巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数_精品文档.doc

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数_精品文档.doc

《巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数_精品文档.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数_精品文档.doc（2页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数

河南平顶山市第三高级中学金小欣467000

一、梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：

如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：

B

K

N

M

A

C

E

。

证明：

过顶点B作AC的平行线与截线交于E，

则有：

，，

∴

M

A

B

N

P

O

对该定理的几点说明：

①证明的方法：

过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。

②定理的实质：

三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：

，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶点。

③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。

二、梅涅劳斯定理的一个应用例子

题目：

在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记=，=，用，表示向量.

先给出高中常规解法（待定系数法）如下：

解法一：

∵B、P、M共线∴记=s

∴--------①

同理，记，得：

=--------②

∵,不共线∴由①、②得解之得：

∴

上述解法的基本思想是：

先设法求出点P分AN、BM的比，理论依据：

一个是教材例题的结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。

利用该定理中两个系数的唯一性，得到关于s，t的方程。

由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系，故尝试本题能否用这两个定理来解决。

解法二：

ΔOAN被直线MPB所截，由梅涅劳斯定理，得：

A

B

M

N

P

O

即，

∴∴

或者，ΔOBM被直线NPA所截，得：

∴

可见，只要选对了被截的三角形，用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了，非常便利。

三、用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结

以上例为例，经认真思考和实验，其规律性体现为：

欲求P分之比，则考察为一边的三角形被直线所截。

若去掉线段AB，则截线显然为

四、变式练习

（1）题目条件不变，若延长OP与AB交于点D，求向量与的线性关系。

D

A

B

M

N

P

O

分析：

由“塞瓦定理”得：

，即：

∴,下面只要求出P分OD的比即可。

由三之要点，考察POD所在ΔOAD被直线所截，由梅氏定理，

得：

，即：

，

∴.

从而，

（2）题目条件不变，求用的表示式。

（答案：

）

可见，用梅涅劳斯定理可快速得到向量线性相关的相关系数，尤其对于选择、填空题，极大提高了解题速度和质量。