传染病问题的SIR模型.docx
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传染病问题的SIR模型
传染病问题中的SIR模型
摘要：
2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。
长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
在这里我采用SIR（Susceptible.Infectives，Recovered模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack
与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。
应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据，维护人类健康与社会经济发展。
关键字：
传染病；动力学；SIR模型。
一、模型假设
1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因
素。
总人口数N（t）不变，人口始终保持一个常数N。
人群分为以下三类：
易感染者
（Susceptibles）,其数量比例记为s（t），表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者（Infectives），其数量比例记为i（t），表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者（Recovered）,其数量比例记为r（t），
表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。
）占总人数的比例。
2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数入，日治愈率（每
天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数卩，显然平均传染期为1/卩，传染期接触
数为c=入/卩。
该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
、模型构成
在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下:
r
口i——
在假设1中显然有：
（1）
s（t）+i（t）+r（t）=1
对于病愈免疫的移出者的数量应为
不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为So（So>0）,io（io>0）,
ro=0.
di
dt
ds
尿
dr
dt
SIR基础模型用微分方程组表示如下:
sii
（3）
si
i
s（t）,i（t）的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s（t）,i（t）的一般变化规
律。
三、数值计算
在方程（3）中设入=1,卩=0.3,i（0）=0.02,s（0）=0.98，用MATLAB软件编程：
functiony=ill（t,x）
a=1;b=0.3;
y=[a*x
（1）*x
（2）-b*x
（1）;-a*x
（1）*x
（2）];
ts=0:
50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45（'ill',ts,x0）;
plot（t,x（:
1）,t,x（:
2））
pause
plot（x（:
2）,x（:
1））
输出的简明计算结果列入表1oi（t）,s（t）的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线，初值i（0）=0.02,s（0）=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,（s,i）沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i（t）由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少,t,jr0,s（t）则单调减少,tfx,sf0.0398.并分析i（t）,s（t）的一般变化规律.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
i（t）
0.0200
0.0390
0.0732
0.1285
0.2033
0.2795
0.3312
0.3444
0.3247
s（t）
0.9800
0.9525
0.9019
0.8169
0.6927
0.5438
0.3995
0.2839
0.2027
t
9
10
15
20
25
30
35
40
45
i（t）
0.2863
0.2418
0.0787
0.0223
0.0061
0.0017
0.0005
0.0001
0
s（t）
0.1493
0.1145
0.0543
0.0434
0.0408
0.0401
0.0399
0.0399
0.0398
四、相轨线分析
我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。
利用积分特性容易求出方程（5）的解为:
（7）
io）
i
i~s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s,i）€D为
D=
={（s,i）|s>0,i>0,
s+i<1}
（4）
在方程（3）
中消去dt并注意到c
的定义，
可得
di1
dssc
1,
iIssoi0
（5）
所以：
1
di1ds
sc
i
io
s1
di1ds
s0sc
（6）
s丄沁
So
在定义域D内佝式表示的曲线即为相轨线，如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s（t）和i（t）的变化趋向.
i
下面根据⑶,（17）式和图9分析s（t）,i（t）和r（t）的变化情况（t-X时它们的极限值分别记作s,i和r）。
1•不论初始条件s0,i0如何，病人消失将消失，即：
io0（8）
其证明如下：
首先，由⑶虫0而s（t）0故s存在；由⑵空0而r（t）1故r存
dtdt
在;再由⑴知i存在。
dr
其次，若i0则由⑴，对于充分大的t有竺-,这将导致r，与r存在相
dt2
矛盾•从图形上看，不论相轨线从P1或从P2点出发，它终将与s轴相交（t充分大）.
2.最终未被感染的健康者的比例是s,在（7）式中令i=0得到，s是方程
（9）
S0
在（0,1/c）内的根.在图形上s是相轨线与s轴在（0,1/（T）内交点的横坐标.
3.若s°>1/c,则开始有虫
ds
0,i（t）先增加’令鲁
1=0，可得当s=1/
c时,i（t）达到最大值:
d1
然后s<1/M,有；爲1
0，所以i（t）减小且趋于零,s（t）则单调减小至s，如图3中
由P1（So，io）出发的轨线•
d1
4若s>1/c，则恒有二爲1
0,i（t）单调减小至零,s（t）单调减小至s,如图3中
由P2（s0,i0）出发的轨线.
可以看出，如果仅当病人比例i（t）有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/c是个阈值，当s°>1/c（即c>1/s0）时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数c，即提高阈值1/c使
得s0<1/c（即c<1/s。
）,传染病就不会蔓延（健康者比例的初始值s。
是一定的，通常可认为
s0接近1）
并且，即使s0>1/c，从（19）,（20）式可以看出,c减小时,s增加（通过作图分析），im降低,也控制了蔓延的程度•我们注意到在c=入卩中，人们的卫生水平越高，日接触率入越小；医疗水平越高，日治愈率卩越大，于是c越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延•
从另一方面看，ss?
1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数,其含义是一病人被s个健康者交换.所以当S01/即S01时必有.既然交换数不超
过1,病人比例i（t）绝不会增加，传染病不会蔓延。
五、群体免疫和预防
根据对SIR模型的分析，当s01/时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫
生和医疗水平，使阈值1/c变大以外，另一个途径是降低s0,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.
时，取（13）式右端e
Taylor展开式的前3项得:
d
dt
（1rS0
S0r
S0
2
-）
（11）
r。
1
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就
可以制止传染病的蔓延。
这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。
据估计当时印度等国天花传染病的接触数（7=5,由（11）式至少要有80%的人接受免疫才
行。
据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高ro，也因很难做到免疫者的均匀分布，
使得天花直到1977年才在全世界根除。
而有些传染病的7更高，根除就更加困难。
六、模型验证
上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。
死亡相当于移出传染
系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了直的实际数据，Kermack等人用这组数
dt
据对SIR模型作了验证。
首先，由方程
（2），（3）
可以得到
dsdt
sisi
drs-
dt
上式两边同时乘以dt可
^dss
dr
，两边积分得
s4rd
J「°0dr
lnS|S0
r
sr
e
s0
所以：
s（t）S0er（t）
（12）
再扌i（1
rs）
（1r
r、
Soe）
（13）
当r1/
在初始值r°=0下解高阶常微分方程得
（14）
1
r（t）2（S0S0
dr
dt
然后取定参数s0,c等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
图4SIR^型的理论曲线与实际数据
七、被传染比例的估计
在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s0与S之
差，记作X,即xSoS（16）
当io很小，so接近于1时，由（9）式可得
1x
xln
（1）0（17）
So
取对数函数Taylor展开的前两项有
x（1
S0
_x
2S02
（18）
111
记So丄，可视为该地区人口比例超过阈值-的部分。
当丄
时（18）式给出
1
x2SoSo2（19）
这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍。
对一种传染病，当该地区的卫生和医
1
疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。
而当阈值-提高时，减小，于是这个
比例就会降低。
八、评注
该模型采用了数值计算，图形观察与理论分析相结合的方法，先有感性认识（表1,图1,图2）,再用相轨线作理论分析，最后进行数值验证和估算，可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。
可取之处在于它们比较全面地达到了建模的目的，即描述传播过程、分析感染人数
的变化规律，预测传染病高潮到来时刻，度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段和措施。
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