分题型讲解一次函数应用.docx
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分题型讲解一次函数应用
一次函数的应用分题型讲解
一方案分析题
2.表格分析题
3.图像分析题
4.几何图形题
五.动点题型
六.利用不等式分析
七.利用方程(组)求解
八.求最值题型
九.阅读理解题型
一方案分析题
1.某交组织三好学生旅游,由两名教师带队.现有甲乙两家旅行社报价均为2000元/人.但甲社表示,两名教师免费,学生打7折;乙社由表示,所有人均按6折优惠.
(1)写出甲乙两社所需支付的费用与学生旅游人数(x)人的关系式.
(2)如果你是领队,应选择哪家旅行社更合算?
2.罗汉中学由于教师人数增多,需要到普安购买12张办公桌和一批椅子(椅子数多于桌子数),学校领导到甲、乙两家公司了解价格情况后得知,相同规格和质量的桌子、椅子,甲公司售价是每张桌子200元,每把椅子50元,但买一张桌子送一把椅子,其余的椅子按售价付钱,乙公司售价与甲公司相同,但乙公司桌子、椅子均按售价的8.5折出售.
(1)写出购买椅子数x与到甲公司购买桌子、椅子所需费用y甲(元)的函数关系式.
(2)写出购买椅子数x与到乙公司购买桌子、椅子所需费用y乙(元)的函数关系式.
(3)如果学校派你去甲、乙两公司采购,你会怎样选择公司?
请说明理由.
3.近期,武山县城关初中准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册.甲公司提出:
每册收材料费5元,另收设计费1500元;乙公司提出:
每册收材料费8元,不收设计费.
(1)请分别写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费y1(元)和乙公司的收费y2(元)的函数关系式.
(2)用图象或计算的方法(任选一种)说明毕业学生人数在什么范围内时:
①选择甲公司合算;
②甲、乙两公司费用一样;
③选择乙公司合算.
4.甲、乙两家灯具店销售同一种灯具,甲商店说:
“购买一只以上,一只按原价付费,其余按原价的五折优惠”.乙商店说:
“一律按原价的六折优惠”.已知原价为120元/只
(1)设购买灯具数为x(x≥1),甲收费为y甲元,乙收费为y乙元,分别写出y甲、y乙与x的函数关系式.
(2)当灯具数为多少时,两商店的收费一样?
(3)当灯具数为18时,选择哪家商店更优惠?
5.某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元,并且多买都有优惠.甲商场的优惠条件是:
第一台按原价收费,其余的每台优惠25%;乙商场的优惠条件是:
每台优惠20%,
(1)试写出甲、乙两商场的收费y1、y2 (元)与购买台数x之间的关系式;
(2)请你判断何时到那家商场购买更优惠些?
6.为了促进销售,惠及顾客,2014年春节期间,乐普生对某品牌的黄金首饰进行打折销售,具体方法是该品牌的首饰首先一律打九折销售,并且标价满1000元再送100元现金,满2000元送200元现金,依此类推;鼓楼商厦对同一种品牌的首饰打折方式为小于2000元一律打八五折,大于或等于2000元则打八折,这种品牌的黄金首饰在两个商厦的售价都是400元/克,设购买该品牌首饰的实际付费y元.
(1)请你分别写出在这两个商厦购买该品牌的首饰的实际付费y元与购买数量x克(0<x<6)之间的关系式;
(2)某女士甲准备在元旦当天购买5克该品牌的首饰,那么她在哪一家商厦购买比较合算?
(3)某女士乙准备在元旦当天花费2000元购买一件该品牌的首饰,那么她在哪一家商厦购买比较合算?
7某服务厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:
(I)买一套西装送一条领带;
(II)西装和领带均按定价的90%付款.某超市经理现要到该服务厂购买西装20套,领带若干条(不少于20条).
(1)设购买领带为x(条),采用方案I购买时付款数为y1(元),采用方案II购买时付款数为yn(元).分别写出采用两种方案购买时付款数与领带条数x之间的函数关系式;
(2)就领带条数x讨论在上述方案中采用哪种方案购买合算.
二.表格分析题
1.某公司在甲、乙两仓库分别库存水泥12吨和6吨,现需要调往A县10吨,调往B县8吨.两库到A、B两县的路程与运费如表所示(“元/吨.千米”表示每吨水泥运送1千米所需费用).
路程(千米)
运费(元/吨.千米)
A地
B地
A地
B地
甲库
5
8
8
10
乙库
6
5
5
10
(1)设从乙仓库调往A县的水泥为x吨,求总运费y与x的函数解析式;
(2)若要求总运费不超过900元,问有几种调运方案?
(3)求出
(2)中总运费最低的调运方案,最低运费是多少?
2.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.
人均住房面积(平方米)
单价(万元/平方米)
不超过30(平方米)
0.3
超过30平方米不超过m(平方米)部分(45≤m≤60)
0.5
超过m平方米部分
0.7
根据这个购房方案:
(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房,求其应缴纳的房款;
(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米,缴纳房款y万元,请求出y关于x的函数关系式;
(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米,缴纳房款为y万元,且57<y≤60 时,求m的取值范围.
3.漳州三宝之一“水仙花”畅销全球,某花农要将规格相同的800件水仙花运往A,B,C三地销售,要求运往C地的件数是运往A地件数的3倍,各地的运费如下表所示:
A地
B地
C地
运费(元/件)
20
10
15
(1)设运往A地的水仙花x(件),总运费为y(元),试写出y与x的函数关系式;
(2)若总运费不超过12000元,最多可运往A地的水仙花多少件?
4.某饮料厂生产一种饮料,经测算,用1吨水生产的饮料所获利润y(元)是1吨水的价格x(元)的一次函数.
(l)根据表中提供的数据,求y与x的函数关系式;当水价为每吨10元时,l吨水生产出的饮料所获的利润是多少?
1吨水价格x(元)
4
6
用1吨水生产的饮料所获利润y(元)
200
198
(2)为节约用水,这个市规定:
该厂日用水量不超过20吨时,水价为每吨4元;日用水量超过20吨时,超过部分按每吨40元收费.已知该厂日用水量不少于20吨,设该厂日用水量为t吨,当日所获利润为W元.求W与t的函数关系式;该厂加强管理,积极节水,使日用水量不超过25吨,但仍不少于20吨,求该厂的日利润的取值范围.
5.小明家为某公司生产蘑菇,他家五月份收获干平菇42.5kg,干香菇35.5kg,按公司收购要求,需将两种蘑菇包装成简装型和精装型两种型号的盒装蘑菇共60盒卖给公司,设简装型的盒数为x(盒),两种型号的盒装蘑菇可获得总利润为y(元),包装要求及每盒获得的利润如下表:
品种型号
装入干平菇
重量(kg)
装入干香菇
重量(kg)
每盒重量
(kg)
每盒利润
(元)
简装型(每盒)
0.9
0.3
1.2
14
精装型(每盒)
0.4
1
1.4
24
(1)用含x的式子表示y;
(2)为满足公司的收购要求,问有哪几种包装方案可供选择?
说明理由.
(3)请计算60盒的蘑菇最大利润是多少?
6.前不久在台湾抗震救灾中,某地将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到A、B两个仓库.甲库有粮食100吨,乙库有粮食80吨,而A库的容量为70吨,B库的容量为110吨.从甲、乙两库到A,B两库的路程和运费如下表:
(1)若甲库运往A库粮食x吨,请写出将粮食运往A、B两库的总运费y(元)与x(吨)函数关系式.
(2)当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时,总运费最省,最省的总运费是多少?
路程(km)
运费(元/吨•km)
甲库
乙库
甲库
乙库
A库
20
15
12
12
B库
25
20
10
8
7.“五一”前夕,某经销商计划花23500元购买A、B、C三种新款时装共50套进行试销,并且购进的C种时装套数不少于B种时装套数,且不超过A种时装套数,设购进A种时装x套,B种时装y套,三种时装的进价和售价如右表所示.
型号
A
B
C
进价(元/套)
400
550
500
售价(元/套)
500
700
650
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)满足条件的进货方案有哪几种?
写出解答过程;
(3)假设所购进的这三种时装能全部卖出,且在购销这批时装的过程中需要另外支出各种费用1000元.通过计算判断哪种进货方案利润最大.
8.县中美水果行准备从北方A市进一批水果,现北方A市有甲、乙、丙三家运输公司欲承担这批水果的运输任务,但只可选择其中一家运输公司,这三家运输公司给中美水果行提供了如下信息:
(如下表)
运输公司
途中速度(km/h)
途中费用(元/千米)
装卸费用(元)
装卸时间(小时)
甲
100
12
1000
2
乙
50
10
2000
4
丙
80
11
1500
3
若这批水果在运输(包括装卸)过程中损耗为200元/小时,记我县到北方A市的距离为X千米.
(1)如果用W1,W2,W3分别表示甲、乙、丙三家运输公司运输时的总费用(包括损耗),求W1,W2,W3与X之间的函数关系式.
(2)应采用哪家运输公司,才能使运输时的总支出费用最少?
三.图像分析题
1.某县一家小型放映厅的盈利额y(元)与销售票数x(张)之间的关系如图所示,其
中保险部门规定:
超过150人时,要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图,回答下利问题;
(1)试求0≤x≤150和150<x≤200,分别写出盈利额(y)元与x(张)之间的函数关系式;
(2)当售出的票数x为何值时,此放影厅不赔不赚?
当售出的票数x满足何值时,此放影厅要赔本?
当售出的票数x为何值时,此放影厅能赚钱?
(3)当售出的票数x为何值时,此时所获得的利润比x=150时多?
2.甲、乙两人分别以骑摩托车和步行的方式从A地前往B地.甲骑车的速度为30千米/小时,甲到达B地立即返回.乙步行的速度为15千米/小时.已知A,B两地的距离为60千米,甲、乙行驶过程中与A地的距离y(千米)关于时间x(小时)的函数图象如图所示.
(1)求甲在行驶的整个过程中,y与x之间的函数关系式;
(2)甲、乙两人同时出发后,经过多长时间相遇?
3.对口扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息),在甲提供的材料中有:
①这种消费品的进价每件14元
;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图;③每月需各种开支2000元.
(1)为使该店刚好能够维持职工生活,商品的价格应定为多少?
(2)当商品的价格每件多少元时,月利润和除职工最低生活费的余额最大并求出最大值.
(3)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
4.如图是我们耳熟能详的“龟兔赛跑”的情景,兔子的速度为1km/分,
(1)请直接回答:
兔子睡了多长时间?
S1,S2的值分别是多少?
乌龟的速度是多少?
(2)请写出兔子醒来后离起点的距离S和经过的时间t的函数关系式.
(3)乌龟出发几分钟后和兔子相距4千米?
(4)当乌龟和兔子之间的距离小于2千米时,求t的取值范围?
5.水管是圆柱形的物体,在施工中,常常如下图那样堆放,随着层数的增加,水管的总数
是如何变化的?
如果假设层数为n,物体总数为y.
(1)请你观察图形填写下表,
n
1
2
3
4
…
y
…
(2)请你写出y与n的函数解析式.
6.如图,甲、丙两地相距500km,一列快车从甲地驶往丙地且途中经过乙地,一列慢车从乙地驶往丙地,两车同时出发同向而行,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系,根据图象进行以下探究.
(1)甲乙两地之间的距离为多少?
(2)求慢车和快车的速度;
(3)求线段CD所表示的y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
7.城区某环城河道进行整理,如图,在C段和D段河岸需要土方数分别为1025方和1390方,现离河道不远有两建筑工地A和B分别需运走土方数是781方和1584方,利用这些土先填满河岸C段,余下的土填入河岸D段.已知每方土运费:
从A处运到C和D段分别是1元和3元;从B处运到C段D和段,分别是0.6元和2.4元.问怎样安排运土,才能使总费用最少,并求出总运费的值.
8.某农户有一水池,容量为10立方米,中午12时打开进水管向水池注水,注满水后关闭水管同时打开出水管灌溉农作物,当水池中的水量减少到1立方米时,再次打开进水管向水池注水(此时出水管继续放水),直到再次注满水池后停止注水,并继续放水灌溉,直到水池中无水,水池中的水量y(单位:
立方米)随时间x(从中午12时开始计时,单位:
分钟)变化的图象如图所示,其中线段CD所在直线的表达式为y=-0.25x+33,线段OA所在直线的表达式为y=0.5x,假设进水管和出水管每分钟的进水量和出水量都是固定的.
(1)求进水管每分钟的进水量;
(2)求出水管每分钟的出水量;
(3)求线段AB所在直线的表达式.
9.某军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油的过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱的余油量为Q2吨,加油时间
为t分钟,Q1、Q2与t之间的函数关系如图.回答问题:
(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?
将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟?
(2)求加油过程中,运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式;
(3)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?
请通过计算说明理由.
10.某校部分住校生,放学后到学校锅炉房打水,每人接水2升,他们先同时打开两个放水笼头,后来因故障关闭一个放水笼头.假设前后两人接水间隔时间忽略不计,且不发生泼洒,锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图.请结合图象,回答下列问题:
(1)根据图中信息,请你写出一个结论;
(2)写出锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数关系式.
11.
(1999•山西)如图,公路上有A、B、C三站,一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进,15分钟后离A站20千米.
(1)设出发x小时后,汽车离A站y千米,写出y与x之间的函数关系式;
(2)当汽车行驶到离A站150千米的B站时,接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站.汽车若按原速能否按时到达?
若能,是在几点几分到达;若不能,车速最少应提高到多少?
12.早晨小欣与妈妈同时从家里出发,步行与自行车向相反方向的两地上学与上班,如图是他们离家的路程(米)与时间(分钟)之间的函数图象,妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话,立即以原来的速度返回并前往学校,若已知小欣步行的速度为50米/分钟,并且妈妈与小欣同时到达学校.完成下列问题:
(1)求小欣早晨上学需要的时间;
(2)求出直线AB的解析式;
(3)求出点C的坐标,并解释点C的实际意义
.
13.如图,直线l1反映了某服装店销售收入y1(元)与销售件数x之间的关系,直线l2反映了该店的销售成本y2(元)与销售件数x之间的关系.
(1)观察图象回答:
①当销售件数x为20的时候,成本是多少元?
这时,该店是否有盈利?
(2)分别求l1、l2对应的函数解析式;
(3)当销售量达到多少件的时候服装店才开始盈利?
14.晚饭后,小伟的爸爸和妈妈去滨海路散步,小伟骑自行车一起去.小伟骑车到达海滨路上的瞭望台后即以原速原路返回,遇到爸爸妈妈后再调头以原速奔向瞭望台.如下图所示是他们离家的路程y(米)与时间x(分)的函
数图象.已知爸爸妈妈散步的速度为每分钟40米.
(1)小伟出发多长时间后第一次与爸爸妈妈相遇?
相遇时离家的距离是多少?
(2)小伟第二次到达瞭望台时已经骑了多少时间?
15.一个安装了两个进水管和一个出水管的容器,每分钟的进水量和出水量是两个常数,且两个进水管的进水速度相同.进水管和出水管的进出水速度如图1所示,某时刻开始到6分钟(至少打开一个水管),该容器的水量y(单位:
升)与时间x(单位:
分)如图2所示.
(1)试判断0到1分、1分到4分、4分到6分这三个时间段的进水管和出水管打开的情况.
(2)求4≤x≤6时,y随x变化的函数关系式.
(3)6分钟后,若同时打开两个水管,则10分钟时容器的水量是多少升?
16.一方有难,八方支援.雅安地震后,全国各地纷纷为雅安捐款捐物.如图①,一条笔直的公路上有A、B、C三地,B、C两地相距150km,甲车满载救援物资从B地驶往C地,乙车卸完救援物资从C地返回B地,两车同时出发,沿公路匀速相向而行.因车流量较大,为防止交通拥塞,特在A地设有交通指挥中心.甲、乙两车到A地的距离y1、y2(km)与行驶时间x(h)的函数图象如图②所示.根据图象进行以下探究:
图象理解:
(1)请在图①中标出A地的大致位置.
(2)求图②中M点的坐标,并解释该点的实际意义.
(3)在图②中补全甲车的函数图象,求甲车到A的距离y1与行驶时间x的函数关系式.
问题解决:
(4)若指挥中心及两车都配有对讲机,两部对讲机在20km之内(含20km)时能够互相通话,求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间.
四.几何图形题
1.如图,新城小区计划用铁栅栏围建一个矩形的车棚ABCD,为了方便存车,在CD边上开了一个lm宽的门,在BC边上开了一个2m宽的门(门不是用铁栅栏做成的).设AB边长为x(m),AD边长为y(m),且AB<AD.
(1)若用37m的铁栅栏围建车棚,求y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)根据新城小区的规划要求,所围建的矩形车棚面积是91m2,在满足
(1)的条件下,求车棚长和宽.
2.如图,在一幅矩形地毯ABCD的四周镶有宽度都是1米的花边.设矩形地毯AB边长为x米.镶有花边后,整个地毯EFGH中FG边长为y米.
(1)若原地毯ABCD的周长为l8米,求y与x的函数关系式不要求写出自变量的取值范围);
(2)在
(1)的条件下,当整个地毯EFGH的面积是40平方米,且AB<BC时,AB的长为多少米?
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P为BC上的一点,且P点不与B、C重合,设CP=x,S△APB=y,求y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
4.如图,△ABC是等边三角形,D为AB边上的一个动点,DE∥BC,延长BC到F,使CF=AD,连接DF交AC于P.
(1)求证:
EP=CP;
(2)若△ABC的边长为a,CF长为b,且a、b满足(a-5)2+
√b-3
=0,求CP长;
(3)若△ABC的边长为5,设CF=x,CP=y,求y与x间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合),过点A作AF⊥AE,交边CB的延长线于点F,连接EF,交边AB于点G.设DE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果AD=BF,求证:
△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能否成为等腰三角形?
如果能,请直接写出线段DE的长;如果不能,请说明理由.
6.小华利用院子里一面足够长的墙作为一边,修建一个形状为直角梯形的花园ABCD(如图所示),已知AD∥BC,∠B=90°
,设AB=AD=x米,BC=y米,且x<y.
(1)其余三边用10米长的建筑材料来修建,恰好全部用完.求y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围.
(2)现在根椐实际情况,所修建的花园面积必须是8平方米,在满足
(1)的条件下,问梯形的两底长各为多少米?
7.(2008•朝阳区一模)如图,在矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,点A处有一动点E以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时点C处也有一动点F以2cm/s的速度由点C向点D运动,设运动的时间为xs,四边形EBFD的面积为ycm2,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
8.如图,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,如果△ABC的高线AH长8cm,底边BC长10cm,设DG=xcm,DE=ycm,求y关于x的函数关系式.
9.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC的垂直平分线DE分别交BC、AC边于点D、E,BE与AD相交于点F.设∠C=x,∠AFB=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域
.
10.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AB=8,BC=14,点E、F分别在边AB、CD上,EF∥AD,点P与AD在直线EF的两侧,∠EPF=90°,PE=PF,射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N,设AE=x,MN=y.
(1)求边AD的长;
(2)如图,当点P在梯形ABCD内部时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果MN的长为2,求梯形AEFD的面积.
11.(2002•海淀区)如图,在△ABC中,∠C=90°,P为AB上一点,且点P不与点A重合,过点P作PE⊥AB交AC边于E点,点E不与点C重合,若AB=10,AC=8,设AP的长为x,四边形PECB的周长为y,求y与x之间的函数关系式
.
12.如图,在梯形ABCD中,BC∥AD,∠A=90°,AB=2,BC=3,AD=4,E为AD的中点,F为CD的中点,P为BC上的动点(不与B、C重合).设BP为x,四边形PEFC的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
五.动点题型
1.直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点,OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根(OA>OB),动点P从O点出发,沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动,到达A点时运动停止.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点P的运动时间为t(秒),△OPA的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
2.如图所示,在等腰三角形ABC中,∠B=90°,AB=BC=4米,点P以1米/分的速度从A点出发移动到B点,同时点Q以2米/分的速度从点B移动到C点(当一个点到达后全部停止移动).
(1)设经过x分钟后,△PCB的面积为y1,△QAB的面积为y2,求出y1,y2关于x的函数关系式;
(2)同时移动多少分钟,这两个三角形的面积相等?
.
3.(2014•新疆)如图,直线y=
x+8与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同