第十讲 有趣的数阵图二.docx
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第十讲有趣的数阵图二
第十讲有趣的数阵图
(二)
下面我们继续研究有关数阵图的问题.
例1将1~7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中,使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S,并指出这个定数S的取值范围,最小是多少,最大是多少?
并对S最小值填出数阵.
分析为了叙述方便,用字母表示圆圈中的数.通过观察,我们发现,三个大圆上,每个大圆上都有4个小圆,由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出:
B是三个圆的公共部分,A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为:
3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G,而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7.
∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.
3S=28+2B+A+C+D.
如果设2B+A+C+D=W,要使S等于定数
即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4
W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4,
综上所述,得出:
13≤S≤19即定数可以取13~19中间的整数.
本题要求S=13,那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.
注意:
解答这类问题常常抓两个要点,一是某种共同的“和数”S.(同一条边上各数和,同一三角形上各数和,同一圆上各数和等等).
二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值.从“中心数”B处考虑.(B是三个大圆的公共部分,常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心,主要因为B参与相加的次数最多)此处因为定数是13,中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B,其他问题就容易解决了.
解:
例2把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中,使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.
分析观察右图,我们发现:
①有3条路,每条路上有4个数,且4个数相加的和要相等.
②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等,就可以确保每条路上的四个数的和相等.
③20以内的质数共有8个,依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数,问题就可迎刃而解.如要分析,设起点数为X,终点数为y,每条路上4个数之和为S,显然有:
3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13+17+19
=2x+2y+77.
即S最小=29,此时x=2,y=3
但这时,中间二个质数之和为47-(19+13)=15,但17>15,17无处填.
所以S=47是无法实现的.
这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然,其他路上为4个质数之和,2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加,另两条路上为4个奇相加,形成矛盾.
再进一步分析,(终点,始点地位对称)始点放上2,终点放上另一个质数,其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算,只有终点放上3,而可满足的解法只有一种(已在下图中表出).
解:
这样,轻而举地可得到:
5+19=24,7+17=24,11+13=24.
例3把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中,使得正方形每边上的三个数的和相等.
分析和解假设每边上的三数之和为
S,四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d,那么:
a+c=b+d=(1+2+…+8)-2S=36-2S
∴2S=36-(a+C)=36-(b+d)
①若S=15,则a+c=b+d=6,又1+5=2+4=6,试验可得下图
②若S=14,则a+c=b+d=8,又1+7=2+6=3+5=8,试验可得下两图
③若S=13,则a+c=b+d=10,又2+8=3+7=4+610,试验可得下两图
④若S=12,则a+c=b+d=12,又4+8=5+7=12,试验可得下图
例4在一个立方体各个顶点上分别填入1~9这九个数中的八个数,使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等,并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.
试求:
没有被标上的数字是多少?
并给出一种填数的方法.
分析为了叙述方便,设没有被标上的数字为a,S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面,所以得到:
6S=3×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a
6S=3×45-3a
2S=45-a
(1)
根据
(1)式可看出:
因为左边2S是偶数,所以右边45-a也必须是偶数,故a必须是奇数.又因为根据题意,S不能被a整除,而2与a互质,所以2S不能被a整除,45也一定不能被a整除.”
在奇数数字1、3、5、7、9中,只有7不能整除45,所以可以确定a=7.
这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是19,解法如图.
例5将1~8这八个数标在立方体的八个顶点上,使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.
分析观察下图,知道每个顶点属于三个面,正方体有6个面,所以每个面的数字之和为:
(1+2+3+4+5+6+7+8)×3÷6=18.
这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是18.下面有3种填法的提示,作为练习,请读者补充完整.
解:
例6在下左图中,将1~9这九个数,填人圆圈内,使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.
分析为了便于叙述说明,圆圈内应填的数,先由字母代替.设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为S.
即:
A+B+C=S、D+E+F=S、G+H+I=S、
C+G+E=S、A+G+D=S、B+H+E=S、
C+I+F=S.
将上面七个等式相加得到:
2(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+C+G+E=7S.
即:
A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S
又∵A、B、C、D、E、F、G、H、I,分别代表1~9这九个数.即:
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
3S=45
S=15.
这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15.
在1~9九个数中,三个数的和等于15的组合情况有以下8种即:
(1、9、5);(1、8、6);(2、9、4);(2、8、5);(3、7、5);(2、7、6);(3、8、4);(4、5、6);观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看,数字2、4、5、6、8都均出现了三次,其他数字均只出现两次,所以,符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内,这样就得到本题的两个解.
解:
例7在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内,填入1~9这九个自然数,使每一个正方形角上四个数字之和相等.
分析为了叙述方便,我们将各个圆圈内填入字母,如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S,那么图中六个正方形可得到:
a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,
b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,
b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.
将上面的六个等式相加可得到:
2(a1+a3+c3+c1)+3(a2+b3+b2+b1)+4b2=6S.则4b2=S
4(a1+a3+c3+c1)+4(a2+b3+b2+b1)+4b2=9S.
于是有:
4(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3)=4×45=9S.
9S=4×45
S=20.
这就说明每个正方形角上四个数字之和为20.
所以:
b2=5.
从而得到:
a1+a2+b1=a2+a3+b3=15,
b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.
由上面两式可得:
a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.
如果a2为奇数,则a1+b1和a3+b3均为偶数.
①若a1为奇数,a3为偶数,则b1为奇数,b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20,所以b2为偶数,则c1为偶数,c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20,而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20,有矛盾.
②若a1为偶数,a3为偶数,则b1也为偶数,b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20,所以b2为奇数,则c1为偶数,c3为偶数,但1~9中只有4个偶数,有矛盾.
③若a1为奇数,a3为奇数,则b1、b3也为奇数,这样1~9中有六个奇数,有矛盾.
④若a1为偶数,a3为奇数,情况与①相同.
综合上述,a2必为偶数.由对称性易知:
b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数.
这样,就比较容易找到此解.
解:
注:
也可以这样想:
因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,中心数用5试填后,余下40,那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10,比如:
2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下,便可以凑出结果了.
习题十
1.将1~6六个自然数字分别填入下图的圆圈内,使三角形每边上的三数之和都等于定数S,指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.
2.将1~10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内,使五边形每条边上的三数之和都相等,并使值尽可能大.
3.将1~8填入上右图中圆圈内,使每个大圆周上的五个数之和为21.
习题十解答
1.分析设三个顶点为x、y、Z,三条边中点处放置a、b、c,每边三数之和为S.
则有2(x+y+z)+a+b+c=3S.
对x+y+z+a+b+c
=1+2+…+6=21
∴定数S可取9、10、11、12.
经过试探、搜索知道:
顶点放2、4、6,而2、4之间放5,2、6之间放上3,4、6之间放上1,即可.
2.
3.