算法设计与分析第2版王红梅胡明习题.docx

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算法设计与分析第2版王红梅胡明习题

习题1

（LeonhardEuler,1707—1783）

1.图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士的伟大数学家欧拉提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：

一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：

一个起点输出：

相同的点

1，一次步行

2，经过七座桥，且每次只经历过一次

3，回到起点

该问题无解：

能一笔画的图形只有两类：

一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

2•在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减

法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法

1.r=m-n

2.循环直到r=0

2.1m=n

2.2n=r

2.3r=m-n

3输出m

3•设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法

//对数组先进行快速排序

//在依次比较相邻的差

#include

usingnamespacestd;

intpartions（intb[],intlow,inthigh）{

intprvotkey=b[low];b[0]=b[low];while（low

while（low=prvotkey）--high;

b[low]=b[high];

while（low

b[high]=b[low];}

b[low]=b[0];returnlow;

}

将第一次排序的结果作为枢轴递归调用排序由low到prvotloc-1递归调用排序由prvotloc+1到high

voidqsort（intl[],intlow,inthigh）{intprvotloc;if（low

prvotloc=partions（l,low,high）;//qsort（l,low,prvotloc-1）;//qsort（l,prvotloc+1,high）;//

}

}

，从第一个排到第n个

voidquicksort（intl[],intn）{qsort（l,1,n）;//第一个作为枢轴}

intmain（）

{

inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};

intvalue=0;//将最小差的值赋值给valuefor（intb=1;b<11;b++）

cout<

cout<

quicksort（a,11）;

for（inti=0;i!

=9;++i）

{

if（（a[i+1]-a[i]）<=（a[i+2]-a[i+1]））value=a[i+1]-a[i];

elsevalue=a[i+2]-a[i+1];

}cout<

return0;

}

中一个既不是最大也不是最小的

C++描述。

的值赋值给它

4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]元素，并说明最坏情况下的比较次数。

要求分别给出伪代码和

#includeusingnamespacestd;

intmain（）

{

inta[]={1,2,3,6,4,9,0};

intmid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素for（inti=0;i!

=4;++i）

{if（a[i+1]>a[i]&&a[i+1]

}elseif（a[i+1]a[i+2]）{

mid_value=a[i+1];cout<

}

}//for

return0;}

5.编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

doublevalue=0;

for（intn=1;n<=10000;++n）

{value=value*10+1;

if（value%2013==0）

{

cout<<"n至少为:

"<

break;

}

}//for

return0;

}

6•计算n值的问题能精确求解吗？

编写程序，求解满足给定精度要求的n值

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

doublea,b;

doublearctan（doublex）;//声明

a=16.0*arctan（1/5.0）;

b=4.0*arctan（1/239）;

cout<<"PI="<

return0；

}doublearctan（doublex）

{

inti=0;

doubler=0,e,f,sqr;//定义四个变量初

sqr=x*x;

e=x;

while（e/i>1e-15）//定义精度范围

{

f=e/i;//f是每次r需要叠加的方程

r=（i%4==1）?

r+f:

r-f;

e=e*sqr;//e每次乘于x的平方i+=2;//i每次加2

}//whilereturnr;

}

7.圣经上说：

神6天创造天地万有，第7日安歇。

为什么是6天呢？

任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。

例如，6=1+2+3，因此6是完美数。

神6

天创造世界，暗示着该创造是完美的。

设计算法，判断给定的自然数是否是完美数

#includeusingnamespacestd;

intmain（）

{

intvalue,k=1;cin>>value;

for（inti=2;i!

=value;++i）

{while（value%i==0）

{

k+=i;//k为该自然数所有因子之和value=value/i;

}

}//forif（k==value）cout<<"该自然数是完美数"<

else

cout<<"该自然数不是完美数"<

return0;

}

8.有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。

他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。

这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。

每个人走路的速度是不同的：

甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成

甲每次分别带着乙丙丁过桥

例如：

第一趟：

甲，乙过桥且甲回来

第二趟：

甲，丙过桥且甲回来

第一趟：

甲，丁过桥

一共用时19小时

9•欧几里德游戏：

开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。

请问，你是选择先行动还是后行动？

为什么？

设最初两个数较大的为a,较小的为b,两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括：

factor,factor*2,factor*3,…，factor*（a/factor）=a.—共

a/factor个。

如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题2

1•如果Ti（n）=O（f（n））,T2（n）=O（g（n）），解答下列问题:

（1）证明加法定理：

T1（n）+T2（n）=max{O（f（n））,O（g（n））};

（2）证明乘法定理：

「（n）xT2（n）=O（f（n））xO（g（n））;

（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理

（2）

（3）比如在

for（f（n））

{

for（g（n））

}

中应该用乘法定理

如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理

2•考虑下面的算法，回答下列问题：

算法完成什么功能？

算法的基本语句是什么？

基本语句执行了多少次？

算法的时间复杂性是多少？

（2）

（1）intStery（intn）

{

intS=0;

for（inti=1;i<=n;i++）

S=S+i*i;

returnS;

intQ（intn）

{

if（n==1）

return1;

else

returnQ（n-1）+2*n-1;

（1）完成的是1-n的平方和基本语句：

s+=i*i，执行了n次

时间复杂度O（n）

（2）

（2）完成的是n的平方

基本语句：

returnQ（n-1）+2*n-1，执行了n次时间复杂度O（n）

3.

分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。

（1）基本语句2*i

基本语句y=y+i*j执行了2/n次一共执行次数=n/2+n/2=O（n）

（2）基本语句m+=1执行了（n/2）*n=0（n*n）

4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式：

（1）intT（intn）

{

if（n==1）

return4;

elseif（n>1）

return3*T（n-1）;

}

（2）

intT（intn）

{

if（n==1）

return1;

elseif（n>1）

return2*T（n/3）+n;

}

5.求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。

（1）求数组中的最大元素；

（2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图；

（3）确定数组中的元素是否都是惟一的；

（4）生成一个具有n个元素集合的所有子集

⑴Q（n）紧密？

（2）Q（n*n）

⑶Q（logn+n）（先进行快排，然后进行比较查找）

（4）Q（2An）

a,b,c中求中值问题的判定树。

7.画出在三个数

&国际象棋是很久以前由一个印度人Shashi发明的，当他把该发明献给国王时，国王

很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。

Shashi要求以这种方式给他一些粮

食：

棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，……，以此类推，直到64个方格全部放满。

这个奖赏的最终结果会是什么样呢？

#includeusingnamespacestd;

intmain（）

{

longdoubleresult=1;doublej=1;

for（inti=1;i<=64;++i）{

j=j*2;result+=j;j++;

}cout<

return0;

习题3

1．假设在文本"ababcabccabccacbab"中查找模式"abccac"，写出分别采用BF算法和KMP算法的串匹配过

//BF算法

#includeusingnamespacestd;

intBF（charS[],charT[]）

{

intindex=0;

inti=0,j=0;

while（（S[i]!

='\0'）&&（T[j]!

='\0'））{

if（S[i]==T[j]）

{

i++;

j++;

}

else{

++index;

i=index;

j=0;

}

}

if（T[j]=='\0'）

returnindex+1;

else

return0;

}

intmain（）

{

chars1[19]="ababcabccabccacbab";

chars2[7]="abccac";cout<

}

//KMP算法

#includeusingnamespacestd;

voidGetNext（charT[],intnext[]）{

inti,j,len;next[0]=-1;

for（j=1;T[j]!

='\0';j++）{

for（len=j-1;len>=1;len--）

{

for（i=0;i

if（T[i]!

=T[j-len+i]）break;if（i==len）{

next[j]=len;break;

}

}//for

if（len<1）

next[j]=0;

}//for}

intKMP（charS[],charT[]）

{

inti=0,j=0;

intnext[80];

GetNext（T,next）;while（S[i]!

='\0'&&T[j]!

='\0'）{

if（S[i]==T[j]）

//求模式T的next值

//依次求next[j]

//相等子串的最大长度为j-1

//依次比较T[0]~T[len-1]与T[j-len]~T[j-1]

//其他情况，无相等子串

//求T在S中的序号

//假定模式最长为80个字符

{

i++;j++;

}

else{

j=next[j];

if（j==-1）{i++;j++;}

//返回本趟匹配的开始位置

if（T[j]=='\0'）return（i-strlen（T）+1）;else

return0;

}

intmain（）

{

chars1[]="ababcabccabccacbab";

chars2[]="abccac";

cout<

return0;

}

2.

例如，将6/8化简为3/4。

分式化简。

设计算法，将一个给定的真分数化简为最简分数形式。

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

intn;//分子

intm;//分母

intfactor;//最大公因子

intfactor1;

cout<<"输入一个真分数的分子与分母：

"<>n>>m;

intr=m%n;//因为是真分数所以分母一定大于分子factor1=m;

factor=n;

while（r!

=0）

{

factor1=factor;factor=r;

r=factor1%factor;

cout<<"输出该真分数的最简分数：

"<<（n/factor）<<"/"<<（m/factor）<

}

3.设计算法，判断一个大整数能否被11整除。

可以通过以下方法：

将该数的十进制表示

从右端开始，每两位一组构成一个整数，然后将这些数相加，判断其和能否被11整除。

例如，将562843748分割成5,62,84,37,48，然后判断（5+62+84+37+48）能否被11整除

//将一个大整数看成一个数组

//数组的奇数位对应数的10倍加上数组偶数对应数的本身

//验证结果能否被11整除

#includeusingnamespacestd;

intmain（）

{

inta[9]={5,6,2,8,4,3,7,4,8};

intresult=0;//result为题目要求的各位之和for（inti=0;i!

=9;++i）

{

if（i%2==0）result+=a[i];//i为偶数位时，结果加上其对应数组数的本身else

result+=a[i]*10;//i为奇数位时，结果加上对应数组数的10倍}

if（result%11==0）

cout<<"该整数能被11整除"<

else

cout<<"该整数不能被11整除"<

return0;

}

4.数字游戏。

把数字1,2,…,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中，使得该等式成立。

要求9个数字均出现一次且仅出现一次，且数字1不能出现在乘和除的一位数中（即排除运算式中一位数为1的平凡情形）。

X+--=0

5.设计算法求解anmodm,其中a、n和m均为大于1的整数。

（提示:

超出int型的表示范围，应该每做一次乘法之后对n取模）

#include

usingnamespacestd;

intsquare（intx）

{

returnx*x;

}

//用递归思想

intresultmod（inta,intn）

{

if（n==0）

return1;

if（n%2==0）

returnsquare（resultmod（a,n/2））;//n为偶数的时，取n的一半防止溢出else

returna*resultmod（a,n-1）;//n为奇数时，取n-1；

}

intmain（）

{

inta,n,m;

cout<<"请输入a，n,m:

"<<"";

cin>>a>>n>>m;

cout<

intresult=resultmod（a,n）;cout<<"aAnmodm的结果为：

"<

return0;

}

6.设计算法，在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素，要求时间复杂性为

为了避免an

O（n）,空间

复杂性为O

（1）。

7.设计算法，在数组r[n]中删除重复的元素，要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。

#includeusingnamespacestd;voiddeletere（inta[],intN）{

intb[100]={0};

inti,k;

k=0;

staticintj=0;

for（i=0;i

b[a[i]]++;

for（i=0;i<100;i++）

{

if（b[i]!

=0）

{

if（b[i]==2）

{k++;

}

a[j]=i;j++;

}

}

for（i=0;i

}intmain（）

{

inta[]={1,2,1,3,2,4};deletere（a,6）;

return0;

}

//在数组查找相同的元素

//把其中一个相同的数值的元素位置设成一个“特殊数值”//输出所求函数#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

inta[]={1,2,1,5,3,2,9,4,5,5,3,5};

inti,j;

for（i=0;i<12;i++）

{

for（j=0;j

{

if（a[j]==a[i]）

a[i]=64787250;//设一个数组不存在的数值

}

}//forfor（i=0;i<12;i++）

{

if（a[i]!

=64787250）cout<

}

cout<

return0;

}

8.

0的元素存入

A的空间。

设表A={ai,a2,…,an}，将A拆成B和C两个表，使A中值大于等于表B,值小于0的元素存入表C,要求表B和C不另外设置存储空间而利用表

//先对A进行快排

〃将大于0的元素给B,小于0的元素给C

#include

usingnamespacestd;

intpartions（intl[],intlow,inthigh）

{

intprvotkey=l[low];

l[0]=l[low];

while（low

{

while（low=prvotkey）

--high;

l[low]=l[high];

while（low

l[high]=l[low];

l[low]=l[0];returnlow;}

voidqsort（intl[],intlow,inthigh）

{

intprvotloc;

if（low

{

prvotloc=partions（l,low,high）;//将第一次排序的结果作为枢轴

qsort（l,low,prvotloc-1）;//递归调用排序由low到prvotloc-1qsort（l,prvotloc+1,high）;//递归调用排序由prvotloc+1到high

}

}

voidquicksort（intl[],intn）

{

qsort（l,1,n）;//第一个作为枢轴，从第一个排到第n个

}

intmain（）

{

inta[11]={-2,2,32,43,-23,45,36,-57,14,27,-39};

quicksort（a,11）;

for（inti=1;i<11;i++）

{

if（a[i]<0）

cout<<"C:

"<

else

cout<<"B:

"<

}

cout<

return0;

表兰色，这都是荷兰国旗的颜色）构成的数组，使得所有的

B排在最后。

为荷兰国旗问题设计一个算法，其时间性能是

//0代表红；1代表白；2代表蓝

#include