，如图
所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为Rr0C0S（参见§5.5。
试问对这
W1RrVa
种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？
为什么？
解：
动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为
12oCoSoVa2
其中0，Co，So均为常数，要使W均匀，则Va应不受的W影响。
故振
2
动系统应工作在力阻控制区，此时VFa（其中Fa为频率恒定的外力，Rm也恒定）。
图习题1-31
1-31有一如图所示的供测试用动
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