1、巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000一、 梅涅劳斯(Menelaus)定理简介:如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点,则:BKNMACE。证明: 过顶点B作AC的平行线与截线交于E,则有: , , MABNPO对该定理的几点说明:证明的方法:过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交,利用“平行线截线段成比例定理”或相似性质,将其中的两个比例式等价转化。定理的实质:三个比例式的乘积等于1,每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点;其结构特征为: ,呈现“首尾相接”;整体看,从某一个顶点出发,最后又
2、回到该顶点。该定理常与“塞瓦定理”结合使用。二、 梅涅劳斯定理的一个应用例子题目:在OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使|=13,|=14,设线段AN与BM交于点P,记= ,=,用 ,表示向量.先给出高中常规解法(待定系数法)如下:解法一: B、P、M共线 记=s -同理,记 ,得: =- ,不共线 由、得解之得: 上述解法的基本思想是:先设法求出点P分AN、BM的比,理论依据:一个是教材例题的结论(可作为定理直接使用),一个就是平面向量基本定理。利用该定理中两个系数的唯一性,得到关于s,t的方程。由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系,故尝试本题能否用这两个定理来解决
3、。解法二:OAN被直线MPB所截,由梅涅劳斯定理,得:ABMNPO 即 , 或者,OBM被直线NPA所截,得:可见,只要选对了被截的三角形,用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了,非常便利。三、 用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结以上例为例,经认真思考和实验,其规律性体现为:欲求P分之比,则考察 为一边的三角形被直线所截。若去掉线段AB,则截线显然为 四、 变式练习(1) 题目条件不变,若延长OP与AB交于点D,求向量与的线性关系。DABMNPO分析:由“塞瓦定理”得: ,即: , ,下面只要求出P分OD的比即可。由三之要点,考察POD所在OAD被直线所截,由梅氏定理,得: ,即: , .从而,(2)题目条件不变,求用的表示式。( 答案: )可见,用梅涅劳斯定理可快速得到向量线性相关的相关系数,尤其对于选择、填空题,极大提高了解题速度和质量。