简单的凸面体滚动展开.docx

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简单的凸面体滚动展开

简单的凸面体滚动展开

吴锦军，工作单位：

陕西省榆林市榆阳区清泉镇清泉中学；邮编719006。

摘要：

本文介绍了用滚动法进行凸面体的展开的不动边数（面数-1），及简单凸面体展开图种类。

关键词：

展开图，面，棱，滚动，不动棱，图案。

展开图的展开的办法是滚动法。

所谓的滚动法是以凸面体为对象进行表面展开的方法。

步骤是：

把一个凸面体的面放在平面的纸上，我们用笔沿着棱的边沿在纸上画一周，以上面的面中的一条棱为转轴进行滚动，相邻的一个面又在纸的平面上了，我们用笔沿着棱的边沿画第二周，以此法重复直至所有的面都画在纸上，要注意没有重画的面。

展开的图案中，通过旋转、平移、轴对后称重叠的，为一种。

一、凸面体是三棱锥，如图1.

下面是这三棱锥的四个面：

图2-5

图1

图2

图3

图4

图5

这三棱锥的四个面通过滚动展开后，可以有13中展开的图案。

上面的展开图中，三条棱没有发生变化，叫不动棱，另外的三条棱成为一对相同的边，叫两条分棱边，即两条相同的边。

展开图，就是6条分棱边组成的图形。

二、正方体的展开图比较少，才十一种，所谓的十一种，是指这些个展开图中，通过旋转、平移、轴对称不会与另外的展开图重叠。

下面按照滚动的办法画出正方体的展开图。

判断错误的展开图，也有一个判定的方法：

连续成一条线的三个展开的面，第一个和第三个面一定是相对面。

展开图中，相对的面一定不能重叠。

比如下图：

白色、橙色褐色排成一行，白色和褐色是相对面；青色、天蓝和褐色也排成一行，那么褐色和青色也是相对面，这样，褐色这个面重叠了，所以不能是正确的展开图。

这种判定对长方体的展开也是适合的。

正方体的展开图中，不动棱数是五条，另外的七条棱成为分棱边。

三、长方体的展开图中，和正方体一样，五条棱没有发生变化，另外的七条棱成为分棱边。

到这里，我有个比较好的结论。

定理1：

有个凸面体，面数是F，那么展开图中，不动棱数是F-1.

比如一个凸七面体，它的棱数可能有12条，13条，14条，展开后，不动棱数7-1=6条，相应的有6x2条，7x2条，8x2条成为分棱边。

证明：

在滚动展开时，画一次，展得一个面。

第一次，开始，都是分棱边；0条不动棱；

第二次，加1条不动棱；因为，凸面体展开后，角度变大，原来连接的面的棱，最多一条可以和已经展开的面相连；

第三次，同理，加1不动棱；

第四次，加1条不动棱；

…

第F次，凸面体已经展开，不动棱数是F-1.

长方体的展开图，比正方体的复杂，也可以用滚动法。

假设，长方体的长、宽、高不相等，展开方法包括三类：

一是有四个面连成一线的，包括1：

沿长展开，2：

沿宽展开，3：

沿高展开；二是有三个面连成一线的，包括：

4：

小中小，5：

中小中，6：

大小大，7：

小大小，8：

中大中，9：

大中大；三是二个面连成一线。

总共有54种展开图。

：

有四个面连成一线的

1：

沿长展开的图案：

Ａ

2：

沿宽展开的图案：

3：

沿高展开的图案：

：

有三个面连在一起的

4：

小中小：

5：

中小中：

6：

大小大：

7：

小大小：

8：

中大中：

9：

大中大：

上面的六种“三个连成一线的长方形”的长方体展开图的图案中，每一种有五个图案，其中两个是完全不同的，三个是重叠（两个一样的），用虚线表示边框，所以总共在有“三个连成一线的长方形”中有2x6+1.5x6=21个图案；

：

有两个面连在一起的。

10：

沿长、宽、高展开的图案，有三种：

参考文献：

《正方体和长方体展开图滚动教法》。

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吴锦军

吴锦军

2014年3月16日星期日