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基于优先级的眼科床位安排模型
基于优先级的眼科床位安排模型
摘要
本文运用排队论的有关理论，认为基于FCFS规则的排队方式浪费了大量术前准备时间，不利于床位的优化配置。
在此基础上提出以住院人数、床位利用率、平均等待时间和队伍长度为指标建立评价体系。
据此，我们建立基于优先级的排队系统安排眼科床位模型，利用术前准备时间构造优先级。
由于眼科疾病自身的特点和医院安排手术日期的局限性，我们将不同类型的患者（单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病、外伤）分为四队，并对每一队的排头按照术前准备时间进行优先级排列，即：
某日某类患者住院到最近手术日期的术前准备时间与患者本身需要的准备时间相差越大，优先级越低。
进而按优先级分配床位，相同优先级的患者按门诊序号先后安排住院。
整个安排过程用Matlab实现。
我们采用Matlab首先对题目附带数据在不同模型进行安排。
基于优先级的模型相比FCFS模型平均等待时间、队伍长度缩短，住院患者人数增多,床位利用率提高，很好地满足了评价指标体系。
接着用MATLAB对医院一年的患者进行仿真模拟，进一步体现了新方案的优越性。
通过研究每周不同时间内每类病人的住院人数的规律，我们可以简化模型，比较简单的在门诊的时候对病人能住院的时间进行预报。
对模型进行改进和优化讨论，改变某些条件，如周末不做非急症手术后，基于优先级的模型提出的安排方案优于FCFS模型。
并且通过分析计算，确定最优手术时间为周三和周五进行白内障手术。
如果按照床位比例安排住院，本文运用优化模型对目标函数（平均逗留时间）进行搜索，得到最优床位分配比例（白内障：
视网膜疾病：
青光眼：
外伤＝28：
31：
11：
9）。
关键词优先级排队论床位利用率术前准备时间MATLAB仿真模拟
问题重述
随着社会的发展、人口的增加、经济条件的改善、健康服务质量标准的提高，人们对医疗保障的需求量增大，标准提高。
因此，解决我国卫生资源的配置与优化问题是当前一项重要任务，不仅宏观上要优化调整，微观上也应该重视。
我们要做的就是从微观入手，对一家医院眼科病床进行合理安排。
该医院眼科拥有79张病床，主要住院患者分为四类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
当前医院按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，手术条件充分，不考虑手术条件的限制。
但考虑手术医生的安排问题，非急症周一、周三只做白内障，其他时间不做白内障。
在四类疾病中，外伤通常属于急症，病床有空立即安排住院，第二天安排手术。
其他三类疾病通常不是急症。
其中，白内障分单眼和双眼，其中双眼约占60％。
术前准备时间只需1－2天。
按照医院安排：
单眼只能在周一、周三手术，而双眼只能在周一进行第一次手术，周三进行第二次手术。
青光眼和视网膜疾病比较复杂，术后观察时间比较长，一周中除周一、周三的各天均可手术。
题目要求：
1建立一个合理的评价指标体系，用于评价病床安排模型的优劣。
2建立合理的病床安排模型，可以根据已知第二天拟出院患者安排患者住院。
并且利用1中建立的评价指标体系对模型进行评价。
3根据当时住院患者和等待住院患者的统计情况，在患者门诊时即告知大致入住时间区间。
4若周六、周日不安排手术，试重新建立合理模型，并判断医院手术时间安排是否应做出调整。
5若采取使各类患者占用病床比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有患者在系统内的平均逗留时间（等待时间与住院时间之和）最短的病床比例分配模型。
问题分析
合理地安排医院床位，就是要最大限度地利用资源，尽可能多的服务病患。
缩短病人的等待时间，并且维持公平。
患者在医院系统的逗留时间包括四个部分：
等待时间（门诊时间到入院时间）、术前准备时间（入院到第一次手术）、手术时间（第一次手术到最后一次手术）、术后恢复时间（最后一次手术到出院）。
考虑到在一定时间内，医院的总容纳量是一定的，为79乘以这段时间的长度。
而从病人住院后到病人出院，其手术时间和术后康复时间是我们无法左右的。
总体来说每位病人术后对病床的占有时间是一个定值。
而分析术前准备时间，由模型假设，我们知道白内障病人的术前准备时间只需1－2天，这部分时间是必需的，而若某白内障病人住院3天才进行手术，那么其中有1－2天时间不是必需的，即这2天中，床位的使用价值是被浪费的。
尤其对于双眼白内障来说，如果一名双眼白内障患者在周一住院，那么在术前他将占用该床位一周，远超过必要准备时间。
我们称术前必要准备时间和术后康复时间为必要住院时间，而实际术前准备时间减去术前必要准备时间为非必要住院时间。
显然，为了提高床位的利用率，即减少床位浪费率，我们需要在条件允许范围内尽可能减少术前准备时间。
模型假设
1．假设每天病人出院总是在早上8点，从而当天空出的床位当天即可由新的病人使用。
2．假设医生和手术设备的数量无限。
3．假设对于白内障患者，1天的术前准备时间总是足够的。
即当天住院第二天必然可以手术。
4．假设对于青光眼和视网膜疾病患者，2天的术前准备时间总是足够的。
5．当天来门诊的病人最早在第二天入院。
6．外伤患者总是能在第二天入院，第三天手术，且不受周一，三只做白内障手术和周六周日不做手术的限制。
7．假设每天来门诊需要手术的病人数量服从泊松分布。
而与排队长度和空床数量无关。
8．规定双眼白内障患者，2次手术之间的间隔至多2天。
建立评价标准体系
评价床位安排模型的优劣，我们必须兼顾个人与整体，宏观与微观。
一方面提高患者满意程度，另一方面提高医院床位利用效率。
为了更好的体现这两个方面，我们引入总住院人数、平均等待时间、床位利用率、排队长度来评价模型的优劣程度。
总住院人数是一段时间内入院患者的总人数。
它体现了医院床位安排的效率。
平均等待时间是一段时间内入院患者的平均等待时间，它对患者的满意程度有很大的影响，也可以体现模型的效率。
床位利用率不是单纯意义上的床位占用率。
它是指一段时间内床位用于术前必需准备时间、手术时间、术后恢复时间的总和与总天数的比值，即：
（1）
其中，n——总床位数，有效利用时间——包括术前必需准备时间、手术时间、术后恢复时间。
浪费时间——包括床位空置时间和非必需术前准备时间。
从
（1）式可以看出，床位利用率越高，有效利用时间在总时间中所占比例越大，浪费时间所占比例越小。
显然一段时间内床位利用率越高，模型在这段时间内的效用越高，安排越合理。
排队长度体现医院床位供不应求的程度，也从一个侧面反映排位模型的优劣。
我们将综合以上几个指标，对排位模型进行评价判断。
评判的主要指标为入院总人数和床位利用率。
模型建立
FCFS规则基于“先到先得”的原则，有助于降低等待时间，体现公平性。
但是该模型只考虑了单个患者从门诊到入院的时间，采用占位式的方法使用床位资源，使得术前准备时间多于需要的准备时间。
从床位利用率角度来说，FCFS模型是不适宜的。
图1显示了FCFS模型下，双眼白内障的术前准备时间，与必需准备时间1天差距很大。
图表1FCFS模型双眼白内障术前准备
为了尽可能降低床位浪费，我们在安排时有必要对队伍前列的患者进行某种筛选，使得术前准备时间在足够的前提下尽可能小。
为了达到这一目的，本文的安排模型将患者分组，对每组排头（按时间排序）进行优先级排序，找到符合我们要求的患者进行安排。
分组
首先，对各种疾病按照其手术时间和术前准备时间进行分组。
由于单眼白内障和双眼白内障不同于其他几种眼科疾病的手术时间和术前准备时间，将它们分开；又由于双眼白内障只能在周一进行手术，又将其单独分开成为一类；青光眼和视网膜疾病术前准备时期和可以手术的日期一样，合并成一类；外伤由于不可延迟，优先安排，自成一类。
分类及分类代号如下：
名称及代号
最小术前准备时间
手术时间
样本数量
单眼白内障（BD）
1
周一、周三
100
双眼白内障（BS）
1
周一
133
青光眼、视网膜疾病（QS）
2
除周一、周三
233
外伤（WS）
1
每日
64
表格1分组
分组以后，组内以时间排序，以适用于建立模型比较每组排头患者的优先级，进而安排患者住院。
优先级计算
为了选择适宜的病人安排床位，使得浪费的术前时间较少，我们计算不同类别的患者在不同日期的术前准备时间，作为其优先级。
优先级的数值越小，表示该患者优先级越高。
下表为不同类别患者一周优先级列表：
优先级
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
BD
2
1
5
4
3
2
1
BS
7
6
5
4
3
2
1
QS
3
2
2
2
2
3
2
WS
0
0
0
0
0
0
0
表格2优先级
如上表中所述，外伤（WS）的优先级最高，为0。
因此，外伤的安排不会被拖延。
以周一为例说明优先级的作用：
如果单眼白内障患者在周一入院，他将在周三进行手术，其术前准备时间为2天，浪费1天准备时间；同理，若双眼白内障患者周一入院，他将在下周一进行手术，其术前准备时间为7天，浪费6天准备时间；若青光眼或视网膜疾病患者该天入院，他将在周四手术，准备时间为3天，浪费1天。
也就是说，周一如果让双眼白内障患者入院，将增加6天无效时间，这显然会降低医院床位利用率，同时也导致病人住院时间无意义的拉长，影响后续病人入院治疗。
这样的情形在FCFS模型下会不可避免的产生。
但设置优先级进行比较后，避免了上述浪费时间的情形发生。
安排床位
从分组队列中读取每队第一条记录，根据时间和类别分别计算优先级。
对优先级进行排序，选取最高优先级的患者安排床位。
当最高优先级不只一个时，按照先后门诊顺序进行安排。
模型检验与评价
问题二：
基于优先级的床位安排模型，由于考虑判断术前准备时间的优先级，使得床位利用率有很大提高。
入院患者人数增加。
下表是优先级模型与FCFS模型的比较：
模型
总住院人数
床位利用率
平均等待时间（天）
平均排队人数
FCFS模型
428
90．97%
10．93
79．4
优先级模型
466
97.03%
8．3871
58．9
表格3两种模型对比
图表2两种模型排队人数
从表中和图中可以看出。
采用我们的优先级模型后，总住院人数和床位利用率上升了，平均等待时间下降了，而平均排队人数显著下降并且呈现出随时间逐渐减少的趋势。
这说明我们的优先级模型确实起到了合理安排的效果，大大提高了对资源的利用率。
从图中排队人数随时间呈现逐渐递减的情形看，实际上这家医院的医治能力是大于每天新增患者数量的，因此只要安排合理，是可以最终做到几乎无人排队的状况的。
仿真试验
由于题目的给出的数据量偏小。
为了更加准确地反映模型的特征，并扩大数据量，我们用MATLAB做仿真试验。
假设每天疾病的出现服从泊松分布，强度
为每日门诊需手术患者的平均数量。
原数据中，每位患者的术后恢复时间（
）没有明显分布，这里随机抽取原数据中相同疾病患者的恢复时间作为对现实情况的模拟。
仿真期限为360天，首日的等待队列长度为零。
患者在住院后，挑选最近的手术日期进行手术，术后经过确定的术后恢复时间后出院。
通过仿真，进一步确定了基于优先级模型的优势，队列长度和等待时间都保持稳定。
图表3右侧为FCFS模型左侧为基于优先级模型
100次仿真模拟的平均结果：
模型
平均队长
最大队长
平均等待时间
最大等待时间
利用率
FCFS
76
163
9．85
22．27
89.3%
优先级模型
13.68
46
2.52
10.8
98.7%
表格4100次MTLAB仿真结果对比
显然，优先级模型有效控制了平均队长和平均等待时间，避免出现FCFS模型中队长不断增大的情况。
模型预测
问题三：
图表4
观察上面关于不同类型病院入院人数一周内变化情况我们能发现，白内障（单眼）患者集中于周六至周二入院，白内障（双眼）患者集中于周六周日，青光眼和视网膜疾病患者倾向于周一至周五入院。
而外伤患者基本每天人数差不多。
这是因为在优先级模型中，为了增加病床有效利用率，使得患者住院后尽快能手术，我们安排白内障患者尽可能在比较接近手术日（周一周三）的时间入院。
相对的，青光眼和视网膜患者主要在剩余时间入院。
我们把图中某类型病患入院人数较多的时间，称为这类病患的适合入院时间。
图表5
图表6
图表7
可以想象，如果在本周的适合入院时间，某病患没有能够入院，他必须再等一周，到下周的适合入院时间才有可能入院。
观察模型最终床铺安排发现，绝大多数病人的等待时间不超过2周，最长的等待时间为16天。
因此我们可以认为，一个病患若本周的适合入院时间没有入院，则很大可能在下周适合入院时间入院。
这样，如果我们知道一个病患能否在本周的适合入院时间入院，就能对这个病患大致的入院时间做出预报。
我们根据现在已经住院的病人情况，可以算出，在此病患的适合入院时间内，大致有多少病人出院。
同时根据优先级算法，我们可以算出，届时优先级高于此病患的人数。
比较二者就能知道，此病患在本周适合入院时间能否入院，若能，则预报其住院时间为本周的适合入院时间，如不能则预报其住院时间为下周其适合入院时间。
通过对所给数据第301到400号患者进行预报与实际情况比较，取了其中16位列表：
编号
实际住院时间
预报住院时间区间
是否预报正确
301
2008-8-17
2008-8-23
2008-8-24
0
302
2008-8-17
2008-8-17
2008-8-19
1
303
2008-8-29
2008-8-25
2008-8-29
1
304
2008-8-18
2008-8-18
2008-8-19
1
305
2008-8-29
2008-8-25
2008-8-29
1
306
2008-8-18
2008-8-18
2008-8-18
1
307
2008-8-18
2008-8-18
2008-8-18
1
308
2008-8-23
2008-8-23
2008-8-24
1
309
2008-8-29
2008-8-25
2008-8-29
1
310
2008-8-18
2008-8-18
2008-8-18
1
311
2008-8-23
2008-8-23
2008-8-24
1
312
2008-8-23
2008-8-23
2008-8-24
1
313
2008-8-19
2008-8-19
2008-8-19
1
314
2008-8-23
2008-8-23
2008-8-24
1
315
2008-8-29
2008-8-25
2008-8-29
1
316
2008-8-19
2008-8-23
2008-8-26
0
表格5
可见16位患者中有14位正确预报了住院时间，总100位患者正确预报83位。
问题四：
在周六周日不安排手术的情况下，考虑如何安排白内障手术的时间使得达到医院资源的最优化调度。
由于假设双眼白内障患者两次手术之间的间隔不超过2天。
因此对于白内障手术的安排有以下几种可能。
周一周三，周二周四，周三周五，周一周四，周二周五，周五（下）周一。
分别使用优先级模型计算出其，相关数据列入下表：
周一
周三
周二
周四
周三
周五
周一
周四
周二
周五
周五
周一
住院人数
450
466
477
455
464
462
病床利用率
91.7％
94.81％
96.12％
92.05％
94.28％
92.09％
平均排队时间
8.3022
8.5451
8.5891
8.4549
8.3987
8.5108
方案一的日排队人数
方案二的日排队人数
方案三的日排队人数
方案四的日排队人数
方案五的日排队人数
方案六的日排队人数
从图表可以看出，方案三各项数值中，总住院人数，病床有效利用率和日排队人数都好于其他方案，仅人均排队时间较长，然而相对6种方案的平均值而言，差距不过1.44％。
综合起来评价我们可以得出结论，在周三和周五安排白内障手术是最好的方案。
模型改进
问题五
为便于医院的管理，我们希望是各种病人占用的病床数大致固定，且在系统中平均逗留时间最短。
在原数据中，五类患者在系统中出现的次数是已知的。
我们估计理想的病床分配比例应该与患者的出现频率相关。
比如，视网膜疾病患者日均病床数为30.8，约为外伤患者的三倍，而视网膜疾病患者数量是外伤的2.75倍；同理，可以观察到青光眼和外伤的患者数量和日均病床数都十分接近。
所以，患者总数可以较好地估计每天某种疾病在系统中出现的可能。
数据中五种患者的样品数量见下表：
疾病
白内障（单眼）
白内障
（双眼）
视网膜疾病
青光眼
外伤
样本数量
100
133
170
63
64
日均病床数
11.40
15.36
30.8
11.1
10.1
表格6各疾病的出现次数和日均病床数
在此，我们认为单眼白内障和双眼白内障患者的病床可以公用，因为两者的病因病程和护理方法都相同。
其他三类病床分别针对视网膜疾病，青光眼，眼科外伤。
设这四种病床数分别为：
。
这些病床构成了该医院的所有病床，所以有：
（2）
我们通过仿真，并找出每组数据最优的分配比例，与原猜测进行比较。
组别
最优病床分配数量
平均逗留时间按
白内障
视网膜疾病
青光眼
外伤
1
28
30
13
8
18.5767
2
28
31
12
8
19.2843
3
29
30
11
9
19.6345
4
28
32
11
8
22.3900
5
27
32
12
8
15.7054
6
27
32
11
9
19.5621
表格7最佳仿真结果
试验表明，最优的分配比例在数据不同的情况下，依然保持较好的稳定性，且印证了上面的猜想。
最优的分配比例为
。
模型拓展
基于优先级的床位安排模型在医院床位安排上有许多优于FCFS的特点，如：
维持排队长度，减少浪费资源比率。
从直观上来说，基于优先级的模型能够在FCFS基础上限制或者促进某种特殊情况的发生。
在本文中，优先级模型限制了双眼白内障病人准备时间浪费严重的现象。
由于这一重要特质，基于优先级的模型可以应用于火车站售票、网络服务、交通运输等多个方面。
从而改善单一使用FSFC的缺陷，更有效地利用时间和资源。
本模型有一定局限性，通过多次运算发现，随着时间推移，白内障患者的等待时间逐渐变短，最终都能在一周之内住院，甚至能当天门诊第二天即可住院，而青光眼和视网膜疾病患者的等待时间并没有随时间有太大减少，许多青光眼患者最后仍需要等待2周左右时间。
参考文献
[1]陆敏芝，医院床位配置与利用资源分析，中国医药指南，2009年3月第7卷第5期：
151－151，2009年。
[2]邵明霞，排队论在缓解住院难上的探讨，中国医院管理，1986年10期：
23－24，1986年。
[3]厉缳，苏强，时间效用在门诊排队管理中的应用，工业工程与管理，2007年第6期，26－27，2007年。
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