工程数学线性代数课后答案同济第五版.docx

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工程数学线性代数课后答案同济第五版

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66

第五章相似矩阵及二次型

1试用施密特法把下列向量组正交化

（1）

（a1,a2,a3）

1

1

1

1

2

3

1

4

9

解根据施密特正交化方法

b1a

1

1

1

1

[b,a]

b2b

a1

2

21

[b,b]

11

1

0

1

[b,a][b,a]

1323

b3abb

312

[b,b][b,b]

1122

1

3

1

2

1

（2）

（a1,a2,a3）

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

解根据施密特正交化方法

b1a

1

1

0

1

1

[b,a]

b2b

a

12

21

[b,b]

11

1

3

1

3

2

1

[b,a][b,a]

1323

b3ab

b

312

[b,b][b,b]

1122

1

5

1

3

3

4

2下列矩阵是不是正交阵:

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1

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

3

1

2

1

（1）;

解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵

184

（2）

9

8

9

4

9

1

9

4

9

4

9

7

999

解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵

3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵

证明因为

HT（E2xxT）TE2（xxT）TE2（xxT）T

E2（xT）TxTE2xxT

所以H是对称矩阵

因为

HTHHH（E2xxT）（E2xxT）

E2xxT2xxT（2xxT）（2xxT）

E4xx

T4x（xTx）xT

E4xxT4xxT

E

所以H是正交矩阵

4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵

证明因为AB是n阶正交阵故A1ATB1BT

（AB）T（AB）BTATABB1A1ABE

故AB也是正交阵

5求下列矩阵的特征值和特征向量:

（1）

2

5

1

1

3

0

2

3

2

;

68

212

解|AE|533

（1）3

102

故A的特征值为1（三重）

对于特征值1由

AE

3

5

1

1

2

0

2

3

1

~

1

0

0

0

1

0

1

1

0

得方程（AE）x0的基础解系p1（111）T向量p1就是对应于特征值1的特

征值向量.

（2）

1

2

3

2

1

3

3

3

6

;

123

解|AE|213

（1）（9）

336

故A的特征值为102139

对于特征值10由

A

1

2

3

2

1

3

3

3

6

~

1

0

0

2

1

0

3

1

0

T

得方程Ax0的基础解系p1（111）

向量p1是对应于特征值10的特征值向

量.

对于特征值21,由

AE

2

2

3

2

2

3

3

3

7

~

2

0

0

2

0

0

3

1

0

T向量p2就是对应于特征值21的特

得方程（AE）x0的基础解系p2（110）

征值向量

对于特征值39由

A

823

9E~

283

333

1

0

0

1

1

0

1

1

2

0

69

得方程（A9E）x0的基础解系p3（1/21/21）T向量p3就是对应于特征值39的

特征值向量

（3）

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

.

解

0

0

1

1

0

0

|AE|（

0

1

0

0

1

0

1）2

（1）2

2

（1）2

故A的特征值为121341

对于特征值121由

AE

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

~

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

Tp2（0110）T向量p1和p2是对得方程（AE）x0的基础解系p1（1001）

应于特征值121的线性无关特征值向量

对于特征值341由

AE

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

~

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

得方程（AE）x0的基础解系p3（1001）Tp4（0110）T向量p3和p4是对应于

特征值341的线性无关特征值向量

T与A的特征值相同6设A为n阶矩阵证明A

证明因为

TE||（AE）T||AE|T|AE|

|A

所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同

7设n阶矩阵A、B满足R（A）R（B）n证明A与B有公共的特征值有公

共的特征向量

证明设R（A）rR（B）t则rtn

若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特

征值0的线性无关的特征向量

70

类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应

于特征值0的线性无关的特征向量

由于（nr）（nt）n（nrt）n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于

是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使

k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0

记k1a1k2a2knranr（l1b1l2b2lnrbnr）

则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而

l1b1l2b2lnrbnr0

与b1b2bnt线性无关相矛盾

因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征

值有公共的特征向量

8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2

证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则

（A23A2E）x2x3x2x（232）x0

因为x0所以

2320即是方程2320的根也就是说1或2

9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值

证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1

因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即

1是A的特征值

10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值

证明设x是AB的对应于0的特征向量则有

（AB）xx

于是B（AB）xB（x）

或BA（Bx）（Bx）

从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量

11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|

解令（）3527则

（1）3

（2）2（3）3是（A）的特征值故

|A35A27A||（A）|

（1）

（2）（3）32318

12已知3阶矩阵A的特征值为123求|A*3A2E|

解因为|A|12（3）60所以A可逆故

A*|A|A16A1

71

A*3A2E6A

13A2E

令（）6

1322则

（1）1

（2）5（3）5是（A）的特征值故

|A*3A2E||6A

13A2E||（A）|

（1）

（2）（3）15（5）25

13设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相

似

证明取PA则

P

1ABPA1ABABA

即AB与BA相似

14设矩阵

201

A31x可相似对角化求x

405

解由

201

|AEx