届高三湖南十二校联考第一次考试文数.docx
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届高三湖南十二校联考第一次考试文数
湖南省2011届高三·十二校联考第一次考试
文科数学试卷
由联合命题
总分：
150分时量：
120分钟
考试时间：
2011年3月6日下午2：
30～4：
30得分：
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置.
1.已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，则
A.ABB.BA
C.A∩B＝{x|x≥1}D.A∪B＝{x|x>2}
2.a、b、c、d∈R，则“ad＋bc＝0”是“a＋bi与c＋di（i为虚数单位）的积为实数”的条件.
A.必要不充分B.充分不必要
C.充要D.既不充分也不必要
3.若列联表如下：
色盲
不色盲
合计
男
15
20
35
女
12
8
20
合计
27
28
55
则K2的值约为
A.1.4967B.1.64
C.1.597D.1.71
4.函数y＝－cos2x＋sinx－的值域为
A.[－1,1]B.[－，1]
C.[－，－1]D.[－1，]
5.右图给出的是计算＋＋＋……＋的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是
A.i>25？
B.i<25？
C.i>50？
D.i<50？
6.设抛物线y2＝4x上一点P到直线x＝－3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是
A.4B.6
C.8D.3
7.正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为
A.0°B.45°
C.60°D.90°
8.若函数f（x）＝－x＋b－3有两个零点，则b的取值范围是
A.[－1－2，3]B.（5—2，3]
C.（1—2，3）D.（1－，3）
选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
答案
二、填空题：
本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.炼钢时，通过加入有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求，假设为了炼出某特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在500g到1000g之间，用0.618法安排实验，则第二次试点加入量可以是g.
10.已知向量a＝（n，－1），b＝（－1,1），c＝（－1,2），若（a＋b）∥c，则n＝.
11.已知x、y满足下列条件，则x2＋y2的最大值是.
12.某赛季一篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图.则这组数据的中位数是，平均数是.
13.在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与双曲线ρ2cos2θ－4ρ2sin2θ＝4.则它们的交点的直角坐标为.
14.在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式|x|＋|y|≤1表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是.
15.设函数f（x）＝x2＋3，对任意x∈[1，＋∞），f（）＋m2f（x）≥f（x－1）＋3f（m）恒成立，则实数m的取值范围是.
三、解答题：
本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
为了解农民年收入情况，某乡镇对本镇10000户农民按10%的比例进行了抽样调查，测得户年收入10000～50000元的情况统计图如下：
（1）估计该镇1万元～2万元的农户数.
（2）估计该镇农户收入在2～4.5万元之间的概率.（将频率看成概率）
（3）如果规定年户收入达不到2.5万元的比例低于25%时，则需要国家政策扶持，请问该乡镇需不需要国家政策扶持？
为什么？
17.（本小题满分12分）
若△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且1－2sinBsinC＝cos2B＋cos2C－cos2A.
（1）求A的大小；
（2）求sinB＋sinC的最值.
18.（本小题满分12分）
设某几何体及其三视图：
如图（尺寸的长度单位：
m）
（1）O为AC的中点，证明：
BO⊥平面APC；
（2）求该几何体的体积；
（3）求点A到面PBC的距离.
19.（本小题满分13分）
随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：
Tn＝228a（1.012n－1）.（n≤24，n∈N*）
（1）求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由.
（参考数据：
≈1.09，≈8.66）
20.（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝（a－1）x＋aln（x－2），（a<1）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a<0时，对任意x1、x2∈（2，＋∞），<－4恒成立，求a的取值范围.
21.（本小题满分13分）
已知椭圆＋＝1（a>b>0）的一个焦点坐标为（，0），短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（－a,0），点Q（0，m）在线段AB的垂直平分线上且·≤4，求m的取值范围.
湖南省2011届高三·十二校联考第一次考试
文科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
B
A
D
D
B
二、填空题
9.69110.111.1312.1613.（2,0）14.
15.（－∞，－]∪[－，]∪[，＋∞）
三、解答题
16.解：
①1600户.（4分）
②P＝＝0.79.（8分）
③年户收入达不到2.5万元的农户占31.5%>25%，所以不需要国家政策扶持.（12分）
17.解：
（1）∵1－2sinBsinC＝cos2B＋cos2C－cos2A
∴1－2sinBsinC＝1－2sin2B＋1－2sin2C－1＋2sin2A
由正弦定理可得：
－2bc＝－2b2－2c2＋2a2
整理得：
b2＋c2－a2＝bc（3分）
∴cosA＝＝
∴A＝60°.（6分）
（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin（120°－B）＝sinB＋cosB＋sinB
＝cosB＋sinB＝（cosB＋sinB）
＝sin（B＋30°）（8分）
∵0°∴30°∴∴sinB＋sinC无最小值，最大值为.（12分）
18.解：
（1）证明：
由三视图可知，面PAC⊥面ABC，BO⊥AC
∴BO⊥平面APC.（3分）
（2）过P点在面PAC内作PE⊥AC交AC于E，由俯视图可知：
CE＝1，AE＝3
又BO＝3，AC＝4，∴S△ABC＝×4×3＝6
∴VP－ABC＝×6×2＝4.（7分）
（3）∵PC＝＝，BE＝＝
∴PB＝＝，BC＝＝
∴cos∠PBC＝＝＝
＝
∴sin∠PBC＝＝
∴S△PBC＝PB·BC·sin∠PBC＝··
＝
设点A到面PBC的距离为h.
∵VA－PBC＝VP－ABC，∴h·S△PBC＝4
∴h＝＝＝.（12分）
19.解：
（1）Q型车每月的销售量{an}是以首项a1＝a，
公比q＝1＋1%＝1.01的等比数列（2分）
前n个月的销售总量Sn＝＝100a（1.01n－1），（n∈N*，且n≤24）.
（2）∵Sn－Tn＝100a（1.01n－1）－228a（1.012n－1）
＝100a（1.01n－1）－228a（1.01n－1）（1.01n＋1）
＝－228a（1.01n－1）·（1.01n＋）
又1.01n－1>0,1.01n＋>0，∴Sn（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，则an＝a×1.01n－1
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝228a（1.012n－1）－228a（1.012n－2－1）
＝228a×（1.012－1）×1.012n－2＝4.5828a1.012n－2.（10分）
b1＝4.5828a，显然20%×b1当n≥2时，若an<20%×bn，a×1.01n－1<×4.5828a×1.012n－2，
1.012（n－1）>×1.01n－1,1.01n－1>≈1.09，n－1>≈8.66.
∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.（13分）
20.解：
（1）∵f′（x）＝（a－1）＋＝（1分）
①a<0时，f′（x）＝
∵－2＝<0，∴0<<2，∴x>2时，f′（x）<0
∴f（x）在（2，＋∞）上递减.（3分）
②a＝0时，f（x）＝－x，在（2，＋∞）上递减.（4分）
③02
∴x∈（2，）时，f′（x）>0，f（x）在（2，）上递增；
当x∈（，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）在（，＋∞）上递减；（6分）
∴综上所述，当a≤0时，f（x）在（2，＋∞）上递减，
当0（2）当a<0时，f（x）在（2，＋∞）上递减；
不妨设任意x1，x2∈（2，＋∞）且x1<－4可变为f（x1）－f（x2）>－4（x1－x2）
f（x1）＋4x1>f（x2）＋4x2
∴令g（x）＝f（x）＋4x，∴g（x）在（2，＋∞）上递减
∴g′（x）<0在（2，＋∞）上恒成立
∴a－1＋＋4<0在（2，＋∞）上恒成立.
a<－3＋在（2，＋∞）上恒成立
而－3<－3＋<0，∴a≤－3.（13分）
21.解：
（1）由题意知a＝2b，c＝，a2＝b2＋c2
解得a＝2，b＝1
∴椭圆方程为＋y2＝1.（4分）
（2）由
（1）可知A（－2,0），设B点坐标为（x1，y1），
直线l的方程为y＝k（x＋2）
于是A、B两点的坐标满足方程组
由方程消去y并整理得
（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0
由－2x1＝得x1＝，从而y1＝
设线段AB的中点为M，则M的坐标为（－，）（7分）
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，
于是＝（－2，－m），＝（2，－m），
由·≤4
得：
－2≤m≤2.（9分）
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－（x＋）
令x＝0，得m＝－
由·＝－2x1－m（y1－m）
＝＋（＋）
＝≤4
解得－≤k≤且k≠0（10分）
∴m＝－＝－
∴当－≤k<0时，＋4k≤－4
当0∴－≤m≤，且m≠0（12分）
综上所述，－≤m≤，且m≠0.（13分）
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